Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5537 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Глава 10 . Евклидово пространство

359

Доказательство.

Из аксиом евклидова пространства и неравенства Коши– Буняковского имеем

x + y 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + ( y, y) ≤

≤ x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y )2 ,

откуда в силу неотрицательности чисел x + y и x + y по-

лучаем неравенство треугольника.

Следствие доказано.

Отметим, что неравенства Коши– Буняковского и треугольника для евклидова пространства из примера 10.1.1 (2°) имеют вид


	n		n		n
	∑ξi ηi	≤	∑ξ2j		∑ηk2 ξi ,ηi ,		i = [1, n] ;
	i=1		j =1		k =1

n				n		n
∑(ξi + ηi )2 ≤				∑ξ2j	+ ∑ηk2 ξi ,ηi		, i = [1, n] ,
i=1				j =1		k =1

в то время как для евклидова пространства из примера 10.1.1 (3°) со- ответственно:


β	β		β
\| ∫ x(τ) y(τ)dτ \| ≤	∫ x 2 (τ)dτ		∫ y 2 (τ)dτ ;
α	α		α

β		β		β
∫ (x(τ) + y(τ))2 dτ ≤		∫ x2 (τ)dτ + ∫ y2 (τ)dτ .
α		α		α

360	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Определение	В евклидовом пространстве E величиной угла между
10.1.3.	ненулевыми элементами x			и y назовем число
	α [0, π] , удовлетворяющее соотношению
	cos α =	(x	,	y)	.
	cos α =	x		y
		x		y

Из неравенства Коши– Буняковского (теорема 10.1.1) следует, что величина угла существует для любой пары ненулевых элементов в E .

Определение	В евклидовом пространстве	E элементы x и y на-
10.1.4.	зываются ортогональными,	если (x, y) = 0 .
	зываются ортогональными,	если (x, y) = 0 .

Откуда следует, что нулевой элемент евклидова пространства ор- тогонален любому другому элементу.

§10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса

Определение В конечномерном евклидовом пространстве E n ба-

10.2.1.зис {e1 , e2 ,..., en } называется ортонормированным,

если (ei , e j ) = δij i, j = [1, n].

Теорема	Во всяком евклидовом пространстве E n существует
10.2.1	ортонормированный базис.
(Грама–
Шмидта).

Доказательство.

1°. Пусть в E n дан некоторый, вообще говоря, неортогональный базис {g1, g2 ,..., gn}. Построим вначале базис

{e′	, e′	,..., e′	}
1	2	n

из попарно ортогональных элементов. Последовательное по- строение этих элементов будем называть процессом ортого-

нализации базиса.

Глава 10 . Евклидово пространство

361

Возьмем e

′ = g

. Элемент e

′

будем искать в виде

′

= g2 + a21 e1

где

a21 –

некоторая константа.

Подберем

a21

так,

чтобы

(e′, e′ ) = 0 , для этого достаточно, чтобы

′

, g 2 + α

′

(e1 , e2 )

= (e1

21e1 ) =

= (e¢

, g

) + a

(e¢, e¢) = 0 ; a

= -

(e1¢, g 2 )

(e1¢, e1¢)

′

¹ o . Действительно,

из

Заметим, что e2

′

= g 2 + a

′

= g 2 + a 21 g1

o = e2

21 e1

следует линейная зависимость

g1 и

g 2 , что противоречит

условию принадлежности этих элементов базису (см. лемму

7.2.2).

2°. Допустим теперь,

что нам удалось ортогонализовать

k -1

элемент, и примем в качестве e′ элемент

e¢

= g

k −1

e¢ .

∑

k j

′

j =1

= 0

= [1, k -1] , но тогда в силу

Потребуем, чтобы (ek

, ei )

(e′j , ei′) = 0;

j = [1, k − 1] имеем

(e¢, e¢ ) = (e¢, g

k −1

e¢ ) = (e¢, g

) + a

(e¢, e¢) = 0 ;

∑

j =1

aki

= -

(ei¢, g k )

;

i = [1, k -1] .

(ei¢, ei¢)

Покажем теперь, что в этом случае e′

¹ o . Допустим про-

k −1

тивное: ek¢ = gk + ∑ak j e¢j = o . Однако поскольку все эле-

j =1

362		Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	менты	ei′ , i = [1, k -1] по построению есть некоторые ли-

нейные комбинации элементов gi ;i = [1, k -1] , мы прихо-

дим к линейной зависимости gi ; i = [1, k ] , что противоре-

чит условию теоремы. Следовательно, e′ ¹ o .

3°. Процесс ортогонализации продолжается до исчерпания мно-

жества элементов gi ; i = [1, n] , после чего достаточно про-

нормировать полученные элементы ei′ ; i = [1, n] , чтобы получить искомый ортонормированный базис {e1 , e2 ,..., en } ,

где ek =	e′	; k = [1, n] .
	k
	ek¢

Теорема доказана.

Процесс ортогонализации Грама– Шмидта может быть применен к любой, в том числе и к линейно зависимой, системе элементов евкли- дова пространства. Если ортогонализуемая система линейно зависима, то на некотором шаге мы получим нулевой элемент, после отбрасыва- ния которого можно продолжить процесс ортогонализации.

§ 10.3. Координатное представление скалярного произведения

Полезным инструментом исследования свойств некоторого набора элементов { f1 , f 2 , ..., f k } в евклидовом пространстве является мат-

рица Грама.

Определение В евклидовом пространстве E матрицей Грама сис-

10.3.1.темы элементов { f1 , f 2 , ..., f k } называется симмет-

рическая матрица вида

Глава 10 . Евклидово пространство

363

( f1 , f1 )

( f1 , f 2 )

L ( f1 , f k )

( f 2 , f

1 )

( f 2 , f 2 ) L ( f 2 , f k )

( f k , f1 )

( f k , f 2 ) L ( f k , f k )

Пусть в

E n

дан базис {g1 , g2 ,..., gn } . Скалярное произведение

элементов

x = ∑ξi gi

и y = ∑η j g j , в силу определения 10.1.1,

i=1

j =1

представимо в виде

(x, y) = (∑ξi gi , ∑η j g j ) = ∑∑ξi η j (gi , g j ) = ∑∑γij ξi η j ,


i=1	j =1	i=1 j =1	i=1 j =1
где γ i j = (gi , g j )	i, j = [1, n] – компоненты матрицы			Γ	g , на-

зываемой базисной матрицей Грама.

Заметим, что эта матрица симметрическая, в силу коммутативно- сти скалярного произведения (см. аксиому 1 в опр. 10.1.1), является матрицей симметричного билинейного функционала, задающего ска- лярное произведение. Тогда (принимая во внимание опр. 9.1.2) коор- динатное представление скалярного произведения может быть запи- сано так:

(x, y) =

η1

(g1

, g1 )

(g1

, g 2 )

...

(g1

, g n )

ξ1 ξ2 ...

ξn

(g 2

, g1 )

(g 2

, g 2 )

...

(g 2

, g n )

η2

...

(g n , g1 )

(g n , g 2 )

...

(g n , g n )

ηn

364

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

где

– координатные представления (столбцы) элемен-

тов

x и

в базисе {g1 , g2 ,..., gn }. Очевидно, что эта формула со-

гласуется с § 2.3 и § 9.2.

Заметим, наконец, что в ортонормированном базисе

e =

и, следовательно, формула для скалярного произведения принимает

вид (x, y) =

g = ∑ξi ηi .

i=1

Теорема Для базисной матрицы Грама

в любом базисе

10.3.1.

> 0 .

det

Доказательство.

Из определения 10.1.1 следует, что скалярное произведение есть билинейный, симметричный функционал, поэтому при пе-

реходе от базиса {g

, g

,..., g

} к базису

{g′, g′ ,..., g ′

} (с

1 2

матрицей перехода

) по теореме 9.1.1 для матрицы Грама

имеют место равенства

g′ =

; det

g′ = det

g (det

)2 ,

где det

¹ 0 .

Откуда следует, что значение sgn ( det

) инвариантно, то

есть не изменяется при замене базиса. А, приняв во внимание,

что в ортонормированном базисе det

e = 1 , приходим к за-

ключению, что в любом базисе det

> 0.

Теорема доказана.

Глава 10 . Евклидово пространство

365

Следствие Система элементов { f1 , f2 ,..., fk } в E n линейно не-
10.3.1.		зависима тогда и только тогда, когда определитель
		зависима тогда и только тогда, когда определитель
		матрицы Грама этой системы положителен.
	Доказательство.
	Доказательство.
		Если элементы { f1 , f2 ,..., fk } линейно зависимы, то опреде-
		литель их матрицы Грама равен нулю. Действительно, пусть
		существуют не равные	нулю	одновременно числа
		λ1 , λ 2 ,..., λ k , такие, что
		λ1 f1 + λ 2 f 2	+ ... + λ k	f k = o .
		Умножив это равенство скалярно слева на fi			i = [1, k] , по-
		лучим
		λ1 ( fi , f1 ) + λ 2 ( fi , f 2 ) + ... + λ k ( fi , f k ) = 0			i = [1, k ] .

Тогда, согласно правилам действий с матрицами (см. § 1.1), следует, что нетривиальная линейная комбинация столбцов матрицы Грама, имеющая коэффициентами числа

λ1 , λ 2 ,..., λ k ,

будет равна нулевому столбцу и, следовательно, будет равен нулю определитель матрицы Грама (см. лемму 6.5.2 и теорему

6.5.2).

С другой стороны, если элементы { f1 , f 2 , ..., f k } линейно

независимы, то они образуют базис в своей линейной оболочке и к ним применим результат теоремы 10.3.1.

Следствие доказано.

Теперь можно доказать необходимость в теореме 9.3.4.

Теорема	Для положительной определенности квадратич-
9.3.4	ного функционала в Λn необходимо и достаточно,

366	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
(Критерий	чтобы все главные миноры его матрицы, имеющие
Сильвестра).	вид
		ϕ11	ϕ12	...	ϕ1k
		ϕ11	ϕ12	...	ϕ1k
	det	ϕ21	ϕ22	...	ϕ2k	; k = [1, n] ,
		...	... ... ...
		ϕk1	ϕk 2	...	ϕkk

были положительными.

Доказательство необходимости.

1°. В § 10.1 было отмечено, что введение скалярного произведе- ния в линейном пространстве равносильно заданию некото- рого симметричного билинейного функционала, порождаю- щего положительно определенный квадратичный функцио- нал. Обратно, по положительно определенному квадратично- му функционалу, однозначно восстанавливается породивший его симметричный билинейный функционал, который можно принять за скалярное произведение.

2°. Покажем, что у положительно определенного квадратичного функционала все (указанного в условии теоремы вида) глав- ные миноры его матрицы положительны. Действительно, ес-

ли ввести в Λn скалярное произведение при помощи его по- рождающего билинейного функционала, то матрица этого квадратичного функционала в базисе {g1 , g2 ,..., gn } есть матрица Грама этого базиса.

Рассмотрим последовательно линейные оболочки систем эле- ментов вида {g1 , g2 , ..., gk } ; k = [1, n] . Все эти системы

линейно независимые (как подмножества базиса), и по тео- реме 10.3.1 соответствующие им матрицы Грама имеют по- ложительные определители, поэтому

Глава 10 . Евклидово пространство

367

β11

β12 ...

β1k

det

β21

β22 ...

β2k

... ... ... ...

βk1

βk 2 ...

βkk

(g1 , g1 )

(g1 , g 2 ) ...

(g1 , g k )

= det

(g 2 , g1 )

(g 2 , g 2 ) ...

(g 2 , g k )

> 0 ;

...

(g k , g1 )

(g k , g 2 ) ...

(g k , g k )

k = [1, n].

Теорема доказана.

Теорема Координатный столбец любого элемента x x евклидо-

10.3.2.ва пространства E n в базисе {g1 , g2 ,..., gn } может быть представлен в виде

−1

( x, g1 )

где

– матрица Грама, а

( x, g2 )

...

( x, gn )

Доказательство.

Умножим обе части равенства

x = ∑ξi gi

скалярно на gk ,

i=1

k = [1, n] . Тогда получим систему уравнений

∑ξi (gi , gk ) = (x, g k ) ,

k = [1, n] ,

i=1

368 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

основная матрица которой есть базисная матрица Грама. По- скольку в силу теоремы 10.3.1 эта матрица невырожденная,

приходим к формуле

−1

Теорема доказана.

Следствие В ортонормированном базисе {e1 , e2 ,..., en } евклидо-

10.3.2.	E n для любого элемента
ва пространства

x= ∑ξi ei E n

i=1

имеют место равенства ξi = (x, ei ) , i = [1, n] .

Замечание: формула ξi = (x, ei ) , i = [1, n] малополезна для ко-

нечномерных евклидовых пространств, поскольку эле- мент x в этом случае однозначно и полностью описыва- ется своими координатами. Однако данная формула мо- жет быть использована для обобщения понятия коорди- натного представления на случай евклидовых про- странств с неограниченным числом линейно независи- мых элементов (см. § 12.3).

§10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве

Согласно определению 5.1.4 матрица Q , удовлетворяющая со-