МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Глава 10 . Евклидово пространство

Рассмотрим

два

различных

ортонормированных

базиса

{e , e

2

,..., e

n

} и {e′, e′ ,..., e′ }

в E n

с матрицей перехода

S

1

1

2

n

Грама

единичная,

то

из

соотношения

Γ

e′

=

S

T

Γ

e

S

следует равенство

Ε

=

S

T

Ε

S

, или

E

=

S

T

S

S

невырожденная, то оконча-

Поскольку матрица перехода

тельно имеем

S

−1 =

S

T .

Теорема доказана.

В развернутой форме равенство

E

=

S

T

S

принимает вид

n

δkl = ∑σTki σil ;

k, l = [1, n] , частный случай которого для n = 3

i=1

был получен в § 2.9.

Теорема

Собственные значения линейного оператора, имеюще-

Из равенства

ˆ

f

g = λ

f

g следует, что

A

g

f

T

ˆ

T

= λ

f

T

g

A

g

g .

в виде

−1

Q

T

Q

=

R

2

R

,

−1

2

1

1

R1

где

–

Заметим,

что

R2

R1

−1

есть диагональная матрица. Дей-

ствительно, с одной стороны, она верхняя треугольная матрица

как

произведение

верхних

треугольных.

С

другой стороны,

R2

R1

−1

должна быть и нижней треугольной, поскольку

она ортогональная (как произведение двух ортогональных мат-

Q2

T

Q1

−1

риц

) и ее обратная матрица совпадает с транс-

це.

Но диагональные элементы

R1

и

R2

положительны

по

условию,

поэтому

остается

возможным

лишь случай

R

2

R

−1

=

E

,

откуда и следует единственность раз-

1

A

x

=

b

может быть сведено к раз-

ложению невырожденной матрицы

A

–

на произведение верхней

треугольной

и ортогональной

Q

,

поскольку в этом случае

R

x

=

Q

T

b

.

372

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Пусть в

E

задано подпространство

E1 . Рассмотрим множество

тов x , таких, что (x, y)

= 0

Теорема

Ортогональное дополнение

k -мерного подпростран-

Пусть в E E n

1

полнение к E1 .

Выберем некоторый базис в E1 {g1 , g2 ,..., gk }.

Тогда из ус-

ловия ортогональности произвольного элемента

x E2 каж-

дому элементу E1 , следует (см. теорему 7.4.1), что

или же в координатной форме:

ε11ξ1 + ε21ξ2

+ ... + εn1ξn

= 0,

ε12 ξ1 + ε22 ξ2

+ ... + ε n2 ξn

= 0,

..........................................

ε1k ξ1 + ε2k ξ2

+ ... + εnk ξn

= 0,

Глава 10 . Евклидово пространство

ε1i

ξ1

где

gi

e

=

ε2i

; i = [1, k] и

x

e

=

ξ2

.

...

...

εni

ξn

тогональное дополнение

E2 , имеет ранг k

в силу линейной

независимости элементов

{g1 , g2 ,..., gk } .

Тогда по теореме

6.7.1

у нее есть n − k линейно независимых решений, обра-

зующих базис подпространства E2 .

Теорема доказана.

Убедимся теперь в справедливости следующего утверждения.

Теорема

Если E2 – ортогональное дополнение подпространст-

374

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Теорема

Если

E E является

k -мерным подпространст-

10.5.3.

вом, то элемент y – ортогональная

проекция x E

на E

–

существует и единственен.

Доказательство.

Если

в

E

существует

базис

{g , g

2

,..., g

k

} , то элемент

1

y E

k

может быть представлен в виде

y = ∑ξi gi .

i=1

Условие

(x − y, z) = 0 z E равносильно

ортогонально-

сти

x − y

E ,

то

есть

(x − y, g j ) = 0 j = [1, k ] ,

и,

следовательно,

уравнений

k

(x − ∑ξi gi , g j ) = 0 j = [1, k ]

i=1

или

k

∑(gi , g j )ξi = (x, g j ) j = [1, k] .

i=1

набора

линейно независимых

элементов

g1 , g2 ,..., gk , см.

ра) решение данной системы существует и единственно.

Теорема доказана.

Отметим, что если базис {e , e , ... , e

k

}

в подпространстве

E

1

2

E

k

есть элемент вида

y = ∑(x, ei )ei .

2ξ1 + ξ2

= 0

тов E 4 на E .

Решение.

E

1°.

За базис подпространства

можно принять пару элементов

зисе {e1 , e2 , e3 , e4 }

являются линейно независимыми решения-

например,

− 1

− 1

g1

e =

2

;

g 2

=

2

1

e

0

0

1

2°.

Поскольку dim E

= 2, то размерность ортогонального допол-

g4 , такие, что