Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 5533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве

319

Тогда в силу линейности функционала справедливы соотношения

f (x) = f (∑ξ i gi ) = ∑ξ i f (gi ) = ∑φ i ξ i ,

i=1

где φ i = f (gi ) , i = [1, n]

– числа, называемые компонентами ли-

нейного функционала в данном базисе.

Из последних равенств следует легко проверяемая

Теорема Каждый линейный функционал

f (x) в Λn в кон-

8.7.1.

кретном базисе

{g1, g2 ,..., gn} имеет однозначно оп-

ределяемую строку компонентов

g =

φ1

φ2 K φn

а каждая строка компонентов

φ1 φ2 K φn

конкретном базисе в Λn

определяет некоторый ли-

нейный функционал по формуле

f (x) = ∑φ i ξi ,

или

i=1

в матричном виде f (x) =

Запись координатного представления линейного функционала в

Λn в виде строки (а не столбца!) следует из необходимости обеспе- чить соответствие этого представления определению 8.4.5, поскольку

линейный функционал в Λn можно рассматривать как линейное ото- бражение Λn → Λ1 .

Получим теперь правило изменения компонент линейного функ-

ционала в Λn

при переходе от одного базиса к другому. Пусть в Λn

даны два базиса {g1 , g

′

2 ,..., gn } и {g1 , g

2 ,..., gn }, связанные матри-

цей перехода

σij

, где g′j = ∑σ ij gi

j = [1, n] .

i=1

320	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Координатные представления некоторого элемента x будут иметь

x =

в рассматриваемых базисах вид

∑

а коорди-

i=1

ξ′ g ′ ,

натные представления линейного функционала

f (x)

–

соответствен-

но

f (x) =

φ′

ξ′ .

∑

i=1

Найдем выражения для величин

φ′i

через

φi . Используя введен-

ные обозначения, получаем

φ′i = f (gi′) = f (∑σki g k ) = ∑σki f (g k ) =∑φ k σki ,

k =1

что доказывает следующее утверждение.

Теорема В Λn

в базисах {g

, g

,..., g

}

и {g′, g′

,..., g ′ } ком-

8.7.2.

поненты

координатных

представлений линейного

функционала

, φ

,..., φ

g′

φ′

, φ′

,..., φ′

связаны соотношением φ′

; k = [1, n] , где

∑

коэффициенты σik

i=1

– коэффициенты

–

матрицы

перехода от первого базиса ко второму.

В матричной форме это утверждение имеет вид

f g′ = f g S .

Это означает, что компоненты линейного функционала в Λn преоб- разуются при замене базиса так же, как преобразуются столбцы ба- зисных элементов (см. § 7.3).

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 321

Двойственное (сопряженное) пространство. Взаимный (биортогональный) базис

Поскольку линейные функционалы в Λ являются частным случа- ем линейных операторов, то для них можно ввести операции сравне- ния, сложения и умножения на число.

Задача

Показать, что в Λn с базисом {g1 , g2 ,..., gn } опера-

8.7.2.ции сложения и умножения на число для линейных функ- ционалов p(x) и q(x) в координатном представлении

имеют вид

p + q

g =

φ1 + ψ1

φ2 + ψ 2

...

φn

+ ψ n

λ p

g =

λφ1

λφ2

...

λφn

где

Kφ1

φ2

...

φn

ψ1

ψ 2

...

ψ n

Очевидно, что при этом будут справедливы все утверждения § 8.2, в том числе и

Теорема Множество всех линейных функционалов, заданных в

8.7.3.линейном пространстве Λ , является линейным про- странством.

Определение Линейное пространство линейных функционалов, за-

8.7.3.данных в Λ , называется двойственным (или сопря-

женным) пространству Λ и обозначается Λ+ .

Теорема 8.7.1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами линейных функционалов и n-компонентных строк, последнее из которых является линейным n-мерным простран-

322 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

ством. Принимая во внимание, что операции с линейными функцио-

налами в координатном представлении в Λn совпадают с аналогич- ными операциями для n-компонентных строк, можно прийти к заклю-

чению об изоморфности линейных пространств Λn и Λn+ . Поэтому будет справедлива

Теорема Размерность пространства Λn+ , двойственного Λn ,

8.7.4.равна n .

Как и во всяком n-мерном линейном пространстве, в Λn+ должен

существовать		базис.	Пусть он состоит из элементов
{r , r ,..., r }; r Λn+			i = [1, n] . Тогда каждый элемент f Λn+
1 2	n	i

может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации

базисных элементов, то есть f = ∑ρ i ri , а стандартное для Λn

i=1

столбцовое координатное представление элемента f , будет иметь

вид

ρ1

f r = ρ2 .

ρn

Связь между координатными представлениями линейного функ-

ционала f в базисах {g

, g

,..., g

} Λn

и {r , r ,..., r } Λn+

задается квадратной, порядка n , матрицей

элементами кото-

рой являются числа γ ij = ri (g j ) ; i, j = [1, n] –

значения функциона-

ла ri на элементах g j .

n -мерным линейным пространством, то

Глава 8 .

Линейные зависимости в линейном пространстве 323

Задача

Доказать,

что

если {r , r ,..., r }

– базис

Λn+ , а

8.7.3.

{g1 , g2 ,..., gn } –

базис в Λn , то

= (

)−1

или

Определение

Если матрица

, то есть

8.7.4.

1, i = j,

gij

= dij

"i, j = [1, n] ,

0, i ¹ j

то базисы

{g1 , g2 ,..., gn }

и {r1 , r2 ,..., rn }

называ-

ются взаимными (биортогональными).

Отметим, что если базис {r , r ,..., r } в Ln+

является взаимным

для базиса

{g1 , g2 ,..., gn }

Ln ,

то для любого линейного функ-

ционала f (x)

его координатные представления в Ln

и в Ln+ связа-

T .

ны очевидным соотношением

Вторичное двойственное (вторичное сопряженное) пространство

Поскольку Ln+ является

в нем так же, как и в Ln , возможно определять линейные функциона- лы и рассматривать их множество как новое линейное пространство

Ln++ , двойственное к Ln+ . Будем называть пространство Ln++ вто-

ричным двойственным для линейного пространства Ln .

Вполне очевидно, что линейные пространства Ln , Ln+ и Ln++ n -мерные и, следовательно, изоморфны друг другу. Однако для про-

странств Ln и Ln++ существует особый изоморфизм, позволяющий не делать различия между ними и который может быть построен сле- дующим образом.

324	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Пусть x – некоторый элемент из Λn , а X ( f ) – действующий в
Λn+	функционал, такой, что X ( f ) = f (x) f Λn+ . Убедимся

вначале, что X ( f ) линейный на Λn+ , то есть он будет некоторым элементом в Λn++ . Действительно,

	X (λ1 f1 + λ 2 f 2 ) = λ1 f1 (x) + λ 2 f 2 (x) =
	= λ1 X ( f1 ) + λ 2 X ( f 2 ) λ1 , λ 2 ;	f1 , f 2 Λn+ .
Это	означает, что X ( f ) Ω f Λn+ , где,	согласно теореме
8.4.1,	Ω – подпространство линейного пространства Λn++ .

Теперь рассмотрим отображение X (x) : Λn → Ω , которое можно записать и как y = X ( f (x)) x Λn ; y Ω . Оно будет линейным,

как произведение (композиция) линейных отображений X ( f ) и

f (x) , и, кроме того, очевидно, взаимно однозначным. Следователь-

но, y = X ( f (x)) – отображение, устанавливающее изоморфизм ли-

нейного пространства Λn и множества Ω , а тогда в силу теоремы

7.5.1 dim(Ω) = dim (Λn ) = n .

Наконец, отметим, что сочетание условий

dim (Λn++ ) = n = dim(Ω) и Ω Λn++

означает совпадение множества Ω и линейного пространства Λn++ .

Таким образом, мы приходим к заключению, что отображение y = X ( f (x)) x Λn ; y Λn++ устанавливает тождественное

взаимно однозначное соответствие между элементами линейных про-

странств Λn	и	Λn++ , позволяющее считать их одним и тем же про-
странством	Λn	и записывать связь между значениями линейных
функционалов,		действующих в Λn и Λn+ , в симметричной форме
вида		x( f ) = f (x) ; x Λn ; f Λn+ .
		x( f ) = f (x) ; x Λn ; f Λn+ .

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 325

Глава 9

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 9.1. Билинейные функционалы

Определение Пусть в линейном пространстве Λ каждой упорядо-

9.1.1.ченной паре элементов x и y поставлено в соответ-

ствие число B(x, y) так, что

		1)	B(αx1 + βx2 , y) = αB(x1 , y) + βB(x2 , y)
			x1 , x2 , y Λ ; α,β ,
		2)	B(x, α y1 + β y2 ) = αB(x, y1 ) + βB(x, y2 )
			x, y1 , y2 Λ ; α,β ,
		тогда говорят, что в Λ задан билинейный функционал
		(или билинейная форма).
Пример	1°.	Произведение двух линейных функционалов F (x)
9.1.1.		и	G( y) , определенных в Λ ,
		и	G( y) , определенных в Λ ,
			B(x, y) = F (x)G( y)
		есть билинейный функционал.
	2°.	Двойной интеграл
			B(x, y) = ∫∫ K (τ, σ)x(τ) y(σ)dσdτ =
			Ω

β β

=∫ x(τ)(∫ K (τ, σ) y(σ)dσ)dτ,

αα

где функция двух переменных K (τ, σ) непрерывна

326 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

	α ≤ τ ≤ β
на множестве	Ω :	, есть билинейный
	α ≤ σ ≤ β
функционал в линейном пространстве непрерывных
на [α,β] функций.
3°. Билинейным	функционалом	является скалярное

произведение векторов на плоскости или в про- странстве.

Билинейные функционалы в Λn .

Пусть в Λn заданы базис {g1 , g 2 ,..., g n } и билинейный функ-

ционал B(x, y) . Найдем формулу для выражения его значения через координаты аргументов.

Предположим,

что

в рассматриваемом

базисе

x = ∑ξi gi и

i=1

y = ∑η j g j

, тогда, согласно определению 9.1.1, справедливы ра-

j =1

венства

B(x, y) = B(∑ξ i gi , ∑η j g j ) = ∑ξ i B(gi , ∑η j g j ) =

i=1

j =1

i=1

j =1

n n

= ∑∑ξ i η j B(gi , g j ) = ∑∑βij ξ i η j .

i=1 j =1

i=1 j=1

Определение

Числа

βij = B(gi , g j ) называются компонентами

9.1.2.

билинейного

функционала

B(x, y)

базисе

{g1 , g 2 ,..., g n }, а матрица

g =

βij

–

матри-

цей билинейного функционала в этом базисе.

Глава 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 327

В Λn с базисом {g1 , g 2 ,..., gn }		билинейный функционал может
быть представлен в виде
n n	n n	n	n

Β (x, y) = ∑∑βki ξ k ηi = ∑∑ξ k1βki ηi1 =∑ξ1Tk ∑βki ηi1 =

k =1 i=1

k =1

i=1

β11

β12

...

β1n

η1

ξ1

ξ 2

...

ξ n

β21

β22

...

β2n

η2

... ... ... ...

...

βn1

βn 2

...

βnn

ηn

где столбцы

– координатные представления элементов

xи y в данном базисе.

Матрица билинейного функционала зависит от выбора базиса. Правило изменения матрицы билинейного функционала при замене базиса дает

Теорема Пусть

–

матрица

перехода от базиса

9.1.1.

′

{g1, g2 ,..., gn} к базису {g1, g2

,..., gn}, тогда

g′ =

Доказательство.

По определению матрицы перехода от одного базиса к другому в

Λn (см. § 7.3) имеют место соотношения

′

= ∑σik gi

, k

= [1, n] ,

g k

i=1

328

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

но тогда

β′

= B(g ′

, g ′) = B(

) =

∑

i=1

j =1

n n

=∑∑σik σ jl B(gi , g j ) = i=1 j =1

= ∑∑σik σ jl βij = ∑σTki ∑βij σ jl

i=1 j =1

i=1

j =1

для всех k , l = [1, n] .

Теорема доказана.

Следствие

det

g′

= det

g det

9.1.1.

Доказательство.

Следует из теоремы 9.1.1, а также свойств детерминанта (тео-

ремы 6.2.1 и 6.2.4).

Отметим, что в силу невырожденности матрицы перехода знак оп- ределителя матрицы билинейного функционала не зависит от выбора базиса.

Следствие Ранг матрицы билинейного функционала не

9.1.2.зависит от выбора базиса.

Доказательство.

Следует из теоремы 8.4.3 и невырожденности матрицы пере-

хода	S	.
Определение	Билинейный функционал B(x, y) называется сим-

9.1.3.метричным, если для любой упорядоченной пары элементов x и y линейного пространства Λ имеет место равенство B(x, y) = B( y, x) .

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 5533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
01.07.2025260.61 Кб0Написание сочинения ЕГЭ-11.doc
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf