Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 269

§ 8.2. Действия с линейными операторами

Определение		Линейные операторы			$	$
Определение		Линейные операторы			A и	B называются равными,
8.2.1.			ˆ		ˆ
		если x Λ :	Ax = Bx .			Равенство			операторов
			ˆ		ˆ
		обозначается как A		= B .
		Суммой линейных		операторов			$	$
		Суммой линейных		операторов			A и	B называется
		$				$	$	ставящий каж-
		оператор C , обозначаемый				A + B ,		ставящий каж-
		дому элементу x линейного пространства							Λ в соот-
		ветствие элемент	$		$
		ветствие элемент	Ax		+ Bx .

Лемма	Сумма двух линейных операторов является линейным

8.2.1.оператором.

Доказательство.

			$	$	$	тогда
Пусть x, y Λ и λ ; μ – числа, а C = A					+ B ,	тогда
C(λx + μ y) = A(λx + μ y) + B(λx + μ y) =
ˆ		ˆ
= λ Ax + μ Ay + λBx + μ B y =
ˆ	ˆ	ˆ		ˆ
ˆ	ˆ		ˆ	ˆ
= λ( Ax + Bx) + μ ( Ay + B y) =
= λ( A + B)x + μ ( A+ B) y = λCx + μ C y.
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ		ˆ	ˆ
Лемма доказана.
Определение Нулевым оператором		$
Определение Нулевым оператором		O называется оператор, ставя-

8.2.2.щий каждому элементу x линейного пространства Λ в соответствие нулевой элемент этого линейного про- странства.

270 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Определение	$	назы-
Определение	Оператором, противоположным оператору A ,	назы-
8.2.3.	ˆ

вается оператор, обозначаемый − A , ставящий каждо- му x элементу линейного пространства Λ в соответ-

ствие элемент − ˆ .

( Ax)

Заметим, что нулевой и противоположный операторы являются линейными.

Легко проверяются следующие равенства для линейных операто- ров:

		A + B = B + A ;
		ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
		ˆ	ˆ		ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
		( A + B) + C =				A	+ (B + C) ;
		A + O = A ; A + (− A) = O.
		ˆ	ˆ	ˆ	ˆ		ˆ	ˆ

Определение		Произведением числа							$
Определение		Произведением числа					λ на линейный оператор A
8.2.4.								ˆ
		называется		оператор,			обозначаемый λA ,		ставящий
		каждому элементу				x	линейного пространства Λ в
							ˆ
		соответствие элемент λ( Ax) .
Лемма	Произведение числа на линейный оператор является

8.2.2.линейным оператором, для которого выполняются соотношения

α(βA) = (αβ) A ;			1A = A ;
	ˆ	ˆ	ˆ ˆ
(α+ β) A = α A+ βA ;
	ˆ	ˆ	ˆ
α( A + B) = α A + αB .
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ

Доказательство.

Утверждение леммы проверяется непосредственно. Например, для третьего равенства имеем

x Λ : (α + β) Aˆ x =

= Aˆ ((α + β)x) = Aˆ (αx + βx) = αAˆ x + βAˆ x .

Глава 8 .	Линейные зависимости в линейном пространстве 271
Теорема	Множество всех линейных операторов, действующих в

8.2.1.линейном пространстве Λ , является линейным про- странством.

Доказательство.

Следует из определений 7.1.1, 8.2.1–8.2.4 и лемм 8.2.1, 8.2.2.

Определение Произведением линейных операторов $ и $ назы-

A B

8.2.5.вается оператор, обозначаемый Aˆ Bˆ , ставящий каж-

дому элементу x линейного пространства Λ в соот-

ветствие элемент ˆ ˆ .

A(Bx)

Теорема Произведение линейных операторов является линей-

8.2.2.ным оператором, для которого справедливы соотно- шения

ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ ˆ		ˆ	ˆ	ˆ ˆ ˆ	ˆ ˆ
A(BC) = ( AB)C ;				A(B + C) = AB+ AC;
ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ		ˆ ˆ
( A + B)C = AC			+ BC.

Доказательство.

Докажем вначале линейность произведения линейных операто- ров. Действительно, x, y Λ и любых чисел α,β

ˆ ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
AB(αx	+ β y) = A(αBx + βBy) =
ˆ ˆ	ˆ ˆ		ˆ ˆ	ˆ ˆ

= α A(Bx) + βA(By) = α( AB)x + β( AB) y.

Проверим теперь сочетательный закон для произведения ли- нейных операторов. Имеем

ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ

( A(BC))x A(BCx) A(B(Cx)) ,

но, с другой стороны,

ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ

(( AB)C)x AB(Cx) A(B(Cx)) ,

что и требовалось показать. Остальные утверждения теоремы проверяются аналогично.

Теорема доказана.

272	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Замечание: в общем случае произведение линейных операторов не обладает перестановочным свойством (или, иначе го- воря, операторы не коммутируют), то есть

$ $ $ $
		A B ¹ B A .

	Определение	Оператор	$ $	$ $
	Определение	Оператор	A B - B A называется коммутатором
	8.2.6.		$	$
		операторов	A и B .

Коммутатор коммутирующих операторов есть нулевой оператор.

Задача

8.2.1.

Решение.

В линейном пространстве алгебраических многочленов

Pn (t) = ∑ak tk найти коммутатор для операторов:

k =0

$ , ставящего в соответствие многочлену его производ-

ную функцию, и $ – оператора умножения многочлена

на независимую переменную.

Построим

$ $

Pn (τ )

оператор A B - B A . Для любого

имеем

k −1

(t) =

( ∑ak t

) =

∑k a k t

APn

k =0

k =1

k +1

(t) = t (∑a k t

)

∑ak t

BPn

k =0

Откуда получаем

ˆ ˆ

k −1

(t)) = t(

∑k ak t

)

= ∑k ak t

∑k ak t

B( APn

k =1

k =0

k +1

(t)) =

( ∑ak t

= ∑(k +

1)ak t

A(BPn

)

k =0

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве					273
n	τ		n		) =
( AB − B A)Pn (τ) = (∑(k + 1)α k	τ		) − (∑k α k τ		) =
ˆ ˆ ˆ ˆ		k		k
k =0			k =0
n
= ∑α k τk = Pn (τ).

k =0

Следовательно, данные линейные операторы не коммути- руют.

В рассмотренной выше задаче 8.2.1 оказалось, что действие опера-

тора ˆ ˆ − ˆ ˆ на любой элемент линейного пространства многочле-

AB B A

нов не приводит к изменению этого элемента. Введем для такого опе- ратора специальное наименование.

Определение Оператор $

называется единичным (или тождест-

8.2.7.венным) оператором, если каждому элементу x ли-

нейного пространства Λ он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть

Ex = x

x Λ .

Докажите

самостоятельно

справедливость

соотношений:

ˆ ˆ

AE = EA =

A A , а также линейность и единственность E.

Определение

Оператор

называется обратным для

линейного

8.2.8.

$ −1

оператора

(обозначается A

), если

$ $

AB =

BA =

E .

Пример

В линейном пространстве функций

f (τ ) , имеющих на

8.2.1.

[α,β] производную любого порядка и удовлетворяющих

условиям f ( k ) (α) = 0 ; k = 0,1, 2,... ,

оператор диффе-

ренцирования

оператор

dτ

и Bf = ∫ f (σ)dσ −

274	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

интегрирования с переменным верхним пределом являются взаимно обратными.

Действительно,

ˆ ˆ	=	d		τ	ˆ
ABf	=	dτ		∫	f (σ)dσ = f (τ) = Ef и
		dτ		α
		τ		α
ˆ ˆ		τ	df			ˆ
BAf	= ∫		dσ		dσ = f (τ) − f (a) =	f (τ) = Ef .
		α	dσ
		α

Замечания. 1°. Не для всякого линейного оператора существует обратный оператор. Например, нулевой оператор

$ не имеет обратного. Действительно, пусть

ˆ	x Λ ,		$
Ox = o при всех	x Λ ,	тогда для любого B
имеет место
ˆ ˆ	ˆ ˆ
(BO)x = B(Ox) = o x Λ ,
и, следовательно,	равенство	ˆ ˆ	ˆ
и, следовательно,	равенство	BO = E не выпол-
	$
няется ни при каком B .

2°. Обратный оператор, если существует, то только единственный. (Покажите это самостоятельно, ис- пользовав как аналог доказательство леммы 5.1.1.)

3°. В случае бесконечномерного линейного простран-

ˆ ˆ ˆ
ства из справедливости условия AB = E может
ˆ ˆ	ˆ
не следовать выполнение условия BA =	E, что

имеет место, например, в пространстве многочле- нов

Pn (τ) = ∑α k τk

k =0

$	$	$
для пары операторов A и	B , где	B есть опера-

тор умножения многочлена на независимую пере-

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 275

менную, а оператор $

соответствие многочлен

многочлену ∑αk τk ставит в

k =0

∑αk τk −1 .

k =1

§8.3. Координатное представление линейных операторов

	Пусть в Λn заданы базис {g1 , g 2 ,..., g n } и линейный оператор
$	m		{ f1 , f 2 ,..., f m } .
A	являющийся отображением в Λ	с базисом

В § 7.2 показано, что x Λn существует единственное разложение

ξ1

g =

ξ2

x = ∑ξi

gi , то есть

i=1

...

ξn

Аналогично в Λm

существует

единственное разложение для

y = Ax , для которого в силу линейности

A справедливо представ-

ление вида

Agi .

y = Ax = A(∑ξi gi ) = ∑ξi

i=1

Приняв во внимание возможность и единственность в Λm разло-

ˆ	= ∑α k i f k	i = [1, n] , с одной стороны, получаем, что
жения Agi	= ∑α k i f k	i = [1, n] , с одной стороны, получаем, что
	k =1
		m	n
		y = ∑(∑α k i ξi ) f k .
		k =1	i=1

276 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

				η1
				η1
С другой стороны, если	y		=	η2	–	координатное представле-
				η2
		f		...
				...
				ηm
				m
ние, то имеет место равенство			y = ∑ηk			f k . Наконец, в силу един-

k =1

ственности разложения элемента конечномерного пространства по базису получаем

ηk = ∑α k i ξi ; k = [1, m] .

i=1

Данные соотношения позволяют находить координатное представ- ление образов элементов линейного пространства по координатному представлению прообраза. При этом отметим, что каждый линейный

оператор вида Aˆ : Λn → Λm в паре конкретных базисов полностью и однозначно описывается матрицей размера m × n с элементами α k i .

Определение

8.3.1.

Матрица размера m × n , столбцы которой образова-

ны компонентами элементов ˆ :

Agi

α11

α12

...

α1n

α 21

α 22

...

α 2n

... ... ... ...

α m1

α m2

...

α mn

называется матрицей линейного оператора $ в ба-

зисах

{g1, g2 ,..., gn} Λn и { f1 , f 2 ,..., f m } Λm .

m × n .

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 277

В матричной форме соотношения

ηk = ∑αk i ξi

; k = [1, m]

i=1

имеют вид

f =

(8.3.1)

g ,

в чем легко убедиться, воспользовавшись их двухиндексной формой записи:

		ηk1		n
		ηk1	= ∑αk i ξi1 ; k = [1, m] .
				i=1
Полученный результат формулируется как
Теорема	Между множеством всех линейных операторов вида
8.3.1.	ˆ	n	m
	A : Λ → Λ			и множеством всех матриц размера

m × n имеется взаимно однозначное соответствие.

Доказательство.

Выше было показано, что каждому линейному оператору для

конкретной пары базисов Aˆ : Λn → Λm можно сопоставить по определению 8.3.1 матрицу размера

С другой стороны, соотношение

η1

α11

α12

...

α1n

ξ1

η2

α21

α 22

...

α2n

ξ2

...

... ... ... ...

...

ηm

αm1

α m2

...

α mn

ξn

может быть принято за определение некоторого оператора ви-

да Aˆ : Λn → Λm , линейность которого следует из правил опе- раций с матрицами.

Теорема доказана.

278	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Пример 1°. В трехмерном векторном пространстве c ортонорми-

8.3.1.рованным базисом рассмотрим линейный оператор, ортогонально проектирующий радиусы-векторы на плоскость Oxy . Поскольку в данном случае

ˆ →	→	→	→
A g1	= 1 g1 + 0 g 2		+ 0 g3				1	0	0
ˆ →	→	→	→	, то		=	0 1 0			.
ˆ →	→	→	→		$
A g 2	= 0 g1	+ 1 g 2	+ 0 g3		A
ˆ →	→	→	→			g	0	0	0
ˆ →	→	→	→				0	0	0
A g3	= 0 g1	+ 0 g 2	+ 0 g3
A g3	= 0 g1	+ 0 g 2	+ 0 g3

Действия с линейными операторами в матричной форме

Будем рассматривать далее операторы вида Aˆ : Λn → Λn , то есть

линейные преобразования, действующие в	Λn	с	базисом
{g1 , g 2 ,..., g n } , матрица которых квадратная,	порядка	n .	Введен-

ные в § 1.1 и § 5.1 операции с матрицами позволяют описать в кон- кретном базисе действия с линейными операторами в следующей форме.

1°. Сравнение операторов:

A = B

Согласно определению	ˆ	ˆ
	8.2.1 условие A = B

означает, что

n	ˆ	ˆ
x Λ :	Ax = Bx , или в координатной форме

x Λ .

−

Но тогда по лемме 5.1.2 матрица

нулевая и,

следовательно, условие

A = B равносильно

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
01.07.2025260.61 Кб0Написание сочинения ЕГЭ-11.doc
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf