МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 309

и инвариантное подпространство, являющееся линейной оболоч-

Заметим, что при необходимости искомое инвариантное подпро- странство может быть задано и в виде однородной системы ли-

нейных уравнений, которая в данном примере имеет вид

ξ1 − ξ2 = 0

(см., например, решение задачи 8.4.1).

Теорема Совокупность собственных векторов, отвечающих

8.6.3.некоторому собственному значению линейного опера-

тора $ дополненная нулевым элементом линейного

A ,

пространства Λ , является инвариантным подпро-

странством оператора $

A .

Доказательство.

Пусть Aˆ f1 = λ f1 и Aˆ f2 = λ f2 . Тогда для любых, не равных ну- лю одновременно чисел α и β :

Aˆ (α f1 + β f 2 ) =

= α Aˆ f1 + βAˆ f 2 = αλ f1 + βλ f 2 = λ(α f1 + β f 2 ),

что и показывает справедливость утверждения теоремы.

Теорема доказана.

Определение Подпространство, состоящее из собственных векто-

8.6.1.ров, отвечающих некоторому собственному значению, дополненных нулевым элементом, называется инва-

риантным собственным (или просто собственным)

подпространством линейного оператора $ .

A

8.6.5.чающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство.

Один собственный вектор линейно независим как ненулевой. Пусть имеются m линейно независимых собственных векторов

оператора $ , отвечающих различным собст-

f 1 , f 2 , ... , f m A

венным значениям.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 311

Покажем, что в этом случае будут линейно независимы и m + 1 собственных векторов f 1 , f 2 , ... , f m , f m+1 , если они

также отвечают различным собственным значениям. Предположим противное: существует нетривиальная и равная нулевому элементу линейная комбинация собственных векто-

ров f 1 , f 2 , ... , f m , f m+1 :

k1 f1 + k2 f 2 + ... + km f m + km+1 f m+1 = o , (8.6.1)

причем без ограничения общности можно считать, что чис- ло km+1 ¹ 0.

Подействуем ˆ на обе части равенства (8.6.1):

A

Aˆ (k1 f1 + k2 f2 + ... + km fm + km+1 fm+1 ) =

= k1l1 f1 + k2 l 2 f2 + ... + km l m fm + km+1l m+1 fm+1 = o.

(8.6.2)

С другой стороны, умножая обе части равенства (8.6.1) на lm+1 и вычитая почленно результат этого умножения из ра-

венства (8.6.2), получим

ланному выше предположению, и по принципу математиче-

f 1 , f 2 , ... , f m , f m+1 .

Теорема доказана.

312 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

8.6.1.(с точностью до произвольного ненулевого множи- теля) не более чем n собственных векторов, отве-

чающих различным собственным значениям.

8.6.6.имеет n различных собственных значений, то суще-

ствует базис, образованный собственными вектора-

ми $ в котором матрица данного линейного опера

A , -

тора имеет диагональный вид, причем на ее диагонали

расположены собственные числа оператора $

A .

Доказательство.

Следует из теоремы 8.6.5 и замечания о важности собствен-

ных векторов § 8.5.

Теорема Пусть Λ – инвариантное собственное подпростран-

1 ≤ dim(Λ ) ≤ k.

Доказательство.

Выберем в Λn базис {g1, g2 ,..., gm , gm+1,..., gn } так, чтобы его первые m = dim(Λ ) элементов принадлежали Λ .

В силу условия кратности собственного значения

Aˆ gi = λ 0 gi ; i = [1, m] ,

поэтому матрица Aˆ − λ Eˆ g в этом базисе, согласно замеча-

нию о важности собственных векторов (см. § 8.5), будет иметь вид

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 313

Откуда следует, что

Поскольку множители вида (λ 0 − λ) могут содержаться также

Теорема доказана.

Таким образом, размерность инвариантного собственного подпро-

Таким образом, получаем, что данный линейный оператор имеет одномерное инвариантное собственное подпро-

странство ( m = dim(Λ ) = 1), соответствующее собст-

венному значению λ = 1 кратности 2.

На основании теорем 8.6.2, 8.6.5 и 8.6.6 приходим к выводу, что базис в конечномерном вещественном линейном пространстве, обра- зованный из собственных векторов действующего в нем линейного оператора, может не существовать из-за невещественности или кратности его собственных значений.

Пусть в Λn координатный столбец образа связан с координат- ным столбцом прообраза

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 315

Из теоремы 6.4.1 (Крамера) следует, что для заданного коорди- натного столбца элемента-образа эта система линейных уравне- ний, у которой неизвестными являются компоненты столбца элемента-прообраза, либо будет несовместной (элемент- прообраз не существует), либо будет иметь согласно следствию 6.7.1 неединственное решение (элемент-прообраз определяется неоднозначно).

Теорема доказана.

316 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Но поскольку это соотношение верно для всех базисных векторов,

то оно будет верно и для каждого элемента x Î Ln . Тогда из леммы 5.1.2 следует, что

Теорема доказана.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 317

Замечание: теорема Гамильтона– Кэли также верна и для линейных операторов, из собственных векторов которых базис образовать не удается.

§ 8.7. Линейные функционалы

Рассмотрим специальный случай линейного оператора, когда его область значений содержится в одномерном линейном пространстве, изоморфном множеству вещественных чисел. Такого рода зависимо- сти, следуя классификации, введенной в § 5.2, следует относить к функционалам. Напомним данное ранее

Определение Пусть каждому элементу x линейного пространства

8.7.1.Λ поставлено в соответствие однозначно определяе-

мое число, обозначаемое f (x) . Тогда говорят, что в