
МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544
.pdf
Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 279
2°. Сложение операторов: |
|
$ |
$ |
= |
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
+ |
|
$ |
. |
||||||
|
A + |
B |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
||||||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ˆ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
n |
||||
Действительно, из |
|
= ∑αki gk |
и |
|
= ∑βki gk |
||||||||||||||||||
|
Agi |
|
Bgi |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
следует, что |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( A + B)gi |
= Agi |
+ Bgi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ∑α ki g k + ∑βki g k = ∑(α ki + βki )g k . |
|||||||||||||||||||||||
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3°. Умножение оператора на число: |
|
ˆ |
|
|
|
|
= λ |
|
|
ˆ |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
λ A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ находим, что |
|||||||||
ˆ |
|
|
для любого числа |
||||||||||||||||||||
Из Agi = ∑αki gk |
k =1
n
(λAˆ )gi = Aˆ (λgi ) = ∑(λα ki )g k .
k =1
4°. Произведение операторов: |
$ $ |
|
|
|
|
= |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
. |
AB |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению матрицы линейного оператора имеем
n
( Aˆ Bˆ )gi = Aˆ (Bˆ gi ) = Aˆ (∑βki g k ) =
k =1
n |
n |
n |
n |
= ∑βki Aˆ g k = ∑βki ∑α jk g j = ∑κ ji g j ,
k =1 |
k =1 |
j =1 |
j =1 |
n
где κ j i = ∑α jk βk i , что совпадает с определением произ-
k =1
ведения матриц 5.1.1.

280 Аналитическая геометрия и линейная алгебра
5°. Обращение операторов: |
|
−1 |
|
|
= |
|
−1 |
$ |
|
|
$ |
||||
A |
|
|
A |
. |
|||
|
|
|
|
g |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
Будем предполагать, что обратный оператор существует. Поскольку из определения 8.2.8 следует, что
$ −1 |
$ $ $ −1 |
$ |
A |
A = A A |
= E , |
принимая во внимание результат пункта 4°, получаем, что
искомое матричное представление $ −1 оператора
A
g
$ −1 должно удовлетворять соотношениям
A
$ |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
$ |
|
|
|
|
|
|
$ |
−1 |
|
|
|
|
= |
|
$ |
|
, |
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
E |
|
|||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть являться обратной матрицей к матрице $ .
A
g
Следствие Размерность линейного пространства линейных ото-
8.3.1.бражений вида Λn → Λm равна m × n .
Доказательство.
Из теоремы 8.3.1 и правил действий с линейными операторами в матричной форме следует изоморфизм линейного простран-
ства линейных операторов Λn → Λm и линейного простран- ства всех матриц размера m × n . Но тогда по теореме 7.5.1 (об изоморфизме) их размерности равны.
Следствие доказано.
Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса
|
Выясним, |
как меняется |
ˆ |
|
|
|
– |
матрица линейного отображения |
||||||||
|
A |
|
|
fg |
||||||||||||
ˆ |
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
даны два базиса |
||
A : Λ → Λ |
|
при замене базисов. Пусть в Λ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
{g |
1 |
, g |
2 |
,..., g |
n |
} |
и |
{g ′, g ′ |
,..., g ′ }, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
n |

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 281
связанные матрицей перехода G
, а в Λm – два базиса
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ f1 , f 2 ,..., f m } |
и |
|
{ f |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , f |
2 |
,..., f m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
с матрицей |
|
перехода |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
. Найдем |
|
|
соотношение, |
связывающее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
A |
|
|
|
fg и |
|
|
|
A |
|
|
|
f ′g′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
В этом случае справедлива |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема |
|
Матрица |
|
линейного |
оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
f ′g′ |
в базисах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
связана с матрицей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{g1, g2 ,..., gn} |
|
|
|
|
|
и { f1 |
, f 2 ,..., f m } |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этого же оператора |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
в базисах {g1, g2 ,..., gn} и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
fg |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ f1 , f 2 ,..., f m } соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
f ′g′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
fg |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
По теореме 7.3.1 при переходе от базиса {g1, g2 ,..., gn} к бази- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прообраза, и y – |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
су {g1, g2 |
,..., gn} компоненты элементов x – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
образа при действии оператора |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A , в этих базисах связаны ра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
венствами |
|
x |
|
|
|
g |
= |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
g′ |
|
и |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
f = |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
f ′ |
, где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ′ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
g = |
|
ξ2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
x′ |
|
|
|
g′ |
= |
ξ′2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ′n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|


Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 283
Следствие Определитель матрицы линейного преобразования
8.3.3.не зависит от выбора базиса в Λn .
Доказательство.
Из утверждения теоремы 8.3.2 следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
det |
|
|
ˆ |
|
|
= det ( |
|
|
S |
|
−1 |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
g′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
но поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
det ( |
|
S |
|
−1 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
S |
|
) |
= (det |
|
S |
|
−1 |
)(det |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
)(det |
|
S |
|
) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и det |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а det S
¹ 0 , то окончательно получаем, что
det Aˆ
g′ = det
Aˆ
g .
Следствие доказано.
Отметим, наконец, что в силу теоремы 8.3.2 в любом базисе нуле- вой оператор будет иметь нулевую матрицу, а единичный оператор – единичную.
§ 8.4. Область значений и ядро линейного оператора
Трактуя линейный оператор, действующий в линейном простран- стве как некоторое обобщение понятия функции, естественно рас- смотреть вопрос об области определения и области значений линей- ных операторов.
Под областью значений линейного оператора $ будем понимать
A
множество образов всех элементов x Λ , то есть элементов вида
$ . В этом случае очевидно, что для любого линейного оператора
Ax
его область определения совпадает с Λ .

284 Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Ответ на вопрос: “ Что представляет собой область значений ли- нейного оператора?” дает
|
$ |
Теорема Пусть A – линейный оператор, действующий в ли- |
|
8.4.1. |
нейном пространстве Λ . Тогда |
|
|
|
1°. |
Множество элементов |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ax x Λ есть подпро- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
странство в Λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2°. |
Если, кроме того, Λ = Λn с базисом |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{g1 , g 2 ,..., g n } , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
то |
|
размерность |
этого подпространства |
равна |
||||||||||||
|
|
|
|
rg |
|
ˆ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
|
|
есть множество |
элементов |
вида |
$ |
и |
|
пусть |
|||||||||||
|
Λ |
Ax |
|
|||||||||||||||||
y , y |
2 |
Λ . Тогда существуют x |
|
Λ и x |
2 |
Λ , такие, что |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
$ |
|
= y1 |
и |
$ |
|
|
|
|
. По свойству линейности оператора |
|||||||||||
Ax1 |
|
|
Ax2 = y2 |
|||||||||||||||||
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 + y2 = Ax1 |
+ Ax2 = A(x1 |
+ x2 ) Λ . |
|
|
|||||||||||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
и потому |
есть |
||||||||
λ y = λ Ax |
= A(λx) |
Λ |
Λ |
|
||||||||||||||||
подпространство Λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть теперь |
|
Λ = Λn с базисом |
{g1 , g2 ,..., gn } . Поскольку |
каждый элемент x Λ есть линейная комбинация базисных элементов, то соответственно в силу линейности каждый эле-
мент из области значений $ есть та же линейная комбина-
A
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
, |
то |
|
линейная |
|
ция элементов Ag1 |
, Ag 2 |
,..., Ag n |
есть Λ |
− |
||||
|
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
} . |
|
|
оболочка множества {Ag1 |
, Ag 2 |
,..., Ag n |
|
|


286 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
Доказательство.
Рассмотрим область значений линейного оператора $ $ . По
AB
следствию 8.4.2 это подпространство имеет размерность не
большую, чем размерность области значений оператора $ .
B
|
С другой стороны, область значений оператора |
$ $ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AB содержит- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ся в области значений оператора |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, размер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A , и, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ность области значений |
$ $ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
AB не превосходит размерности об- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ласти значений |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема Если квадратная матрица |
|
|
A |
|
|
невырожденная, |
то для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.4.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
любой квадратной матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
того же размера |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
rg ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = rg ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = rg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Будем рассматривать матрицы |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
как координатные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
представления линейных операторов |
$ |
|
|
|
|
|
и |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
B в некотором ба- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
зисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если det |
|
A |
|
¹ 0 , то существует |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
и в силу теоремы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8.4.2 имеем, с одной стороны, |
|
rg ( |
|
A |
|
|
|
|
|
B |
|
) £ rg |
|
B |
|
|
, но с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
другой – rg |
|
|
|
|
B |
|
= rg ( |
|
A |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
) £ rg ( |
|
A |
|
|
|
B |
|
) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Поэтому rg( |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
) = rg( |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
A |
|
|
|
) = rg |
|
|
|
|
B |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана.

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 287
Замечания. 1°. Если матрица B
не квадратная, но существует
одно из произведений |
|
A |
|
B |
или |
B |
|
A |
, то |
||||||||||
при |
|
det |
|
|
|
¹ 0 |
|
|
также |
верны |
равенства |
||||||||
|
A |
|
|
||||||||||||||||
rg ( |
|
A |
|
B |
|
) = rg |
|
B |
|
или соответственно |
|||||||||
|
|
|
|
|
rg ( B
A
) = rg
B
.
В этом можно убедиться, заменив матрицу B
мат-
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
рицей |
|
|
|
|
|
|
, являющейся дополнением нулевыми |
||||||||||||||||||||
столбцами или нулевыми строками |
|
B |
|
|
|
|
|
до квадрат- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ной |
|
так, |
чтобы существовали |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
или |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ибо очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rg B
= rg
B
.
2°. Ранг произведения матриц может быть меньше ран- гов каждого из сомножителей. Например:
1 |
0 |
|
0 |
0 |
= |
0 |
0 |
. |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другой важной характеристикой линейного оператора является со- вокупность элементов линейного пространства Λ , называемая ядром
линейного оператора и обозначаемая ker Aˆ .
|
Определение |
|
|
$ |
|
|
Ядро линейного оператора A состоит из элементов |
||
|
8.4.2. |
|
x Λ, |
$ |
|
|
|
таких, что Ax = o . |

|
288 |
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
||||||||||||||||||
|
Теорема |
Если |
|
|
n |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|||||||
|
8.4.4. |
|
|
Λ = Λ |
и |
rg A = r , |
то ker A есть подпростран- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ство и dim( ker A) = n − r . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственной проверкой можно убедиться, что для ker A |
|||||||||||||||||||||||
|
|
выполняются условия определения 7.4.1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Пусть в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } |
|
оператор |
ˆ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
A имеет матрицу |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
g = |
|
|
αij |
|
. По следствию 8.4.1 rg |
|
$ |
|
|
|
= r для любого |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
g |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
базиса. Тогда в координатной форме условие принадлежности |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
некоторого элемента |
x Λn с |
|
x |
|
|
|
g = |
|
ξ2 |
|
ядру оператора |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξn |
|
|
||
|
$ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A имеет вид ∑αij ξ j = 0 ; i = [1, n]. |
|
|
|
|
|
|
j=1
Сдругой стороны, поскольку каждое решение однородной сис- темы линейных уравнений
n
∑αij ξ j = 0 ; i = [1, n]
j =1
является элементом ядра оператора $ , то размерность ядра
A
есть максимальное число линейно независимых решений этой системы уравнений, которое, согласно теореме 6.7.1, равно
n − rg |
$ |
= n − r . |
A |
||
|
|
g |
|
|
Теорема доказана.