Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5161 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
03.06.2015
Размер:
6.64 Mб
Скачать
☆
Задача
8.5.1.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 299

Показать, что всякое инвариантное подпространство

невырожденного линейного оператора $ является

A

также инвариантным подпространством оператора

$ −1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Пусть

x Λ ,

где –

 

Λ

инвариантное подпространство

 

 

$

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

оператора A ,

тогда по условию задачи y = Ax Λ .

Если оператор

$

 

 

 

 

 

 

 

 

A невырожденный, то для него сущест-

вует обратный

$

−1

 

 

 

 

 

 

A

 

и связь элементов x, y Λ

можно

записать в виде

x =

$ −1

y ,

что и означает инвариант-

A

 

ность

 

подпространства

 

Λ

относительно

оператора

$ −1

A .

В приложениях важную роль играют так называемые задачи "по-

иска собственных вектором и собственных значений", основой кото-

рых служит понятие одномерного инвариантного подпространства.

Определение

Ненулевой элемент f Λ называется собственным

8.5.2.

$

 

вектором линейного оператора A , если существует

число λ , такое, что Aˆ f = λ f . Число λ называется

собственным значением оператора $ , соответст-

A

вующим собственному вектору f .

Заметим, что, согласно данному определению, f является нену-

левым элементом ядра линейного оператора Aˆ − λEˆ , то есть

f ker(Aˆ − λEˆ ) .

300

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Замечание о важности собственных векторов

Допустим, что для некоторого линейного оператора $ , заданного

A

в Λn , удалось найти n линейно независимых собственных векторов

{g1 , g 2 ,..., g n } , для которых выполнены равенства

ˆ

= l1 g1

;

ˆ

= l

2 g

ˆ

= l n g n .

Ag1

Ag 2

2 ; ... ; Ag n

Если принять набор элементов

{g1 , g 2 ,..., g n }

за базис, то дан-

ные соотношения можно рассматривать как координатные разложе-

ния образов базисных элементов:

Aˆ g k = 0 ×g1 + 0 ×g 2 + K+ l k gk + K+ 0 ×g n ; "k = [1, n] .

Поскольку, согласно теореме 7.2.1, эти разложения единственны, то, исходя из определения 8.3.1, можно утверждать, что матрица линей-

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ного оператора A в этом базисе будет иметь диагональный вид:

 

 

 

 

 

 

 

l1

0

...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

=

0

l 2

...

0

 

 

 

,

 

 

 

 

A

 

 

 

f

... ... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

...

l n

 

 

 

 

благодаря чему исследование свойств оператора упрощается.

$ существенно

A

Задача

8.5.2.

Показать, что если линейный оператор $ имеет соб-

A

ственный вектор f с соответствующим ему собствен-

ным значением λ , то элемент f будет также являться собственным вектором линейного оператора

$ 2 = $ $

A AA

с собственным значением l2 .

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 301

ˆ

 

= λ f ,

но тогда в силу линейности опе-

Решение. По условию Af

 

ˆ

 

 

 

 

ратора A

 

 

 

 

ˆ 2

f

ˆ ˆ

ˆ

2

A

= A( Af ) = A(λf ) = λ f .

Вычисление собственных векторов

и собственных значений линейного оператора в Λn

 

Выберем в

Λn

 

некоторый базис {g1, g2 ,..., gn}, в котором раз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f Λn будет

 

 

n

 

 

 

 

 

ложение элемента

 

f = ∑ξi

gi , а линейный оператор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

=

 

 

 

αk j

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A имеет в этом базисе матрицу

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Равенство

ˆ

 

= λ f в координатной

форме

n

 

A f

 

в Λ

имеет вид

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g = λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

g

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

g , то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α11ξ1 + α12 ξ2 + ... + α1n ξn

= λξ1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α 21ξ1 + α22 ξ2 + ... + α 2n ξn

= λξ2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αn1ξ1 + αn 2 ξ2 + ... + α nn ξn

= λξn ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(α11 − λ)ξ1 + α12 ξ2

 

+ ... + α1n ξn

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α21ξ1 + (α 22 − λ)ξ2

 

+ ... + α 2n ξn

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.5.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

........................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α n1ξ1 + α n2 ξ2 + ... + (αnn − λ)ξn

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

302

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Поскольку собственный вектор должен быть ненулевым по опре- делению, то нас интересуют только нетривиальные решения системы (8.5.1), необходимым и достаточным условием существования кото- рых, согласно следствию 6.7.2, является равенство нулю определите-

ля основной матрицы системы (8.5.1). Таким образом, мы приходим к условию, которому должны удовлетворять собственные значения λ

данного линейного оператора: det α kj − λδkj = 0

 

 

 

 

α11 − λ

α12

 

...

 

α1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или же det

 

α 21

α

22 − λ

...

 

α 2n

 

 

= 0.

(8.5.2)

 

...

 

...

 

...

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α n1

 

α n 2

 

...

α nn − λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

 

Уравнение

det

 

ˆ

ˆ

= 0 называется характе-

 

 

 

A − λE

 

8.5.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнением,

 

 

 

 

 

 

 

ристическим

 

 

а

определитель

 

 

 

 

det

ˆ

ˆ

 

–

характеристическим многочленом

 

 

 

 

A − λE

g

 

 

 

 

оператора

$

 

 

 

 

 

 

 

n

.

 

 

 

 

 

A , действующего в Λ

 

 

Теорема Характеристический многочлен линейного оператора

8.5.2.не зависит от выбора базиса в Λn .

Доказательство.

Заметим, что оператор

ˆ

ˆ

очевидно, линейный в силу

A

− λE ,

линейности операторов

ˆ

ˆ

Тогда, согласно следствию

A

и E .

8.3.3, определитель его матрицы не меняется при замене базиса.

Поэтому при переходе от базиса

 

{g1 , g2 ,..., gn } к базису

{g′, g′

,..., g ′ } имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

 

 

 

 

= det

 

 

 

ˆ

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det

 

 

 

A − λE

 

 

 

g′

 

 

 

A − λE

 

 

 

g .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 303

Характеристическое уравнение является алгебраическим уравне- нием n -й степени относительно λ , что следует из определения де- терминанта 6.1.2 и формулы (8.5.2).

Таким образом, мы получаем универсальный для Λn алгоритм вычисления собственных значений и соответствующих им собствен- ных векторов:

Решив характеристическое уравнение (8.5.2), из одно- родной системы уравнений (8.5.1) можно найти соб- ственные векторы, соответствующие последователь- но подставляемым в основную матрицу этой системы, найденным собственным значениям.

Примеры использования данного алгоритма в Λn иллюстрируют решения задач 8.6.1 и 8.6.2. В случае же линейных пространств, не имеющих базиса, задача отыскания собственных значений и построе- ния собственных векторов может оказаться значительно сложнее. На- пример, в линейном пространстве функций, имеющих на некотором интервале производную любого порядка, линейный оператор диффе- ренцирования имеет бесконечно много собственных векторов вида

f (τ) = α eλτ (где α – произвольная ненулевая константа) и соот-

ветствующих им собственных значений λ , находимых из дифферен-

циального уравнения

d f

= λ f .

d τ

 

 

§ 8.6. Свойства собственных векторов и собственных значений

Теорема В комплексном линейном пространстве Λn всякий

8.6.1.линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

304

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Доказательство.

Поскольку характеристическое уравнение является алгебраиче- ским уравнением n -й степени относительно l , то к нему при-

менима основная теорема высшей алгебры11, утверждающая,

что такое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень.

Теорема доказана.

В случае вещественного линейного пространства теорема 8.6.1 не- верна. Например, линейный оператор поворота в пространстве плос- кости Oxy вокруг оси Oz на угол j ¹ kp не имеет ни одного соб-

ственного вектора. Действительно, характеристическое уравнение для этого оператора имеет вид (см. § 5.5):

det

 

cos ϕ− λ

− sin ϕ

 

 

 

= 0 или

λ2 − 2λcos ϕ+1 = 0 ,

 

 

 

 

sin ϕ

cos ϕ− λ

 

 

 

то есть l = cos j ± i sin j . Откуда следует, что при j ¹ kp вещест-

венных решений данное характеристическое уравнение не имеет.

Теорема В вещественном линейном пространстве Λn всякий

8.6.2.линейный оператор имеет либо хотя бы один собст- венный вектор, либо двумерное инвариантное подпро- странство.

Доказательство.

Если характеристическое уравнение имеет вещественный корень, то из системы (8.5.1) находим собственный вектор.

Пусть характеристическое уравнение имеет комплексный ко- рень l= a + b i, тогда, решив систему (8.5.1), получим соответ-

ствующий ему комплекснозначный

собственный вектор

f = u + wi , где u и w – элементы

Λn , представляемые ве-

щественными n -компонентными столбцами.

11 Доказывается, например, в курсе ТФКП.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 305

 

Покажем,

u и w линейно независимые. Допустим противное:

 

u = κw .

ˆ

= λ f имеем,

что

 

Тогда из соотношения A f

 

ˆ

ˆ

 

 

A((κ + i)w) = λ(κ + i)w , или Aw = λw , то есть λ – веще-

ственное, что противоречит предположению о невещественно- сти собственного значения.

Подставим выражения для собственного значения и собствен-

 

 

ˆ

= λ f . Получаем

ного вектора в их определение: A f

 

ˆ

+ wi) = (α + β i)(u + wi) ,

 

A(u

 

 

$

 

или в силу линейности A

 

ˆ

ˆ

 

 

( Au) + ( Aw) i = (αu − βw) + (βu + αw) i,

и из равенства действительных и мнимых частей находим, что

Aˆ u = αu − βw,

ˆ = β + α

Aw u w.

Но это и означает, что оператор $ имеет двумерное инвари-

A

антное подпространство, совпадающее с двумерной линейной оболочкой элементов u и w, поскольку

Aˆ (ξu + ηw) = ξAˆ u + ηAˆ w = ξ(αu − βw) + η(βu + αw) = = (ξα + ηβ)u + (ηα − ξβ)w.

Теорема доказана.

Задача Найти собственные значения и собственные векторы

8.6.1. $

оператора A , действующего в пространстве трехмер- ных столбцов и заданного матрицей

−1

− 2

2

 

 

 

 

 

− 2

−1

2

 

 

.

− 3

− 2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

306

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Решение:

 

 

 

 

$

1°. Рассмотрим сначала случай, когда оператор A действует в ком-

плексном линейном пространстве. Будем искать собственные

значения по формулам (8.5.1) –

(8.5.2). Воспользовавшись пра-

вилом разложения определителя по первой строке (см. теорему

1.1.1), получим

 

 

 

 

 

− 1 − λ

− 2

2

 

 

 

 

 

det

− 2

− 1 − λ

2

 

=

 

− 3

− 2

3 − λ

 

 

 

 

 

 

 

 

=− (1 + λ)(λ − 1)2 + 2(2λ − 6 + 6) + 2(4 − 3 − 3λ) =

=−λ3 + λ2 − λ + 1 = −(λ2 + 1)(λ − 1).

Откуда следует, что из трех собственных значений одно λ1 = 1

– вещественное и два

λ 2 = i

и

 

 

λ 2

= −i

–

комплексно сопря-

женные12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°. Найдем теперь собственные векторы. Пусть

λ = λ1 = 1, тогда,

по формулам (8.5.2) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2

− 2

2

 

 

 

 

 

 

 

ξ1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2

− 2

2

 

 

 

 

 

 

 

ξ2

 

=

 

0

 

 

.

 

− 3

− 2

2

 

 

 

 

 

 

 

ξ3

 

 

 

0

 

 

 

Преобразовав матрицу построенной системы линейных уравне-

ний, получим компоненты собственных векторов ξ1 , ξ2 и ξ3 из

 

1

1

−1

 

 

ξ1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условий

 

 

ξ2

 

 

=

0

 

 

 

.

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 См. приложение 3.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 307

Следовательно, собственный вектор f1 , отвечающий собствен-

ному значению λ1 = 1, имеет вид

x1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

= m

 

 

 

1

 

 

"m ¹ 0 .

x3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3°. Пусть теперь λ = λ2

= i , тогда систему линейных уравнений

(8.5.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 - i

- 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2 -1 - i

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

=

 

 

 

0

 

 

 

 

 

- 3

- 2

3 - i

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

можно упростить, разделив13

обе части первого уравнения на

1 + i . Заметим, что в полученной таким образом системе

 

 

 

 

-1

-1 + i

1 - i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2

-1 - i

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

=

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

- 3

 

- 2

3 - i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

третье уравнение оказывается суммой первых двух и его можно отбросить как линейно зависимое.

Заменив затем второе уравнение разностью удвоенного первого и второго, получим

-1

-1 + i

1 - i

 

 

x1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

=

0

 

 

 

.

0

-1 + 3 i

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13 Правило деления комплексных чисел приведено в приложении 3.

308Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Инаконец, после умножения обеих частей второго уравнения на (−i) приходим к

 

 

 

 

-1

 

-1 + i

 

1 - i

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

=

 

 

 

 

0

 

 

 

.

 

 

 

 

 

0

 

3 + i

- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая значение свободного неизвестного

x3 = 3 + i , находим

 

второй собственный вектор:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 2 =

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

= m

 

 

 

2

 

 

"m ¹ 0 .

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°.

Проведя аналогичные вычисления, найдем, что собственный век-

 

тор, отвечающий собственному значению l3

 

 

= -i , имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f3 =

x2

 

 

 

= m

 

 

 

2

 

 

 

"m ¹ 0.

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

3 - i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Покажите самостоятельно, что комплексная сопряженность

f 2

 

и f 3 не случайна, то есть если l2 и l3

комплексно сопряжены,

 

то будут комплексно сопряжены и собственные векторы f 2

и

 

f 3 .)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°.

Если

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в вещественном линейном про-

оператор A действует

 

 

странстве, то согласно теореме 8.6.2

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A имеет собственный век-

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тор

1

, отвечающий собственному значению l1 = 1 ,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности