Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 289

Типы линейных отображений

Как было отмечено в § 8.1, в тех случаях, когда область значений оператора не принадлежит области определения, следует говорить об отображении.

В § 7.5 было использовано понятие взаимно однозначного отобра- жения, называемого иногда биекцией. Для отображений также выде- ляются специальные случаи так называемых инъективных и сюръек- тивных отображений. Рассмотрим эти случаи подробнее.

Определение	Отображение	ˆ	x Ω,		y Θ множества
Определение	Отображение	y = Ax ,	x Ω,		y Θ множества
8.4.3.	Ω в множество Θ называется инъективным (или инъ-
	Ω в множество Θ называется инъективным (или инъ-
	екцией), если из условия		ˆ	ˆ
	екцией), если из условия		Ax1 =	Ax2 вытекает
		x1 = x2 ,	x1 , x2 Ω .

В случае инъекции множество всех значений оператора
	y = Ax , x Ω, y Θ
	ˆ
может не совпадать с Θ .

Определение	Отображение	ˆ	x Ω,		y Θ множества
Определение	Отображение	y = Ax ,	x Ω,		y Θ множества
8.4.4.	Ω на множество Θ называется сюръективным (или
	Ω на множество Θ называется сюръективным (или
	сюръекцией),	если каждый элемент из Θ имеет про-
	образ в Ω .

В случае сюръекции прообраз любого элемента из Θ всегда су-

ществует в Ω , но, вообще говоря, он не единственен. В таблице 8.4.1 для сравнения приведены примеры отображений различных типов.

Заметим, что в частном случае, когда линейный оператор $ ото-

бражает элементы Λn в элементы Λn с базисом {g1, g2 ,..., gn}, то

есть является преобразованием в Λn , оказывается возможным сле- дующее дополнение к определению 8.3.1.

290	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
			Таблица 8.4.1
	Примеры отображений различных типов

Тип отображения		Инъективное	Неинъективное

	Сюрьективное

Несюрьективное

Определение	Квадратная матрица	ˆ		порядка n , столбцы кото-
		ˆ
		A	g
8.4.5.			g
8.4.5.	рой есть координатные представления элементов
	рой есть координатные представления элементов
	ˆ	ˆ		ˆ
	Ag1	, Ag		2 ,..., Ag n
	в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } ,			называется матрицей ли-

нейного преобразования $ в базисе

A {g1 , g 2 ,..., g n }.

Отметим также, что в конечномерном случае сюръективность ото-

ˆ	n	m	m	а
бражения A : Λ → Λ			означает выполнение условия Θ = Λ ,
инъективность –	условия		ˆ
			ker A = {o}. Альтернативную форму усло-

вий инъективности и сюръективности в конечномерном случае дает

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 291

Теорема Ранг матрицы линейного оператора, являющегося

8.4.5.сюръективным отображением, равен числу ее строк, а ранг матрицы инъективного отображения равен числу ее столбцов.

Доказательство.

1º. Пусть в базисах {g1 , g 2 ,..., g n }

и { f1 , f 2 ,..., f m }

отображе-

ние

имеет

матрицу

, причем

A :

Λ → Λ

= m .

Тогда

система

линейных уравнений

вида

g =

по теореме 6.6.1 (Кронекера− Капелли)

имеет решение

Λm ,

поскольку для ее расширенной

матрицы rg

= m . Значит,

для A каждый образ имеет

сюръективно.

хотя бы один прообраз и A −

2º. Пусть

= n .

Тогда,

по теореме 6.4.1

(Крамера),

x1 , x2 Λn

система

линейных

уравнений

вида

fg (

g −

) =

имеет единственное

реше-

ние,

которое очевидно тривиальное. Поэтому разные образы

имеют разные прообразы, и, следовательно,

A − инъективно.

Теорема доказана.

Иными словами,

для

инъективность равносильна

A : Λ → Λ

выполнению равенств

а сюръек-

rg A = rg

= dim(Λ ) = n ,

тивность −

) = m .

rg A = rg

= dim(Λ

Наконец, отображение, являющееся одновременно и инъективным и сюръективным, будет взаимно однозначным, или биекцией.

292Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Вобщем случае, исследование свойств оператора, у которого об- ласть значений не содержится в области его определения, может ока- заться достаточно сложной задачей. Если же область значений при- надлежит конечномерному линейному пространству, то пользуясь теоремой 7.5.1 (об изоморфизме), можно попытаться свести исследо- вание отображения к исследованию преобразования, установив изо- морфизм между областью значений отображения и некоторым под- пространством области его определения.

Пример 1°. Оператор Pr , ставящий в соответствие каждой точке

8.4.1.трехмерного геометрического пространства ее ортого- нальную проекцию на некоторую фиксированную пря- мую, проходящую через начало координат, очевидно,

есть отображение Λ3 → Λ1 , которое, однако, можно рассматривать и как преобразование трехмерного про- странства в одномерное подпространство.

Отметим, что, хотя в данном случае и отображение и преобразование реализуют геометрически одну и ту же функцию, вид задающих их матриц может быть раз- личным.

Например, пусть в ортонормированной системе коор-

→ → →

динат {O, e1 , e2 , e3} прямая, на которую выполняет-

ся ортогональное проектирование, задана направляю-

→

щим вектором

1 1

T . В этом случае ра-

→

диус-вектор

ортогональной проекции точки r с

→

равен

→

→ →

→

( r , e

)

r =

→

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 293

	x		x + y + z
			x + y + z
			3
или	y	=	x + y + z	, и, следовательно, матрица
или	y	=	3	, и, следовательно, матрица
	z		3
	z		x + y + z

			3

	Λ							Λ					1	1	1	1
	Λ							Λ		=
преобразования Pr имеет вид								Pr						1	1	1		.
преобразования Pr имеет вид								Pr						1	1	1		.
										e 3				1	1	1
										e 3

												→
Но, с другой стороны,			приняв вектор e											за базисный
									1
в Λ1 , получим, согласно определению 8.4.5, матрицу
Λ
отображения Pr в виде
	Λ		=		1
	Λ
	Pr						1	1	1			.
	Pr						1	1	1			.
		e e		3			ˆ


2°. Пусть линейный оператор
2°. Пусть линейный оператор							A ставит в соответствие
каждой матрице второго порядка											α11			α12			дву-
											α11			α12
											α 21			α
											α 21			α	22
мерный столбец вида			α11 + α12						.
			α11 + α12
			α	21		+ α		22
				21				22

Исследование свойств данного отображения можно свести к исследованию свойств преобразования, ста- вящего в соответствие квадратным матрицам квадрат- ные матрицы вида

α11	+ α12	0	.

α 21	+ α22	0

294	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

		ˆ			3	3	в некотором базисе
Задача Линейное отображение A :				Λ → Λ			в некотором базисе
8.4.1.			1		2	3
8.4.1.

задано матрицей	ˆ	=		2	3	4	. Найти его ядро и
	ˆ
	A
				3	5	7

множество значений. Выяснить, является ли данное ото- бражение инъективным или сюръективным.

ξ1

η1

Решение. 1°. Пусть

ξ2

η2

–

координатные пред-

ξ3

η3

ставления соответственно прообраза и образа оператора

множество элементов

x , таких,

y = Ax . Тогда ядро –

= o , задается

координатном

представлении

что Ax

системой линейных уравнений

ξ1 + 2ξ

2 + 3ξ3 = 0,

или

+ 3ξ2 + 4ξ3

= 0,

2ξ1

3ξ + 5ξ

+ 7ξ

= 0,

общее решение которой есть

ξ1

ξ2

= λ

− 2

ξ3

Отсюда заключаем, что ядро линейного отображения A

есть линейная оболочка элемента

− 2

, и поскольку

оно не состоит только из нулевого элемента, то данное отображение неинъективное.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 295

К этому же заключению можно прийти, приняв во вни- мание, что


	1	2	3		1		2	3
rg	2 3 4			= rg	0 1 2					= 2 < 3
	3	5	7		0		0	0
– числа столбцов матрицы отображения.
2°. Область значений линейного отображения												ˆ
2°. Область значений линейного отображения												A состоит из
								ˆ				Ω . В коор-
элементов y Θ, таких, что y = Ax x												Ω . В коор-
динатной форме принадлежность элемента												y ко множе-
ству значений означает совместность системы линейных
уравнений						ξ1			η1
		1	2	3
		1	2	3
		2	3	4		ξ2	=		η2		,
		3	5	7		ξ3			η3
следовательно,		нам	необходимо				выяснить, при каких

значениях η1 , η2 , η3 данная система линейных уравне-

ний совместна. Это можно сделать, например, при по- мощи теоремы 6.6.1 (Кронекера– Капелли), сравнив ран- ги основной и расширенной матриц данной системы. За- тем из условия

	1	2	3	η1
	1	2	3	η1
rg	2	3	4	η2	=
	3	5	7	η3

	1	2	3	η1		1	2	3
	1	2	3	η1		1	2	3
= rg	0	1	2	2η1 − η2	= rg	2	3	4	= 2
	0	0	0	− η1 − η2 + η3		3	5	7

296	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	найдем, что для совместности необходимо и достаточно,
	чтобы η1 + η2 − η3 = 0 , что, в свою очередь, означает,
	$
	что множество значений отображения A состоит из эле-
	ментов вида

η1		− 1		1
η1		− 1		1
η2	= λ1	1	+ λ 2	0	λ1 , λ 2 ,
η3		0		1

являющихся решениями уравнения η1 + η2 − η3 = 0 .

Заметим, наконец, что поскольку не каждый элемент y Θ = Λ3 имеет прообраз в Ω = Λ3 , то данное ото-

бражение не является и сюръективным.

§8.5. Инвариантные подпространства

исобственные векторы

Определение		Подпространство Λ			линейного пространства Λ
8.5.1.		называется	инвариантным				подпространством
		называется	инвариантным				подпространством
		линейного оператора			$
		линейного оператора			A , если
						ˆ
				x Λ :		Ax	Λ .
Пример	1°.	Множество		радиу-
8.5.1.		сов-векторов		точек
		некоторой прямой на
		плоскости		Oxy ,
		проходящей		через
		начало	координат,
		является	инвариант-
		ным подпространст-					Рис. 8.5.1
		вом оператора пово-

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 297

Теорема

8.5.1.

рота на угол π этих радиусов-векторов вокруг оси

Oz (см. рис. 8.5.1).
2°.	Для оператора дифференцирования в линей-
ном	пространстве		функций			f (τ) ,		имеющих на
(α,β) производную любого порядка,								n -мерным ин-
вариантным подпространством							является линейная
оболочка совокупности элементов вида
	{ e	λ1τ	, e	λ	2τ		λ nτ	},
					, ... , e
где	λ 1 , λ 2 ,..., λ n –		некоторые,				попарно различные
константы.
Матрица линейного оператора						$
						A , заданного в ли-

нейном пространстве Λn с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } ,

тогда и только тогда имеет вид

α11	...	α1r	α1,r +1	...	α1n

... ... ...			...	... ...
αr1	...	αrr	αr ,r +1	...	αrn	,
0	...	0	α r +1,r +1	...	α r +1,n

... ... ...			...	... ...
0	...	0	α n,r +1	...	α nn

когда линейная оболочка подмножества базисных элементов {g1 , g2 ,..., gr } есть инвариантное подпро-

странство оператора $

A .

298	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Доказательство.

Докажем достаточность. Пусть матрица оператора $ имеет

указанный в формулировке теоремы вид. Тогда образ любой линейной комбинации элементов {g1, g2 ,..., gr } будет при-

надлежать их линейной оболочке, поскольку в силу определения 8.3.1 каждый столбец матрицы линейного оператора составлен из компонентов образа соответствующего базисного элемента.

r		Λ , то и
Иначе говоря, если ∑λ k g k		Λ , то и
k =1
r
A(∑λ k g k ) =
ˆ
k =1
r	λ k		r	r
= ∑	λ k	( Ag k ) = ∑λ k ∑αik gi =
		ˆ
k =1			k =1	i=1
r	r			r
= ∑(∑αik λ k )gi = ∑βi gi Λ .
i=1	k =1			i=1
Из теоремы 7.4.1 следует, что Λ –			подпространство. Доста-
точность доказана.

Докажем необходимость. Пусть Λ есть инвариантное подпро-

странство линейного оператора $ , являющееся линейной обо-

лочкой подмножества базисных векторов{g1, g2 ,..., gr }. Тогда образ любого, в том числе и базисного, элемента, принадлежа-

щего Λ , также будет принадлежать			Λ . Это в свою очередь
означает, что
ˆ	r	n
ˆ	= ∑αik gi	+ ∑0gi	; k = [1, r]
Ag k	= ∑αik gi	+ ∑0gi	; k = [1, r]
	i=1	i=r +1

и в сочетании с определением 8.4.5 доказывает необходимость.

Теорема доказана.

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf
#
27.03.20162.89 Mб33Начало работы с Oracle 11g Express Edition.pdf