МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 339

мы получим следующий диагональный вид исходного квадратичного функционала:

§9.3. Исследование знака квадратичного функционала

Несмотря на неединственность диагонального или канонического представления, квадратичные функционалы обладают рядом важных свойств, инвариантных относительно (то есть не зависящих от) вы-

бора базиса в Λn . Одной из таких характеристик является ранг квад-

ратичного функционала.

Определение Максимальное число не равных нулю коэффициентов

9.3.1.сит от выбора базиса.

Доказательство.

По следствию 9.1.2 ранг матрицы билинейного функционала не зависит от выбора базиса. Поэтому не будет зависеть от выбора базиса и ранг матрицы порождаемого им квадратичного функ- ционала.

С другой стороны, в силу теорем 8.4.3 и 9.1.1 ранг матрицы квадратичного функционала равен числу ненулевых коэффици- ентов в его каноническом виде.

Теорема доказана.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 341

подставить в равенства (9.3.1), то мы получим однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных

{ξ1 , ξ2 ,..., ξn }.

Поскольку число таких уравнений меньше числа неизвестных, то можно утверждать, что она в силу теоремы 6.7.1 имеет не- тривиальные решения, и, следовательно, элемент x может быть ненулевым.

С другой стороны, из равенства (9.3.2), положительности чи- сел λ i ; i = [1, m] и μ i ; i = [1, q] , а также условий

ηi = 0 i = [1, k] ; κi = 0 i = [ p + 1, n]

следует, что и κ i = 0 ; i = [1, p].

Тогда в силу (9.3.1) мы получаем однородную систему n ли-

n

нейных уравнений κ s = ∑θsj ξ j ; s = [1, n] с n неизвест-

j=1

ными и невырожденной основной матрицей, имеющую толь- ко тривиальное решение, то есть элемент x обязан быть ну- левым. Полученное противоречие показывает ошибочность предположения о том, что k < p .

4°. Аналогичными рассуждениями показываем, что невозможно и соотношение k > p . Поэтому приходим к заключению, что

k = p .

5°. По теореме 9.3.1 m = q , и потому k − m = p − q .

Теорема доказана.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 343

Для исследования знака значений квадратичного функционала введем в рассмотрение понятие его знаковой определенности.

Определение 1°. Квадратичный функционал Ф(x) называется по-

9.3.3.ложительно определенным на подпространстве

Ω+ Λ , если Ф(x) > 0 для любого ненулевого

x Ω + .

2°. Квадратичный функционал Ф(x) называется от-

рицательно определенным на подпространстве

Ω− Λ , если Ф(x) < 0 для любого ненулевого

x Ω − .

3°. Если же Ω+ (или Ω− ) совпадает с L , то гово- рят, что квадратичный функционал Ф(x) являет-

ся положительно (отрицательно) определенным.

4°. Если же Ф(x) ³ 0 ( Ф(x) £ 0 ) для всех x Î L ,

то говорят, что квадратичный функционал являет-

ся положительно (отрицательно) полуопределен- ным.

Теорема Максимальная размерность подпространства

9.3.3.в Λn , на котором квадратичный функционал положительно (отрицательно) определен, рав- няется положительному (отрицательному) индексу инерции этого функционала.

Доказательство.

Следует из теоремы 9.3.2 и очевидного равенства числа поло- жительных (отрицательных) элементов матрицы квадратичного функционала в диагональном представлении размерности под-

пространства Ω+ ( Ω− ).

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 345

Ф(x) = ∑∑ϕki ξk ξi + 2∑ϕkn ξk ξn + ϕnn ξ2n .

Двойная сумма в правой части этого равенства есть квадратич-

ный функционал Ф (x) , зависящий от n − 1 переменной,

причем его главные миноры совпадают с главными минорами Ф(x) до порядка n − 1 включительно, которые, по предполо-

жению индукции, положительны. Отсюда следует, что квадра-

тичный функционал Ф (x) положительно определенный, и

для него существует невырожденная замена переменных

n−1

ξk = ∑σki ηi ; k = [1, n − 1] ,

i=1

n−1

приводящая его к каноническому виду Ф (x) = ∑ηi2 .

i=1

Выпишем представление квадратичного функционала Ф(x) в

новых переменных:

i=1

Вматричном виде эту замену переменных можно записать как

346 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

и поскольку определитель ее матрицы отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

3°. Наконец, в силу следствия 9.1.1 определитель матрицы квад- ратичного функционала сохраняет знак при замене базиса. Знак определителя матрицы квадратичного функционала в исходном базисе положительный, поскольку этот определи- тель имеет вид

и является главным минором порядка n . Но тогда из выраже-

нал Φ(x) = ∑ζi2 .

i=1

Следовательно, квадратичный функционал Φ(x) положитель-

но определен для числа переменных n , а значит, в силу мате- матической индукции, для любого числа переменных.

Достаточность доказана.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 347

Доказательство необходимости критерия Сильвестра положитель- ной определенности квадратичного функционала приводится в разде- ле “ Евклидово пространство” § 10.3.

Исходя из критерия Сильвестра для положительной определенно- сти квадратичного функционала, можно получить аналогичный кри- терий отрицательной определенности квадратичного функционала.

Следствие Для отрицательной определенности квадра-

9.3.1.тичного функционала в Λn необходимо и дос- таточно, чтобы главные миноры четного по- рядка матрицы функционала были положи- тельны, а нечетного порядка – отрицательны.

Доказательство.

Пусть квадратичный функционал Ф(x) отрицательно опреде-

ленный, тогда функционал − Ф( x) будет, очевидно, положи-

тельно определенным. Применяя к нему критерий Сильвестра положительной определенности, получим для главного минора k -го порядка, использовав линейное свойство определителя, ус-

Откуда и следует доказываемое утверждение.

Следствие доказано.