МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

x1, x2 ,..., xm . В этом случае

m

x j = ∑α ji xi ; j = [m + 1, k]

i=1

илюбой элемент линейной оболочки может быть представ-

лен в виде линейной комбинации элементов x1 , x2 ,..., xm .

3°. Покажем теперь, что любой набор из l ( l > m ) элементов данной линейной оболочки будет линейно зависимым. Для

Приравняем нулевому элементу произвольную линейную

j =1

Пусть ранг ее основной матрицы равен r .

250 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Эта система имеет (по теореме 6.7.1)

l - r ³ l - m > 0

линейно независимых, и следовательно, ненулевых реше- ний, поскольку r ≤ m . Принимая во внимание, что l и m

− не равные друг другу натуральные числа, получаем

l - m ³ 1 ,

то есть существует нетривиальная линейная комбинация элементов y1 , y2 ,..., yl , равная o.

Теорема доказана.

Гиперплоскость

7.3.1.некоторой гиперплоскости Γ , то ей будет принад- лежать и элемент

z = ax + (1 - a) y ,

где α – любое число.

§7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении

Определение Коэффициенты ξ1 , ξ2 ,..., ξn разложения по базису

7.4.1.

n

x = ∑ξ i gi

i=1

называются координатами (или компонентами) эле-

мента x линейного пространства Λn в базисе

{g1 , g 2 ,..., g n }.

Заметим, что в силу теоремы 7.2.1 элемент x линейного про-

странства Λn в базисе {g1 , g2 ,..., gn } однозначно представляется n -компонентным столбцом, называемым координатным представ-

лением элемента x в базисе {g1 , g 2 ,..., g n }:

В Λn базис может быть выбран не единственным способом и по- тому необходимо установить правило изменения координат элемента

линейного пространства Λn при переходе от одного базиса к друго- му.

Но если линейная комбинация линейно независимых (в данном случае базисных) элементов равна нулевому элементу, то она тривиальная. Откуда получаем, что

n

ξi = ∑σij ξ′j i = [1, n].

j =1

Теорема доказана.

Заметим, что если столбец элементов “ нового” базиса выражается через столбец элементов “ старого” при помощи умножения слева на

транспонированную матрицу перехода S T , то координатный стол-

бец в “ старом” базисе равен произведению матрицы перехода на ко- ординатный столбец в “ новом” базисе.

Действительно, рассматривая столбцы x g и x g′ в форму-

лах перехода как двухиндексные матрицы, получаем

n

ξi1 = ∑σij ξ′j1 i = [1, n] ,

j =1

что равносильно равенству x g = S x g′ (см. § 5.1).

Используя аналогичный прием, также и соотношения (7.4.1) мож- но записать в матричном виде

В заключение выясним, как операции с элементами линейного пространства выполняются в координатной форме.

Операции сложения многочленов и их умножения на число выгля- дят следующим образом:

(ξ1 + η1τ + κ1τ2 ) + (ξ2 + η2 τ + κ2 τ2 ) = = (ξ1 + ξ2 ) + (η1 + η2 )τ + (κ1 + κ 2 )τ2 , λ(ξ + ητ + κτ2 ) = (λξ) + (λη)τ + (λκ)τ2 .

Те же операции с трехмерными векторами в координатной форме в свою очередь записываются так:

Сопоставляя эти записи, можно заключить, что природа данных множеств не играет роли, когда исследуются их характеристики, свя- занные только с операциями сравнения, сложения и умножения на число.

Отмеченное свойство линейных пространств носит название изо- морфизма. Более точно его описывает

Определение Два линейных пространства Λ1 и Λ 2 называются

7.5.1.изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение Fˆ : Λ1 → Λ 2 , такое, что для λ и

x, y Λ1 ,

Отображение $ называется изоморфизмом линей-

F

ных пространств Λ1 и Λ 2 .

Пример Изоморфизм одномерных пространств вещественных чи-

7.1.2.сел R и всех положительных чисел R + (с операциями, определенными в условии задачи 7.1.3) задается при по- мощи функций

x = ln( y) и y = ex ; x Î R; y Î R + .

Очевидным следствием теоремы 7.5.1 является изоморфизм любо-

го линейного n -мерного пространства Λn и линейного пространства n -компонентных столбцов, позволяющий убедиться в справедливо-

сти свойств столбцов, установленных в §§ 6.5–6.7 для каждого Λn . Действительно, имеет место

Теорема Максимальное число линейно независимых элементов

7.5.2.в любом конечном наборе элементов из Λn равно ран- гу матрицы, столбцы которой содержат координаты элементов данного набора в некотором базисе.

Доказательство.

Следует из изоморфности линейного пространства Λn и ли- нейного пространства всех n-компонентных столбцов, а также из теоремы 6.5.3 (о ранге матрицы).

7.5.1.ко тогда, когда ранг матрицы, столбцы которой со- держат координаты этих элементов в некотором базисе, меньше, чем min{n, k} .

Следствие Матрица перехода невырожденная, то есть

столбцы матрицы перехода линейно зависимые.

Следствие доказано.

Отметим также, что факт равенства или неравенства двух элемен- тов в координатной форме можно проверять в любом базисе, по-

скольку в силу невырожденности матрицы S оказываются спра-