Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5517 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Глава 5 . Преобразования плоскости

159

		ˆ
Символически результат действия оператора A обозначается так:
ˆ	x	Ω, y Θ . Элемент y в этом случае называется
y = Ax,
образом элемента x , элемент x – прообразом элемента y .
Определение		Если Θ – область значений некоторого оператора –

5.2.2.является числовым множеством, то говорят, что на множестве Ω задан функционал.

Функционалы обычно обозначаются так же, как и функции: на-

пример,

y = Φ(x), x Ω .

1°.

→

Пример

Если каждому вектору x

в пространстве постав-

5.2.1.

→

лен в соответствие вектор

y , являющийся ортого-

→

нальной проекцией вектора x на некоторую ось l ,

то

говорят,

что в

пространстве

задан

оператор

→

= Prl x

ортогонального проектирования векто-

ров на ось l . В этом случае символически можно

записать, что A = Pr l .

2°.

Каждой

дифференцируемой на [α,β]

функции

f (τ)

можно поставить в однозначное соответст-

вие

′

– ее производную функцию,

поэтому

(τ)

можно говорить об операторе дифференцирования

′

= dτ

f (τ) ,

(τ)

символически

обозначаемом

как

dτ

160	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
3°.		→
3°.	Каждому вектору x		в пространстве можно поста-
				→
				→
	вить в однозначное соответствие число			x	– его

	длину. Очевидно, что данная зависимость является
	функционалом, заданным на множестве векторов.
4°.	Для каждой непрерывной на [α,β] функции				f (τ)
			β
	существует	интеграл	∫ f (τ)dτ , который можно
			α
				β
	рассматривать как функционал Ф( f ) = ∫ f (τ)dτ
				α
	на множестве функций, непрерывных на [α,β] .

Определение	Оператором	ˆ			(или
Определение	Оператором	A , отображающим плоскость			(или

5.2.3.просто отображением плоскости) P на плоскость

Q, называется правило, по которому каждой точке

плоскости P поставлена в соответствие единственная точка плоскости Q .

Отображение плоскости принято обозначать следующим образом:

ˆ			отображается в точку M
A : P → Q . Если точка M плоскости P			отображается в точку M
плоскости Q,	то это представляется как		M	ˆ
плоскости Q,	то это представляется как		M	= AM (что иногда за-
писывают в виде M		ˆ			является обра-
писывают в виде M		= A(M ) ), при этом точка M			является обра-
зом точки M , а точка M – прообразом точки M .
		ˆ
Определение		ˆ
Определение	Отображение A : P → Q называется взаимно одно-
5.2.4.	значным, если каждая точка плоскости Q имеет про-
	значным, если каждая точка плоскости Q имеет про-

образ и притом единственный.

Глава 5 . Преобразования плоскости

161

Определение	ˆ	P в саму себя называется
	Отображение A плоскости

5.2.5.преобразованием плоскости P .

Определение Последовательное выполнение преобразований

5.2.6.	M		ˆ	M		ˆ
	M		= A M и	M		= B M
	называется произведением (или композицией) этих
	преобразований.
Произведение операторов		записывается		в	виде		M	ˆ ˆ
Произведение операторов		записывается		в	виде		M	= BA M .

Заметим, что в общем случае это произведение не коммутативно, но ассоциативно.

Определение	Преобразованием,		обратным взаимно однозначному
5.2.7.			ˆ
5.2.7.	преобразованию		A : P → P , называется оператор
	преобразованию		A : P → P , называется оператор
	ˆ −1	: P → P , такой, что для каждой точки M
	A	: P → P , такой, что для каждой точки M
	плоскости P имеет место
			ˆ −1	ˆ
			A	( A M ) = M .

Определение	Точка плоскости		P ,	переводимая преобразованием
5.2.8.	ˆ
	A сама в себя, называется неподвижной точкой для
	ˆ	Множество на P , состоящее из неподвижных
	A .	Множество на P , состоящее из неподвижных
		ˆ		ˆ
	точек для A , называется неподвижным для A .

Множество точек , переходящее при ˆ само в се-

P A

бя, называется инвариантным множеством преобра-

зования ˆ .

§ 5.3. Линейные операторы на плоскости

Пусть	на плоскости с	декартовой системой координат
→ →
{O, g1 , g2 } каждой ее точке		M поставлена в однозначное соответ-
ствие точка	M , то есть согласно определению 5.2.6


162	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
задано преобразование этой плоскости M			ˆ	Пусть коорди-
задано преобразование этой плоскости M		= AM .		Пусть коорди-
натные	представления радиусов-векторов		этих	точек суть

→		=	x		→	=
r				и	r
M	g		y		M	g

некоторыми функциями от

ство	x	=	Fx ( x, y)

	y		Fy ( x, y)

x	, тогда координаты x	и y будут
y

			= Fx	(x, y)
x	x		= Fx	(x, y)
x	и y			, и потому равен-
	y	= F (x, y)
			y

можно рассматривать как представление

→	ˆ →	→ →
оператора rM	= A rM	в системе координат {O, g1 , g2 } .

Далее мы будем рассматривать частные, но важные для приложе-

ний виды функций Fx ( x, y)			и Fy (x, y) .
Определение		→	$ →
	Оператор	rM = A rM называется линейным опера-
5.3.1.

тором, если в каждой декартовой системе координат

→→

{O, g1 , g2 } он задается формулами

x = α11 x + α12 y + β1 ,y = α 21 x + α 22 y + β2 .

При помощи операций с матрицами линейный оператор может

быть записан в виде

β1

β2

, где матрица

α11

α12

α 21

α 22

Глава 5 . Преобразования плоскости

163

называется матрицей линейного оператора A (координатным пред-

→

ставлением

{O, g1

, g2 } .

A ) в

Определение

Оператор

→

линейным одно-

A r

называется

5.3.2.

родным оператором, если он удовлетворяет опреде-

лению 5.3.1 и, кроме того, β1 = β2 = 0.

Если же

β1

β2

> 0 , то оператор A называется

неоднородным.

Пример

К линейным однородным операторам относятся:

5.3.1.

оператор

действие которого сводится к

A ,

умножению

координат радиуса-вектора про-

образа

на

фиксированные

положительные

числа,

называемый “ оператором сжатия к

осям”,

или просто “ сжатием к осям”, имею-

Теорема

5.3.1.

щий матрицу

κ1

, где числа

κ2

κ1 и κ2 – коэффициенты сжатия;

-оператор ортогонального проектирования ра-

диусов-векторов точек плоскости на некото- рую заданную ось, проходящую через начало координат;

-гомотетия с коэффициентом κ и с центром в начале координат.

Для линейного однородного оператора $ справедли

A -

вы соотношения:

164	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

1°.

2°.

ˆ	→		→	ˆ →	ˆ	→
A(r1		+ r2 ) =		A r1	+ A r2
ˆ		→	ˆ	→	→

A(λ r ) = λ A r r , λ .

→ →

r1 , r2 .

Доказательство.

В справедливости утверждения теоремы убедимся непосредст- венной проверкой, используя правила действия с матрицами. На- пример, для 1º имеем

ˆ → →

α11

α12

(

) =

A(r1 + r2 ) =

α 21

α 22

α11

α12

α11

α12

ˆ →

α 21

α 22

α 21

α 22

= A r1

+ A r2 .

Теорема доказана.

Теорема

Если для некоторого оператора

A справедливы соот-

5.3.2.

ношения

→

ˆ →

→

→ →

1°. A(r1

+ r2 ) =

Ar1 + Ar2

r1 , r2 ,

→

= λ

$ →

→

λ ,

2°. A (λ r )

A r

r ,

то этот оператор линейный и однородный.

Доказательство.

→	→	→	$ →	= x		→	+ y		→
Пусть r	= x g1	+ y g2	и A r	= x		g1	+ y		g2 – соответст-

венно координатные разложения для прообраза и образа, тогда

x	→	+ y	→	$	→	→	$ →	$ →
	g1		g2	= A (x g1		+ y g2 ) = x A g1 + y A g2 .
По теореме 1.5.1 существуют числа							α11 , α12 , α 21 , α 22 такие,
что	ˆ →		→		→	ˆ →	→	→

	A g1	= α11 g1		+ α	21 g 2 и A g2		= α12 g1 + α	22 g2 .

Глава 5 . Преобразования плоскости

165

Тогда получаем

→

+ y

→

g 2 = x A g1 + y A g 2

→

= (α11 x + α12 y) g1 + (α 21 x

+ α22 y) g 2 .

→

А в силу линейной независимости векторов g1

и g2

x = α11 x + α12 y

α11

α12

y = α21 x + α22 y , или

α21

α22

Теорема доказана.

→

Отметим также, что для вектора a , имеющего

в ба-

→ →

ˆ →

зисе {g1 , g2 } , при любом линейном преобразовании образом

A a

является вектор с координатным представлением

ˆ →

g =

α11

α12

A a

a y

α 21

α 22

a y

Из теорем 5.3.1 и 5.3.2 вытекают важные следствия.

Следствие	Столбцами матрицы линейного однородного опера-
5.3.1.	$	→ →
	тора A в базисе	{g1 , g2 } являются координатные

$ →	$ →
представления векторов A g1 и	A g2 .

Следствие Каждому линейному однородному оператору преоб-

5.3.2.разования плоскости в конкретном базисе соответ- ствует однозначно определяемая квадратная мат- рица второго порядка, а каждая квадратная матри- ца второго порядка задает в этом базисе некоторый линейный однородный оператор.

166	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Задача	Исходя из правил действия с матрицами, показать, что

5.3.1.для линейных однородных операторов на плоскости спра- ведливы утверждения:

1°. Матрица произведения линейных однородных опе- раторов равна произведению матриц операторов-

сомножителей:

A B

−1

есть

оператор,

обратный линейному

2°. Если A

то

однородному оператору A ,

−1

Выясним теперь, как изменится матрица линейного однородного

оператора при замене базиса. Имеет место

→ →

Теорема

5.3.3.

Пусть в системе координат {O, g1 , g2 } некоторый

однородный линейный оператор

$ Тогда в системе координат

A .

оператор будет иметь матрицу

−1

g′

где S – матрица перехода.

имеет	матрицу
→	→
{O, g ′, g ′} этот
1	2

S ,

Доказательство.

Пусть в исходной системе координат действие линейного опера-

→

, а в новой сис-

тора A задается формулой

→

теме координат –

, и пусть

– матрица

g′

→

перехода от ДСК

{O, g

, g

} к ДСК

{O, g ′, g ′} , такая, что

Глава 5 . Преобразования плоскости

167

→

g′

Подставляя два последних соотношения в первое и принимая во внимание утверждение теоремы 1.8.2 о невырожденности матри-

(то есть существование матрицы

−1

цы перехода

), по-

лучаем, что

→

−1

или

g′

Наконец, вычитая последнее равенство почленно из равенства

→

в силу произвольности

(согласно

g′

лемме 5.1.2) приходим к соотношению

−1

g′

Теорема доказана.

Следствие

Величина det

не зависит от выбора базиса.

5.3.3.

Доказательство.

Поскольку определитель произведения матриц равен произве- дению определителей сомножителей, то в силу теоремы 5.3.3 и

невырожденности матрицы перехода S имеем

det

= det (

−1

) =

g′

= det

−1

det

= det

det

Следствие доказано.

168	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Задача

В ортонормированной системе координат найти мат-

5.3.2.рицу оператора, ортогонально проектирующего радиу- сы-векторы точек координатной плоскости на прямую

x+ 3y − 2 = 0 .

Решение. Пусть точка-прообраз

имеет

радиус-

→

вектор

r0 =

, а

точка

–

образ

точки M – соответ-

ственно

ее

радиус-

→

вектор

r =

Рис. 5.3.1

Из рис. 5.3.1

следует, что

M есть точка пересечения

прямой

x + 3y − 2 = 0 и перпендикуляра к ней, прохо-

дящего через M .

Поскольку нормальный вектор прямой x + 3y − 2 = 0

является направляющим вектором этого перпендикуляра, то уравнение последнего будет иметь вид

x	=	x0	+ τ	1	.
y		y0		3

Откуда следует, что координаты радиуса-вектора точки

M будут удовлетворять системе уравнений

x0 = x0 + τ,

−

y0 = y0

+ 3τ,

или

− 2 = 0

= − 10 x0

+ 10 y0

+ 5 .

+ 3y0

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5517 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
01.07.2025260.61 Кб0Написание сочинения ЕГЭ-11.doc
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf