МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 349

Поскольку в запись уравнения линии второго порядка на плоско- сти входят также и коэффициенты D, F и E, то следует выяснить, не существуют ли дополнительные инварианты, образованные из всей совокупности коэффициентов A, B, C, D, F и E. Для этого рассмотрим

Ψ(x, y,1) = 0 , есть рассматриваемая нами линия второго порядка,

расположенная в пространстве на плоскости z = 1. Пусть в Λ3 вы- полняется замена базиса, при которой плоскость z = 1 переходит са- ма в себя. Найдем для этой замены базиса правило изменения коэф- фициентов квадратичного функционала Ψ(x, y, z).

Доказательство.

Замена координат в плоскости Oxy выполняется по форму-

лам

x = σ11 x′ + σ12 y′ + σ13 ,y = σ21 x′ + σ22 y′ + σ23 ,

Лемма доказана.

Поскольку ранг и сигнатура квадратичного функционала не меня- ются при любых заменах базиса, то это будет верным и для замен, переводящих плоскость z = 1 саму в себя. Поэтому rg Ψ и sgn Ψ

сохраняются при таких заменах, а числа rg Ψ и sgn Y являются

инвариантами уравнения линии второго порядка. Таким образом, до- казана

Теорема При любых заменах декартовой системы коорди-

для девяти видов линий второго порядка на плоскости, приведенных в формулировке теоремы 4.4.1, результаты поместим в таблицу 9.4.1 из которой следует, что каждый вид линии второго порядка на плоскости имеет свой, уникальный набор значений инвариантов, который может быть принят за признак принадлежности некоторой линии второго порядка к конкретному виду.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 351

Таблица 9.4.1

В заключение отметим, что

1°. Подсчет значений рангов и модулей сигнатур выполняется путем приведения квадратичного функционала к диагонально-

В этом случае для подсчета ранга и сигнатуры можно исполь-

тя и не обеспечивает выполнение условия перехода плоскости z = 1 самой в себя, но, как всякая линейная замена коорди- нат, сохраняет ранг и сигнатуру. Действительно,

2°. Для линий второго порядка на плоскости существуют и дру- гие ортогональные инварианты, например, инвариантами яв-

вость этого утверждения показана в § 4.4.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 353

3°. Схема классификации, аналогичная рассмотренной, может быть построена и для поверхностей второго порядка в про- странстве.

§9.5. Экстремальные свойства квадратичных функционалов

Из теоремы 9.2.1 следует существование в Λn базиса, в котором квадратичный функционал Ф(x) имеет диагональный вид. Допус-

x = 1, 0,..., 0 T – минимум значений функционала.

Теорема доказана.

§ 9.6. Полилинейные функционалы

По аналогии с билинейными функционалами, зависящими от пары элементов линейного пространства, можно определить нелинейные функционалы, обладающие аналогичными свойствами, но зависящие от большего числа аргументов.

Определение Пусть в линейном пространстве Λ каждому упоря-

9.6.1.доченному набору из k элементов {x1, x2 ,..., xk }

поставлено в соответствие число Q(x1, x2 ,..., xk )

так, что для любого j = [1, k]

Q(x1 ,..., αx′j + βx′j′,..., xk ) =

= αQ(x1 ,..., x′j ,..., xk ) + βQ(x1 ,..., x′j′,..., xk )

x′, x′′ Λ α,β,

тогда говорят, что в Λ задан полилинейный функ-

ционал, а именно, k -линейный функционал.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 355

Пример 1°. Произведение определенных в Λ k линейных функ-

9.6.1.ционалов F1 (x), F2 (x),K, Fk (x) , то есть

Q(x1 , x2 ,K, xk ) = F1 (x1 )F2 (x2 )KFk (xk ) ,

является k -линейным функционалом в Λ .

2°. Смешанное произведение трех векторов в трехмер- ном геометрическом пространстве является трили- нейным функционалом.

3°. Определитель n -го порядка есть полилинейный

функционал от n элементов в Λn в случае, когда ко- ординатные представления этих элементов являются столбцами данного определителя.

Глава 10

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

§ 10.1. Определение и основные свойства

В произвольном линейном пространстве отсутствуют понятия “ длины”, “ расстояния”, “ величины угла” и других метрических харак- теристик. Однако их использование становится возможным, если в линейном пространстве дополнительно ввести специальную, опреде- ляемую ниже операцию.

Определение Пусть в вещественном линейном пространстве каж-

10.1.1.дой упорядоченной паре элементов x и y поставле-

но в соответствие вещественное число (x, y), назы-

ваемое скалярным произведением, так, что выполнены аксиомы:

1)(x, y) = ( y, x);

2)(lx, y) = l(x, y);

3)(x1 + x2 , y) = (x1, y) + (x2 , y);

4)(x, x) ³ 0 , причем

(x, x) = 0 Û x = o ,

тогда говорят, что задано евклидово пространство E.

Замечание: аксиомы 1–4 в совокупности означают, что скалярное произведение есть билинейный (что следует из аксиом 2 и 3) и симметричный (следует из аксиомы 1) функционал, который, кроме того, порождает положительно опреде- ленный квадратичный (следует из аксиомы 4) функцио- нал. Любой билинейный функционал, обладающий дан- ными свойствами, может использоваться в качестве ска- лярного произведения.

Пример 1°. Трехмерное геометрическое пространство со ска-

10.1.1.лярным произведением, введенным по правилам § 2.2, является евклидовым.

2°. Пространство n-мерных столбцов

со скалярным произведением, определяемым по

n

формуле (x, y) = ∑ξi ηi , есть евклидово про-

i=1

странство.

3°. Евклидовым будет пространство непрерывных на [α,β] функций со скалярным произведением

β

(x, y) = ∫ x(τ) y(τ)dτ .

α

Задача Можно ли в трехмерном пространстве скалярное произ-

10.1.1.ведение определить как произведение длин векторов на куб косинуса угла между ними?

Решение. Нет, нельзя, так как не будет выполняться аксиома 3 опре- деления 10.1.1.

Замечание: использование для обозначения нормы элемента ограни-

чителей вида ... не приводит к каким-либо конфлик-

там с введенными ранее обозначениями, поскольку для линейного пространства вещественных чисел норма чис- ла, очевидно, совпадает с его абсолютной величиной, для комплексного числа норма совпадает с его модулем, а для линейного пространства геометрических векторов

– с длиной вектора.

Доказательство.

Для x, y E и вещественного числа τ элемент x − τ y E .

Согласно аксиоме 4 из определения 10.1.1

0 ≤ (x − τ y, x − τ y) = (x, x) − 2(x, y)τ + ( y, y)τ2 =

= x 2 − 2(x, y)τ + y 2 τ2 τ.

Полученный квадратный трехчлен неотрицателен для любого τ тогда и только тогда, когда его дискриминант неположителен, то

10.1.2.вращается в равенство тогда и только тогда, когда элементы x и y линейно зависимы.