algebcodes (1)

3.6. Получить a3 = b3, и, используя ограничение на степень расширения, показать, что a = b = 0.

3.11.Корни любого неприводимого над GF (q) квадратного многочлена лежат в GF (q2).

3.12.x8 + x7 + x3 + x + 1 = (x7 + 1)(x + 1) + (x + 1) + x3 + x + 1.

Многочлен x3 + x + 1 неприводим, он делит двучлен x7 + 1 и не делит двучлен x + 1.

3.14. Найдется такое i, что, если α есть корень многочлена над

GF (q), то αqi = α−1. Далее использовать факт примитивности многочлена.

3.15.Воспользоваться выражением для показателя неприводимого самодвойственного многочлена.

3.16.–3.17. Воспользоваться процедурой построения поля Галуа и показать, что, если α корень многочлена, то его 3,7,9 и 21 степени в первом случае, и 3,5,15,17,51 и 85 степени — во втором не равны 1.

3.18. Показать, что если α5 = α−1, то в GF (35) α2, α11, α22, α121 ≠ 1.

3.21.Число qm − 1 может быть простым только при q = 2 и только при m простом.

3.22.Необходимость Пусть a = b2, т.е b есть корень квадратный из a. Тогда a(q−1)/2 = (b2)(q−1)/2 = b(q−1) = 1. Достаточность. Пусть c есть первообразный элемент мультипликативной

группы GF (q) Тогда c2 порождает (циклическую) подгруппу G порядка (q − 1)/2 группы GF (q). Из условия задачи, т.е., из того, что a(q−1)/2 = 1, следует, что a G. Но эта подгруппа состоит из вторых степеней, т.е., a = c2i.

3.23. Необходимость. Пусть a является k−й степенью, т.е., a =

bk. Тогда a(q−1)/d = (bk)(q−1)/d = b(q−1)k/d = b(q−1)k1 = 1, где

k1 = k/d, так как по условию d делит k.

Достаточность. Пусть a(q−1)/d = 1, где d = ((q−1), k). Все a, которые удовлетворяют этому условию, являются d−ми степенями. Действительно, d является делителем q −1 т.е.,q −1 = ld. Для каждого делителя l порядка мультипликативной группы поля есть ее подгруппа порядка l . Её образующим элементом

является c(q−1)/l = cd, где c есть порождающий элемент мультипликативной группы поля. Так как d = ((q−1), k), то k = dk1 и (k1, l) = 1. Поэтому (cd)k1 = cdk1 = ck – также образующий

элемент. Значит, все a = cid имеют вид a = cik, что и требовлось.

3.24.Если в мультипликативной группе поля есть элемент второго порядка, то он только один.

3.25.Так как многочлен самодвойственный, то для каждого

его корня α найдется такое j ≠ m, что αpj = α−1, αpj+1 = 1.

С другой стороны, так как α−1 есть корень, то найдется такое i ≠ m, что (α−1)pi = α, и αpi = α−1. Поэтому αpi = αpj , pi = pj, i = j. Далее, из (α−1)pi = α и α−1 = αpj следует (αpj )pi =

αpi+j = α = αpm . Отсюда i + j = m и j = i = m/2, αpj =

αpm=2 = α−1, αpm=2+1 = 1. Значит, любой корень самодвойствен-

ного многочлена является корнем двучлена Hm = xpm=2+1 − 1, который, таким оразом, делится на любой самодвойственный неприводимый многочлен степени m, что и требовалось.

3.28. Рассмотреть свободный член двучлена xp−1 − 1.

10.4. К главе 4

4.1. Показать, что в противном случае строки порождающей матрицы будут линейно зависимы.

4.3. Пусть вектор v V представляет собой базис подпро-

странства V ′ V. Его размерность равна 1, и размерность его ортогонального подпространства равна n − 1. Легко про-

веряется, что все векторы, ортогональные данному, образуют подпространство.

4.5.Если некоторая линейная комбинация w столбцов проверочной матрицы равна S, то соответствующий вектор веса w содержится в смежном классе с синдромом S. Если вектор веса w содержится в смежном классе с синдромом S, то это означает,что линейная комбинация некоторых w столбцов проверочной матрицы равна S.

4.6.Рассмотреть разложение кодового подпространства A по некоторому его подходящему подпространству B.

4.7.Векторы четного веса образуют подгруппу. Векторы нечётного веса образуют смежный класс.

4.9.Скалярные произведения принятого вектора на строки

проверочной матрицы образуют систему линейных уравнений с неизвестными xi, номера которых есть номера компонент, где произошли стирания.

4.10. Совокупность векторов, веса которых имеют одинаковую чётность, образует код, заведомо обнаруживающий любую

одиночную ошибку. Сравнить в произвольном коде количества векторов четного и нечетного весов.

4.11.Рассмотреть процесс и очерёдность выбора базисных векторов.

4.12.Уяснить отличие данной задачи от предыдущей.

4.13.Воспользоваться результатом задачи 4.6.

4.14.Применить операцию укорочения кода.

4.15.Применить границу Плоткина (см. задачу 4.13).

4.16.Согласно задаче 4.15, число кодовых векторов не может превосходить 10. Но код линейный. Значит, число кодовых векторов может быть равно 4 и 8. Код мощности 4 построить легко: 000000000, 000011111, 111110000 и сумма двух послед-

них 111101111. Пусть мощность кода равна 8. Так как d=5, то имеются векторы нечетного веса, и таких векторов должно

быть четыре. Вектор веса 9 отсутствует, так как в противном случае минимальный вес окажется равным 4, что невозможно. Вектор веса 7 может быть только один. В противном случае минимальный вес будет не более, чем 4. Таким образом, при наличии вектора веса 7 остальные три вектора нечетного веса должны иметь иметь вес 5. Но разместить три вектора веса 5 на длине 9, так, чтобы их сумма имела вес не мене пяти, невозможно. Это означает, что векторов нечетного веса имеется только два. Значит, и четного — только два, значит всего их четыре, а не восемь, что и требовалось. Кроме приведенного выше кода, имеется и такой: 000000000, 000011111, 111111100,

111100011.

4.19. Вычислить сумму

n≥ d0 + d1 + . . . + dk−1

ивоспользоваться границей Плоткина (4.16.53)

10.5. К главе 5

5.1. Опуская тривиальные случаи, когда g(x) = x, x − 1, заметим, что, если бы минимальный вес циклического кода был равен 2, то идеал содержал бы многочлен xn1 − 1, n1 < n, ко-

торый обязан делиться на g(x), а это противоречит условию задачи.

5.2.Рассмотреть корни самодвойственного многочлена.

5.3.Пусть многочлен g(x) не делится на (x−1). Так как xn −1

делится на g(x), и xn−1 = (xn−1 + xn−2 + . . . + 1), то многочлен

(x−1)

(xn−1 + xn−2 + . . . + 1) делится на g(x), т.е. принадлежит коду. Наоборот, если сплошь единичный вектор принадлежит коду,

корнем многочлена g(x), который, таким образом, не делится на x − 1.

5.4.Разложить на множители порождающий многочлен и найти его корни.

5.5.Наличие в коде векторов только чётного веса означает, что порождающий многочлен имеет корнем 1, а потому он делится

на x−1. Согласно задаче 5.3., код не имеет сплошь единичного вектора. Наоборот, если в коде есть сплошь единичный вектор, то порождающий многочлен не имеет корнем 1, а потому не все векторы имеют чётный вес.

5.6.При n|qm − 1 имеет место соотношение (xn − 1)|(xqm − 1). Для каждого делителя n порядка qm − 1 циклической группы

существует её подгруппа порядка n. Элементами этой группы являются корни двучлена xn − 1, и их порядки делят n.

5.7.Многочлен xn1 − 1 не имеет кратных корней.

5.8.Представить пачку ошибок в виде многочлена и выяснить, какова степень порождающего многочлена.

10.6. К главе 6

6.1.Определить длину кода.

6.2.Разложить совокупность чисел 0, 1, ... , 79 по модулю 80 на циклотомические классы.

6.3.Если β есть корень самодвойственного многочлена x2 + x + 1, то β3 = 1. Если β GF (23, ) то самодвойственный порождающий многочлен содержит либо два кодовых вектора и имеет расстояние 7, либо содержит только один, именно, нулевой, кодовый вектор. Все корни самодвойственного многочлена

x4 + x3 + x2 + x+ 1 имеют порядок 5, но код длины n = 5 не может иметь расстояние 6 ни при каких условиях. Рассмотрение кодов б´ольших длин не встречает особенностей. Учитывая, что 255 = 15 × 17, найти две подходящие последовательности корней порядка 17 самодвойственного многочлена g(x) и вставить в каждую из них 1.

6.4. Если элементы α и α′ одного порядка, то они принадлежат одной и той же подгруппе мультипликативной группы поля. Более того они являются порождающими элементами этой группы, и длины обоих кодов совпадают. Порядок следования

корней порождающего многочлена по возрастанию показателей степеней также сохраняется.

10.7. К главе 7

7.5. Воспользоваться приведением порождающей матрицы циклического кода к каноническому виду.

Канонические разложения некоторых чисел

Различные параметры циклических кодов, в том числе длины кодов связаны с порядками элементов мультипликативных

групп конечных полей. Как известно, эти порядки есть делители порядков указанных групп. В таблице П.1 представлены канонические разложения чисел 2m − 1, m = 1, 2 . . . , 34.

Неприводимые многочлены

Задание циклического кода посредством корней порождающего многочлена требует нахождения их минимальных многочленов. Разумеется, зная хотя бы один неприводимый многочлен данной степени, можно по модулю этого многочлена построить

соответствующее поле Галуа. После этого для каждого элемента поля находят его сопряженные элементы, т.е. все корни его минимального многочлена. а по ним и сам минимальный многочлен. Практические цели, однако, потребовали ис-

ключить этот процесс из реального обращения. Существуют таблицы неприводимых многочленов, освобождающие и исследователей и инженеров от рутинных вычислений (хотя можно предположить, что создатели этих таблиц отказались бы от такой благородной затеи – создать таблицы –, знай они наперед возможности современных вычислительных машин).

В этом приложении помещена таблица П.2. В ней представлены все неприводимые многочлены степеней до m = 12 над

полем GF (2). 1

Каждый неприводимый многочлен представлен после знака (-) набором цифр от 0 до 7 (т.е. в восьмиричном виде). Представление каждой из цифр этого набора ее двоичным эквивалентом, дает последовательность коэффициентов неприводимого многочлена. Например, рассмотрим в разделе таблицы "СТЕПЕНЬ 8" самую первую запись 1-435E. Набор 435 в двоичном эквиваленте его цифр имеет вид 100011101, что соответ-

ствует многочлену x8 +x4 +x3 +x2 +1. Перед набором 435 помещено число 1. Это означает, что корнем многочлена является

элемент α, и таким образом, поле GF (28) построено по модулю именно этого многочлена. Вообще, число i, стоящее в начале каждой записи, означает, что корнем соответствующего много-

члена является αi, и α есть корень многочлена, находящегося в самой первой записи. Ясно, что, найдя некоторый многочлен,

1Перепечатка из книги У.У. Питерсона

тем самым находят и двойственный ему. Поэтому в таблице из каждой пары двойственных многочленов помещен только один из них. Поле GF (2m) является полем разложения многочлена

x2m −x, который делится на все минимальные многочлены сво-

их корней, т.е., на все минимальные многочлены всех элементов поля.

Каждая запись сопровождается буквой. Смысл букв таков: A,B,C,D–Многочлен непримитивный,

E,F,G,H–Многочлен примитивный,

A,B,E,F–Корни линейно зависимы, C,D,G,H–Корни линейно независимы,

A,C,E,G–Корни двойственного многочлена линейно зависимы,

B,D,F,H–Корни двойственного многочлена линейно независимы.

Некоторые сведения о многочлене можно извлечь и непосредственно. Например, если число, стоящее перед записью, встречается в разложениях чисел 2m − 1, то многочлен непри-

митивный.

Далее, линейная зависимость корней неприводимого многочлена обнаруживается немедленно по его второму коэффициенту. Второй коэффициент, как известно, равен суме корней, и если он равен нулю, то корни линейно зависимы.

Если число m не является простым, то для каждого делителя m1 числа m поле содержит нетривиальное подполе GF (2m1 ). Поэтому многочлен степени m1 < m заведомо помещен в разделе "СТЕПЕНЬ m1" и там снабжен соответствующей буквой. Но он помещен и в разделе "СТЕПЕНЬ m" , так как делит многочлен x2m−1 − 1. И здесь он уже буквой не снабжается.

Для примера вернемся к хорошо изученному полю GF (24), т.е., к разделу "СТЕПЕНЬ 4". Здесь представлены знакомые многочлены x4 +x+1, x4 +x3 +x2 +x+1, x2 +x+1. Последний помещен в виде 5-07 и не снабжен буквой, так как он в виде 1-7H уже представлен в разделе "СТЕПЕНЬ 2" и там снабжен

буквой H, а многочлен x4+x3+1 отсутствует, будучи двойственным многочлену 1-23F. Заметим, что многочлен 7 содержится в разделах степеней 2, 4, 6, 8, 10 и 12 в виде, соответственно, 7H, 07, 007, 0007 и 00007, а многочлен 37 содержится в разделах степеней 4, 8, и 12 в виде, соответственно, 37D, 037 и 00037.

Таблица П.2

СТЕПЕНЬ 2 1—7H.

СТЕПЕНЬ 3 1—13F.

СТЕПЕНЬ 4 1—23F 3—37D 5—07.

СТЕПЕНЬ 5 1—45Е 3—75G 5—67Н.

СТЕПЕНЬ 6 1—103F 3—127В 5—147Н 7—111А 9—015 11—155Е

21—007.