МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

7.5.4.уравнений с n неизвестными

n

∑α ji ξi = 0 , j = [1, m]

i=1

определяет некоторое подпространство Ω в Λn .

Доказательство.

Следует из того факта, что данное подпространство Ω в силу теоремы 6.7.2 является линейной оболочкой нормальной фун- даментальной системы решений системы линейных уравнений

Таким образом, каждое подпространство в Λn может быть задано либо однородной системой линейных уравнений, либо как линейная оболочка базиса подпространства – фундаментальной системы ее ре- шений.

Также справедливо

Следствие Каждая совместная неоднородная линейная система

7.5.5.m линейных уравнений с n неизвестными

n

∑α ji ξi = β j , j = [1, m]

i=1

определяет некоторую гиперплоскость Γ в Λn .

Доказательство.

Аналогично рассуждениям, приведенным для следствия 7.5.4.

используя, например, схему, описанную в § 6.8, для

7.5.3.чем 3, найти базис и размерность пересечения двух ли- нейных оболочек элементов:

x2 (τ) = −1 + 8τ − 6τ2 + 5τ3 , x3 (τ) = 10τ − 5τ2 + 8τ3

y1 (τ) = 1 + 4τ − τ2 + 5τ3 ,

иy2 (τ) = 3 − 2τ + 6τ2 + 3τ3 , y3 (τ) = 4 + 2τ + 5τ2 + 8τ3 .

Решение. 1°. По теореме 7.4.1 каждая из линейных оболочек яв- ляется подпространством. Первое из них Π1 обра-

зовано элементами вида

x = λ1 x1 + λ 2 x2 + λ3 x3 ,

264Аналитическая геометрия и линейная алгебра

авторое Π 2 – соответственно элементами

y = μ1 y1 + μ2 y2 + μ3 y3 .

Составим однородные системы линейных уравнений, задающих эти подпространства11 (см. следствие 7.5.4). Пусть каждое из уравнений этих систем имеет вид

Тогда, воспользовавшись изоморфизмом между Π1 и

пространством четырехкомпонентных столбцов вида

11 Для этой цели можно также использовать теорему 6.6.1 (Кронекера- Капелли). См. решение задачи 8.4.1 (пункт 2º).

Решив эту систему, например, по схеме, описанной в § 6.8, получим общее решение в виде

откуда заключаем, что существует два независимых набора искомых чисел α1 , α 2 , α3 , α 4 , и, следо- вательно, однородная система линейных уравнений, задающая подпространство P1 имеет вид

Аналогично строим однородную систему линейных уравнений, задающую P 2 :

Глава 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве 267

Глава 8

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 8.1. Линейные операторы

Определение Пусть каждому элементу x линейного пространства

8.1.1.Λ поставлен в соответствие единственный элемент

y линейного пространства Λ . Тогда говорят, что в

Λ задан оператор, действующий в Λ и имеющий значения в Λ , действие которого обозначается как

= ˆ

y Ax .

При этом элемент y называется образом элемента x , а элемент x – прообразом элемента y .

Как и в § 5.2, операторы подразделяются на отображения, если

Λ Λ , и преобразования, если Λ Λ . В дальнейшем, за исклю- чением особо оговоренных случаев, будет предполагаться, что из кон- текста ясно, идет ли речь об отображении или о преобразовании.