Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
03.06.2015
Размер:
6.64 Mб
Скачать

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 279

2°. Сложение операторов:

 

$

$

=

 

 

 

 

$

 

 

 

 

+

 

$

.

 

A +

B

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

n

Действительно, из

 

= αki gk

и

 

= βki gk

 

Agi

 

Bgi

 

 

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =1

следует, что

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

 

ˆ

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( A + B)gi

= Agi

+ Bgi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= α ki g k + βki g k = (α ki + βki )g k .

k =1

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°. Умножение оператора на число:

 

ˆ

 

 

 

 

= λ

 

 

ˆ

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ A

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ находим, что

ˆ

 

 

для любого числа

Из Agi = αki gk

k =1

n

(λAˆ )gi = Aˆ (λgi ) = (λα ki )g k .

k =1

4°. Произведение операторов:

$ $

 

 

 

 

=

$

 

 

 

 

 

 

 

$

 

 

 

.

AB

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению матрицы линейного оператора имеем

n

( Aˆ Bˆ )gi = Aˆ (Bˆ gi ) = Aˆ (βki g k ) =

k =1

n

n

n

n

= βki Aˆ g k = βki α jk g j = κ ji g j ,

k =1

k =1

j =1

j =1

n

где κ j i = α jk βk i , что совпадает с определением произ-

k =1

ведения матриц 5.1.1.

280 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

5°. Обращение операторов:

 

−1

 

 

=

 

−1

$

 

 

$

A

 

 

A

.

 

 

 

 

g

 

 

g

 

 

 

 

 

 

Будем предполагать, что обратный оператор существует. Поскольку из определения 8.2.8 следует, что

$ −1

$ $ $ −1

$

A

A = A A

= E ,

принимая во внимание результат пункта 4°, получаем, что

искомое матричное представление $ −1 оператора

A

g

$ −1 должно удовлетворять соотношениям

A

$

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

$

 

 

 

 

 

 

$

−1

 

 

 

 

=

 

$

 

,

 

 

 

 

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

E

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то есть являться обратной матрицей к матрице $ .

A

g

Следствие Размерность линейного пространства линейных ото-

8.3.1.бражений вида Λn → Λm равна m × n .

Доказательство.

Из теоремы 8.3.1 и правил действий с линейными операторами в матричной форме следует изоморфизм линейного простран-

ства линейных операторов Λn → Λm и линейного простран- ства всех матриц размера m × n . Но тогда по теореме 7.5.1 (об изоморфизме) их размерности равны.

Следствие доказано.

Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса

 

Выясним,

как меняется

ˆ

 

 

 

матрица линейного отображения

 

A

 

 

fg

ˆ

n

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

даны два базиса

A : Λ → Λ

 

при замене базисов. Пусть в Λ

 

 

 

 

 

{g

1

, g

2

,..., g

n

}

и

{g ′, g

,..., g ′ },

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

n

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 281

связанные матрицей перехода G , а в Λm два базиса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ f1 , f 2 ,..., f m }

и

 

{ f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 , f

2

,..., f m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с матрицей

 

перехода

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

. Найдем

 

 

соотношение,

связывающее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

fg и

 

 

 

A

 

 

 

f g.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае справедлива

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

 

Матрица

 

линейного

оператора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

f g

в базисах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

8.3.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

связана с матрицей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{g1, g2 ,..., gn}

 

 

 

 

 

и { f1

, f 2 ,..., f m }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этого же оператора

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

в базисах {g1, g2 ,..., gn} и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

fg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ f1 , f 2 ,..., f m } соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

f g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

fg

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По теореме 7.3.1 при переходе от базиса {g1, g2 ,..., gn} к бази-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прообраза, и y

 

 

 

 

 

 

 

су {g1, g2

,..., gn} компоненты элементов x

 

 

 

 

 

 

 

образа при действии оператора

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A , в этих базисах связаны ра-

 

 

 

 

 

 

 

венствами

 

x

 

 

 

g

=

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

g

 

и

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

f =

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

f

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

g =

 

ξ2

 

 

 

;

 

 

 

 

x

 

 

 

g

=

ξ′2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ′n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

282 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

 

 

 

 

 

η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

y

 

 

 

=

η

 

 

 

 

;

 

y

 

 

=

η′

 

 

 

 

а

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

f

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

f

...

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ηm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η′m

 

 

 

 

При этом в рассматриваемых базисах образы и прообразы эле- ментов связаны соотношениями

 

 

 

 

f =

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

f =

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

A

fg

 

 

 

x

 

 

 

g

y

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

f g

 

 

 

x

 

 

 

g,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но поскольку матрица перехода имеет обратную, то из выписан- ных соотношений последовательно получаем

 

 

 

 

 

f =

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

−1

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

f

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

fg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

fg

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наконец, приходим к равенству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

ˆ

 

 

 

F

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

f g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

fg

 

G

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из которого в силу произвольности столбца

5.1.2 следует утверждение теоремы.

x =

g

= o ,

x gи леммы

Теорема доказана.

Следствие

Матрица линейного преобразования при переходе от

8.3.2.

базиса {g

1

, g

2

,..., g

n

} к базису {g

, g

,..., g

} в Λn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

n

 

 

изменяется по правилу

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

=

 

S

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

g

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 283

Следствие Определитель матрицы линейного преобразования

8.3.3.не зависит от выбора базиса в Λn .

Доказательство.

Из утверждения теоремы 8.3.2 следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det

 

 

ˆ

 

 

= det (

 

 

S

 

1

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

S

 

) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det (

 

S

 

1

 

 

 

ˆ

 

 

 

S

 

)

= (det

 

S

 

1

)(det

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

)(det

 

S

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 =

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и det

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а det S ¹ 0 , то окончательно получаем, что

det Aˆ g= det Aˆ g .

Следствие доказано.

Отметим, наконец, что в силу теоремы 8.3.2 в любом базисе нуле- вой оператор будет иметь нулевую матрицу, а единичный оператор единичную.

§ 8.4. Область значений и ядро линейного оператора

Трактуя линейный оператор, действующий в линейном простран- стве как некоторое обобщение понятия функции, естественно рас- смотреть вопрос об области определения и области значений линей- ных операторов.

Под областью значений линейного оператора $ будем понимать

A

множество образов всех элементов x Λ , то есть элементов вида

$ . В этом случае очевидно, что для любого линейного оператора

Ax

его область определения совпадает с Λ .

284 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Ответ на вопрос: “ Что представляет собой область значений ли- нейного оператора?” дает

 

$

Теорема Пусть A линейный оператор, действующий в ли-

8.4.1.

нейном пространстве Λ . Тогда

 

 

 

1°.

Множество элементов

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax x Λ есть подпро-

 

 

 

 

странство в Λ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°.

Если, кроме того, Λ = Λn с базисом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{g1 , g 2 ,..., g n } ,

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

размерность

этого подпространства

равна

 

 

 

 

rg

 

ˆ

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

есть множество

элементов

вида

$

и

 

пусть

 

Λ

Ax

 

y , y

2

Λ . Тогда существуют x

 

Λ и x

2

Λ , такие, что

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

$

 

= y1

и

$

 

 

 

 

. По свойству линейности оператора

Ax1

 

 

Ax2 = y2

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 + y2 = Ax1

+ Ax2 = A(x1

+ x2 ) Λ .

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

 

 

 

и потому

есть

λ y = λ Ax

= Ax)

Λ

Λ

 

подпространство Λ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть теперь

 

Λ = Λn с базисом

{g1 , g2 ,..., gn } . Поскольку

каждый элемент x Λ есть линейная комбинация базисных элементов, то соответственно в силу линейности каждый эле-

мент из области значений $ есть та же линейная комбина-

A

ˆ

ˆ

ˆ

 

,

то

 

линейная

ция элементов Ag1

, Ag 2

,..., Ag n

есть Λ

 

ˆ

ˆ

 

 

ˆ

} .

 

 

оболочка множества {Ag1

, Ag 2

,..., Ag n

 

 

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 285

ˆ

ˆ

ˆ

} максимальное

Выделим из множества {Ag1

, Ag 2

,..., Ag n

подмножество линейно независимых элементов, и пусть число их оказалось равным k .

Тогда, применяя теорему 7.4.1, приходим к заключению, что размерность Λ* есть k , а из теоремы 7.5.2 следует, что и

rg

$

= k .

A

 

 

g

 

 

Теорема доказана.

Определение

8.4.1.

Следствие

8.4.1.

Следствие

8.4.2.

$

n

Рангом линейного оператора A в

Λ

называется

размерность его области значений.

 

 

$

 

ˆ

Ранг линейного оператора A обозначается как rg A .

ˆ

ˆ

n и не зависит от выбора бази-

rg A = rg

A

 

 

g

са.

 

 

 

Размерность области значений линейного операто-

ра $ действующего на некотором подпростран

A , -

стве линейного пространства Λ Λ , не превос-

ходит dim(Λ ) .

Доказательство.

Поскольку подпространство Λ является линейным простран- ством, то к нему применима теорема 8.4.1.

Следствие доказано.

$

$

Теорема Ранг произведения линейных операторов A и

B не

8.4.2.превосходит ранга каждого из этих операторов.

286

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Доказательство.

Рассмотрим область значений линейного оператора $ $ . По

AB

следствию 8.4.2 это подпространство имеет размерность не

большую, чем размерность области значений оператора $ .

B

 

С другой стороны, область значений оператора

$ $

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB содержит-

 

ся в области значений оператора

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно, размер-

 

A , и,

 

ность области значений

$ $

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB не превосходит размерности об-

 

ласти значений

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Если квадратная матрица

 

 

A

 

 

невырожденная,

то для

 

 

 

 

8.4.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

любой квадратной матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

того же размера

 

 

 

rg (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = rg (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = rg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

B

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

B

.

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем рассматривать матрицы

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

как координатные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

представления линейных операторов

$

 

 

 

 

 

и

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

B в некотором ба-

 

зисе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если det

 

A

 

¹ 0 , то существует

 

 

A

 

 

 

 

 

 

и в силу теоремы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.4.2 имеем, с одной стороны,

 

rg (

 

A

 

 

 

 

 

B

 

) £ rg

 

B

 

 

, но с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

другой rg

 

 

 

 

B

 

= rg (

 

A

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

) £ rg (

 

A

 

 

 

B

 

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому rg(

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

) = rg(

 

 

 

 

B

 

 

 

 

A

 

 

 

) = rg

 

 

 

 

B

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 287

Замечания. 1°. Если матрица B не квадратная, но существует

одно из произведений

 

A

 

B

или

B

 

A

, то

при

 

det

 

 

 

¹ 0

 

 

также

верны

равенства

 

A

 

 

rg (

 

A

 

B

 

) = rg

 

B

 

или соответственно

 

 

 

 

 

rg ( B A ) = rg B .

В этом можно убедиться, заменив матрицу B мат-

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рицей

 

 

 

 

 

 

, являющейся дополнением нулевыми

столбцами или нулевыми строками

 

B

 

 

 

 

 

до квадрат-

 

 

 

 

 

 

ной

 

так,

чтобы существовали

 

 

A

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ибо очевидно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rg B = rg B .

2°. Ранг произведения матриц может быть меньше ран- гов каждого из сомножителей. Например:

1

0

 

0

0

=

0

0

.

0

0

 

0

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другой важной характеристикой линейного оператора является со- вокупность элементов линейного пространства Λ , называемая ядром

линейного оператора и обозначаемая ker Aˆ .

 

Определение

 

 

$

 

 

Ядро линейного оператора A состоит из элементов

 

8.4.2.

 

x Λ,

$

 

 

 

таких, что Ax = o .

 

288

 

 

 

 

 

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

Теорема

Если

 

 

n

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

$

 

 

 

 

 

8.4.4.

 

 

Λ = Λ

и

rg A = r ,

то ker A есть подпростран-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ство и dim( ker A) = n r .

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Непосредственной проверкой можно убедиться, что для ker A

 

 

выполняются условия определения 7.4.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в базисе {g1 , g 2 ,..., g n }

 

оператор

ˆ

 

 

 

 

A имеет матрицу

 

 

 

ˆ

 

g =

 

 

αij

 

. По следствию 8.4.1 rg

 

$

 

 

 

= r для любого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

базиса. Тогда в координатной форме условие принадлежности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

некоторого элемента

x Λn с

 

x

 

 

 

g =

 

ξ2

 

ядру оператора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξn

 

 

 

$

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A имеет вид αij ξ j = 0 ; i = [1, n].

 

 

 

 

 

 

j=1

Сдругой стороны, поскольку каждое решение однородной сис- темы линейных уравнений

n

αij ξ j = 0 ; i = [1, n]

j =1

является элементом ядра оператора $ , то размерность ядра

A

есть максимальное число линейно независимых решений этой системы уравнений, которое, согласно теореме 6.7.1, равно

n − rg

$

= n r .

A

 

 

g

 

 

Теорема доказана.