МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 329

Теорема Для симметричности билинейного функционала

9.1.2.в Λn необходимо и достаточно, чтобы его матри- ца была симметрической.

Доказательство.

Необходимость следует из соотношений

βij = B(gi , g j ) = B(g j , gi ) = β ji

i, j = [1, n].

Докажем достаточность. Действительно, если

βij = β ji i, j = [1, n] , то

n n n n

B( y, x) = ∑∑β ji η j ξ i = ∑∑β ji ξ i η j =

n n

= ∑∑βij ξ i η j = B(x, y).

i=1 j=1

Теорема доказана.

§ 9.2. Квадратичные функционалы

Определение Пусть в линейном пространстве Λ каждому элемен-

9.2.1.ту x поставлено в соответствие число

Ф(x) = B(x, x) ,

где B(x, y) – некоторый билинейный функционал в

Λ , тогда говорят, что в Λ задан квадратичный функционал (или квадратичная форма).

В общем случае в вещественном линейном пространстве по задан- ному квадратичному функционалу нельзя восстановить порождающий его билинейный функционал, однако это можно сделать в случае сим- метричного билинейного функционала.

Действительно, пусть квадратичный функционал Φ(x) порожден симметричным билинейным функционалом B(x, y), тогда для лю-

бых x и y имеет место равенство

Φ(x + y) = B(x + y, x + y) =

=B(x, x) + B(x, y) + B( y, x) + B( y, y) =

=Φ(x) + 2B(x, y) + Φ( y) ,

откуда B(x, y) = Φ(x + y) − Φ(x) − Φ( y) . 2

базисе. Замена базиса, естественно, приводит к изменению матрицы квадратичного функционала по формуле Φ g′ = S T Φ g S , оп-

ределяемой теоремой 9.1.1.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 331

Отметим, что иногда целесообразно строить квадратичный функ- ционал Ф(x) по порождающему билинейному функционалу, про-

симметрировав предварительно последний. Действительно, для любо- го B(x, y) можно указать симметричный билинейный функционал

1

вида ( B( x, y) + B( y, x)) , который будет порождать тот же са-

2

мый квадратичный функционал Ф(x) , что и B(x, y) .. В этом случае очевидно, что

2−1 0

9.1.2не являющийся симметрическим. Порождаемый им в

Λ3 квадратичный функционал будет иметь вид

Ф1 (x) = ξ12 + 3ξ22 − 4ξ1ξ2 + 2ξ1ξ3 − 2ξ2 ξ3 .

В то же время симметричный билинейный функционал

в Λ3 квадратичный функционал вида

Ф2 (x) = ξ12 + 3ξ 22 − 4ξ1ξ2 + 2ξ1ξ3 − 2ξ2 ξ3 ,

который совпадает с Ф1 (x) и имеет матрицу

В ряде важных прикладных задач оказывается необходимым оты- скание базисов, в которых квадратичный функционал имеет наиболее простой и удобный для исследования вид.

Определение Квадратичный функционал Ф(x) имеет диагональ-

9.2.3. ный вид в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } Λn , если он в этом базисе представим как

n

Ф(x) = ∑λ i ξi2 ,

i=1

где λ i i = [1, n] – некоторые числа.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 333

2°. Предположим, что утверждение теоремы верно для квадра- тичных функционалов, зависящих от n − 1 переменной, и рассмотрим случай n переменных.

Будем считать, что j11 ¹ 0 . Этого можно добиться изме-

нением нумерации переменных в случае, когда хотя бы одно

получаем запись квадратичного функционала с ненулевым диагональным элементом

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 335

В последней формуле первое слагаемое есть полный квадрат, а

второе – квадратичный функционал, не зависящий от x1 и при-

водящийся, согласно предположению индукции, к канониче- скому виду некоторой невырожденной заменой переменных

которая приведет к представлению его в каноническом виде.

Поскольку в силу j11 ¹ 0 матрица выполненной замены пе-

ременных

имеет определитель, не равный нулю, то замена (9.2.1) – невы-

ляется матрицей перехода к искомому базису.

Теорема доказана.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 337

зывается диагональной. Применение данного алгоритм иллюстрирует следующий пример.

Задача Привести в Λ3 к диагональному виду квадратичный

9.2.1.функционал

Ф(x) = −2ξ12 − ξ22 − 4ξ32 − 8ξ1ξ2 + 2ξ1ξ3 − 8ξ2 ξ3 .

Решение. В исходном базисе функционал Ф(x) имеет матрицу

1º. На первом шаге процедуры выполним следующие элементарные операции:

-заменим вторую строку исходной матрицы разностью второй и третьей ее строк;

-в полученной матрице заменим второй стол- бец разностью второго и третьего столбца,

врезультате чего получаем матрицу вида

Кроме того, заменив в единичной матрице