Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 5512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 3 . Прямая и плоскость

109

→ → →

Ортогональность прямых

(a, n1 , n2 ) = 0.

→

= r0 + t a и

→ →

= d

(n , r )

→1 →

(n2 , r ) = d 2 .

Совпадение прямых

1°.

Существуют

l ¹ 0

и m ¹ 0,

→

= r01

+ t a1

такие, что a

= l a

→

= r02

+ t a2 .

r01 - r02

= m a1 .

2°.

→

[a1 , a2 ] = o и

→

→ →

[r01 - r02 , a1 ] = o .

→

Пересечение прямых

[a1

, a2 ] ¹ o и

→

r = r01

+ t a1

(r01 - r02 , a1 , a2 ) = 0.

→

= r02

+ t a2 .

→

Условие скрещивания пря-

[a1 , a2 ]

¹ o

→

мых r = r01 + t a1

(r01

- r02 , a1 , a2 ) ¹ 0 .

→

= r02

+ t a2 .

110

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Таблица 3.5.2

Относительная ориентация плоскостей в пространстве

Геометрическое

Возможная векторная форма пред-

условие

ставления

Параллельность плоско-

1°.

Существует l ¹ 0, такое, что

→

→ →

→

стей r

= r01 + jp1

+ qq1

[ p , q ] = l[ p

, q

]

→

→ →

→

(r01

- r02 , p1 , q1 )

¹ 0 .

= r02

+ jp2

+ qq2 .

2°.

→ →

→

[[ p1 , q1 ],[ p2 , q2 ]] = o и

→

(r01 - r02 , p1 , q1 )

¹ 0.

Совпадение плоскостей

1°.

Существует l ¹ 0, такое, что

→

→ →

→

r = r01

+ jp1

+ qq1 и

[ p1 , q1 ] = l[ p2 , q2 ] и

→

r = r02

+ jp2

+ qq2 .

= 0 .

- r , p , q )

2°.

→ →

→

Совпадение плоскостей

[[ p1 , q1 ],[ p2 , q2 ]] = o и

→

→ →

r = r01

+ jp1

+ qq1 и

(r01 - r02

, p1 , q1 ) = 0 .

→

= r02

+ jp2

+ qq2 .

Ортогональность плоско-

→ →

→

= 0 .

([ p1 , q1 ],[ p2 , q2 ])

→

стей r

= r01 + jp1

+ qq1

→

= r02

+ jp2

+ qq2 .

Глава 3 . Прямая и плоскость

111

Параллельность плоско-

→ →

( p, n) = 0

→

→ →

при условии ( n , r0 ) ¹ d .

стей r = r + jp+ q q и

(q, n) = 0

→ →

= d .

(n, r )

Совпадение плоскостей

→ →

( p, n) = 0

→

→ →

при условии ( n , r0 ) = d .

= r +j p+ q q и

(q, n) = 0

→ →

= d.

(n, r )

Ортогональность плоско-

1°.

Существует

l ¹ 0,

такое,

что

→

→ →

→

стей r

= r0 + jp + q q и

[ p, q] = l n .

→ →

= d.

2°.

→ →

→

(n, r )

[[ p, q ], n]

= o .

Таблица 3.5.3

Относительная ориентация прямой и плоскости

в пространстве

Геометрическое

Возможная векторная форма пред-

условие

ставления

Параллельность прямой

1°.

Существуют l ; m ;

> 0,

→

r = r01 + t a плоскости

такие, что a = l p + m q и

→

→ →

r = r02 + jp + q q .

(r01 - r02 , p, q) ¹ 0 .

112

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

→ → →

= 0,

2°.

(a, p, q)

→

→ →

(r01 - r02 , p, q) = 0.

Ортогональность прямой

1°.

Существует

λ ¹ 0 ,

такое,

что

→

→ →

= r01

+ t a плоскости

a = λ [ p, q] .

→

→ →

2°.

→ → →

→

= r02

+ jp + q q .

[ a ,[ p, q]] = o .

→ →

= 0

Параллельность прямой

(a , n)

при условии

→

→ →

¹ d .

= r01

+ t a плоскости

(n, r )

→ →

(n, r ) = d.

Принадлежность прямой

→ →

= 0,

(a, n)

→

→ →

= d.

= r01

+ t a плоскости

(r , n)

→ →

(n, r ) = d.

Ортогональность прямой

1°.

Существует

l ¹ 0,

такое,

что

→

= r01

+ t a плоскости

= l n .

→ →

2°.

→ →

→

(n, r ) = d .

[a, n]

= o .

Ортогональность прямой

1°.

Существуют

→ →

l ; m ;

> 0, такие,

(n , r ) = d

→1 →

→

что n

= l n1 + m n2 .

(n2 , r ) = d 2

→ →

→

→ →

2°.

[ n,[ n1 , n2 ]] = o .

и плоскости (n, r ) = d.

Глава 3 . Прямая и плоскость	113
Отметим, что в таблицах 3.5.1–3.5.3	сохранены введенные ранее
обозначения и ограничения.

При решении геометрических задач методами векторной алгебры также важно уметь переводить эти представления из одной эквива- лентной формы в другую5. Найдем, например, для прямой, заданной в пространстве пересечением двух непараллельных плоскостей

→ →			,
(n , r ) = d
→1	→	1
	, r ) = d 2 ,
(n2
	→	→		→
уравнение в параметрическом виде r		= r0		+ τ a .

Нетрудно убедиться, что в качестве направляющего вектора дан-

→

ной прямой можно взять a

= [ n1 , n2 ] , а радиус-вектор точки r0

→

выражается как некоторая линейная комбинация векторов

и n2 .

→

Действительно, пусть

r0 = ξ n1

+ ηn2 , тогда из системы линейных

уравнений

→ →

(n1 , r0 ) = d1 ,

→ →

находим ξ =

и η =

= d 2

(n2 , r0 )

→ →

→

где = det

(n1 , n1 ) (n1 , n2 )

= det

(n1 , n2 )

→ →

→

(n2 , n1 )

(n2 , n2 )

d 2

(n2 , n2 )

5 Следует иметь в виду, что использование различных векторных представле- ний одного и то же геометрического условия может приводить к различным, но, естественно, эквивалентным формам записи решения. (См., например,

задачу 3.5.2.)

114Аналитическая геометрия и линейная алгебра

→→

и η = det	(n1	, n1 )	d1	(см. теорему 1.1.2).
и η = det	→	→		(см. теорему 1.1.2).
	(n2	, n1 )	d 2

Покажите самостоятельно, что условие неколлинеарности нор-

→ →

мальных векторов n1 и n2 равносильно условию D ¹ 0 .

Аналогично может быть выполнен и обратный переход. Пусть

→ → →

уравнение прямой в пространстве имеет вид r = r0 + τ a , причем

→→

предположим, что r0 и a неколлинеарны. Тогда в качестве нор-

мальных векторов плоскостей, которые пересекаются по данной пря-

→	→ →	→	→ →
мой, можно взять n1	= [a, r0	] и n2	= [ a , n1 ] . Из второго равенства,

используя формулу для двойного векторного произведения (см. § 2.8), получаем

→ → →		→ → →	→ → → → → → → → →		→	2 →
→ → →		→ → →	→ → → → → → → → →		→	2 →
n2	= [a, n1 ] =	[a,[a, r0 ]] = (a, r0 ) a− (a, a) r0 = (a, r0 )a−			a	r0 .

				→ →
В	качестве d1	и d 2 , очевидно, можно принять		d1 = (n1 , r0 ) и
	→ →		→	→
d2	= (n2 , r0 ) .	Случай коллинеарных векторов r0 и		a рассмотрите

самостоятельно.

В заключение приведем в качестве примеров решения некоторых стереометрических задач методами векторной алгебры.

Задача

3.5.1.

→ →

Даны плоскость (n, r ) = d0 и пересекающая ее пря-

→	→	→
мая r	= r0	+ τ a . Найти радиус-вектор точки пере-

сечения этой прямой и плоскости.

Глава 3 . Прямая и плоскость

115

→ →

Решение. 1°. Заметим, что если (n, a) = 0 , то либо решений нет,

либо вся прямая лежит на данной плоскости. Поэтому

→ →

будем далее полагать, что (n, a) ¹ 0 .

	Рис. 3.5.1
	→ →
Откуда l =	d - (n, r0 )
Откуда l =	→ →
	(n, a)

2°.			→		→		→	→
	Имеем r			= r0		+ l n ,		где r –
	искомый радиус-вектор точки
	пересечения прямой и плоско-
	сти, а λ – соответствующее
	этой точке значение парамет-
	ра τ (рис. 3.5.1).
	Поскольку				точка		пересечения
	принадлежит					данной		плоско-
	сти, то имеет место соотноше-
	ние		→ →			→

			(n, r0		+ l a) = d0 .
→	→			→ →			→
			d - (n, r )
и, наконец, r	= r	+				0	a .
				→ →
	0

(n, a)

→

Задача	Даны		точка	с радиусом-вектором	R и прямая
3.5.2.	→	→	→
	r	= r0	+ t a .	Найти расстояние от	этой точки до

данной прямой, не используя операцию векторного про-

изведения.

→

Решение. 1°. Проведем через данную точку с радиусом-вектором R плоскость, перпендикулярную прямой (рис. 3.5.2). Обо-

→

значим через rx радиус-вектор точки пересечения пря-

мой и плоскости. Тогда искомое расстояние будет равно

→ →

r = | R-rx | .

116

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

2°.

→

Точка rx

будет удовлетворять

одновременно соотношениям

→ →

→

(a, R− rx ) = 0

→

и rx

= r0 + λa , но тогда, ис-

ключая параметр λ , нахо-

дим, что

→ → →

→

(R− r , a)→

rx = r0 +

→

Рис. 3.5.2

| a |2

→ → →

→

→ →

и ρ =

→ →

(R− r , a)→ → →

(R− r , a)→

(R− r0 −

→

a,R− r0 −

→

| a |2

→

→ →

(R− r0 , a)

|R− r |2

−

→

| a |2

Заметим,

что

силу

легко

проверяемого

тождества

→

→ →

= ( p, q ) 2

[ p, q ]

данное решение совпадает с полу-

→

→ →

ченным в § 3.4 значением ρ =

− r0 , a ]

→

Задача

3.5.3.

| a |

		→	→	→
Найти		расстояние между прямыми r	= r01	+ τ a1 и
→	→	→
r	= r02	+τ a2 .

Глава 3 . Прямая и плоскость	117
→	→
Решение. 1°. Если векторы a1	и a2 коллинеарны, тогда решение

аналогично приведенному на рис. 3.4.1 и дается фор- мулой

			→	→	→
ρ =	S	=	\|[r02	− r01	, a1	]\|	.
ρ =	→	=		→			.
	→			→
	\| a1 \|			\| a1 \|

→ →

2°. Пусть векторы a1 и a2 некол-

линеарны, тогда построим пару плоскостей, параллельных этим

векторам, одна из которых со-

→

держит точку r01 , а другая точ-

→

ку r02 (рис. 3.5.3).
Объем параллелепипеда,	по-
→	→

строенного на векторах a1 , a2

→	→
и r02	− r01 , равен, с одной сто-

роны, произведению площади Рис. 3.5.3 параллелограмма, находящегося в основании, на искомую вели-

		→	→ → →
чину ρ и		(r02 − r01 , a1 , a2 )				–

с другой. Откуда находим, что
	→	→	→	→
ρ =	\| (r02	− r01	, a1	, a2 ) \|
					.
		→	→

| [a1 , a2 ] |

118	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	→ →	→ → →
Задача	Даны плоскость (n, r ) = d и прямая [ p, r ] = q . Найти

3.5.4.→

R – радиус-вектор точки их пересечения.

Решение. Умножив обе части уравнения прямой векторно слева на

→	→ → →	→ →
n , получим	[n,[ p, r ]] = [n, q] . Подставляя в это соот-

→

ношение искомый вектор R и применяя формулу § 2.8, приходим к равенству

	→ → →		→ → →		→ →
	p ( n , R) - R ( n , p) =				[ n , q ] .
	→
Поскольку	R	принадлежит данной плоскости, то
→ →
(n, R) = d ,	и	тогда	при	естественном ограничении
→ →
( n , p) ¹ 0 получаем			→	→ →
		→	→	→ →
		→
		R = d p - [n, q] .
				→ →

(n, p)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 5512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf
#
27.03.20162.89 Mб33Начало работы с Oracle 11g Express Edition.pdf