algebcodes (1)

Строение матрицы (7.4.16) не оставляет места для дальнейших попыток удлинения. Некуда, так сказать, поместить еще один столбец с одной единицей. Это препятствие снимается для случая поля GF (2m) при k = 3 и k = 2m − 1. Именно, верна

Теорема 7.4.1. Существуют 3-удлиненные коды РС с параметрами

n = 2m + 2, k = 2m − 1, d = 4 и n = 2m + 2, k = 3, d = 2m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим проверочную матрицу

(q − 1, q − 3, 3)-кода РС, где q = 2m − 1, и порождающий многочлен есть g(x) = (x − α)(x − α2.)

Из нее можно получить согласно (7.4.13) проверочную мат-

Теорема 7.4.2. Любые три столбца матрицы (7.4.18) линейно независимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Любые три столбца из первых q − 1 столбцов матрицы образуют определитель Вандермонда, который отличен от нуля, так как в любой его строке элементы, отличные от единицы, различны. Три последних столбца также линейно независимы. Остается рассмотреть "смешанный" состав тройки столбцов. Если в определитель входят

234 Глава 7. Коды МДР

какие-нибудь два из трех последних столбцов, то после двух последовательных разложений определителя по элементам этих столбцов, получится минор первого порядка, и он заведомо

логичны случаю матрицы (7.4.16). Интерес представляет слу-

чай вхождения в определитель столбца (010)T . Отвечающий ему минор

заведомо отличен от нуля, так как (и это центральная деталь доказательства) в поле характеристики 2, и только этой характеристики, все вторые степени различны (см. раздел 3.7),

Итак, матрица (7.4.18) является проверочной для первого кода теоремы 7.4.1. Она же служит порождающей для второго кода теоремы. Оба кода лежат на границе Синглтона.

7.5. Декодирование кодов РС

Коды РС — это коды БЧХ. Поэтому к ним применимы все методы декодирования, в том числе и метод, изложенный в разделе 6.9. Здесь сначала будет применен именно классический метод Питерсона— Горенстейна —Цирлера, который, как уже отмечалось, по распространённому мнению, лучше других раскрывает алгебраическую сущность процесса декодирования.До конца этой главы будет изложен метод, основанный на алгоритме Эвклида. При этом будут исследованы случаи и ошибок и стираний в принятом векторе.

П р и м е р 7.4.

Рассмотрим код РС над GF (32) с корнями α, α2, α3, α4 порождающего многочлена.

Поле GF (32) изображено на таблице (7.3.3). Длина кода n = 8, и минимальное расстояние d = 5. Код исправляет любые ошибки кратности 1 и 2. Проверочная матрица кода есть

над полем (7.3.3), в котором производятся все дальнейшие вычисления.

Разумеется, одного взгляда достаточно, чтобы по весу этого вектора понять, что он содержит по меньшей мере две ошибки.

Однако для указания истинного вектора необходима формальная процедура.

Скалярные произведения этого вектора на строки проверочной матрицы дают элементы синдрома:

Подставив эти значения в (6.9.52), получим систему уравнений относительно коэффициентов σ1, σ2 многочлена локаторов

ошибок.

α2σ1 + α7σ2 = −α, ασ1 + α2σ2 = 0.

Отсюда σ1 = α7, σ2 = α2. Многочлен локаторов ошибок

Легко проверить, что его корни, которые являются величи-

нами, обратными локаторам X1, X2 ошибок, есть z1 = α0 = 1, z2 = α6.

Отсюда X1 = α0 = 1, X2 = α2. Это означает, что в принятом векторе (7.5.20) первый и третий нули — это неверные символы. Иначе говоря, вектор-ошибка имеет вид e(x) = e1 + e2α2. Коэффициенты e1 = Y1, e2 = Y2 этого вектора пока неизвестны. Для их отыскания подставим известные величины

S1 = α7, S2 = α2, X1 = 1, X2 = α2

в систему (6.9.48):

Y1 + α2Y2 = α7,

Y1 + α4Y2 = α2.

Отсюда Y1 = α6, Y2 = α2. Таковы значения ошибок, которые надлежит вычесть, соответственно из первого и третьего сим-

волов принятого вектора: 0 − α6 = α2, 0 − α2 = α6.

236 Глава 7. Коды МДР

Истинным оказывается вектор

u = (α2, 0, α6, 0, α5, 0, α7, 1),

который есть не что иное, как построенный выше вектор (7.3.5). Чтобы "замкнуть круг" рассуждений, вычислим информа-

ционный вектор a = (a0 a1 . . . , ak−1), подставляя в

u(x) = α2 + α6x2 + α5x4 + α7x6 + x7

последовательно x = α−i, i = 0, 1, 2, 3, и пользуясь при этом таблицей (7.3.3) поля GF (32). Читатель может убедиться, что

u(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 = −1, a0 = 1, u(α−1) = α2 + α4 + α + α + α = α5 = −α, a1 = α,

u(α−2) = α2 + α2 + α5 + α3 + α2 = α6 = −α2, a2 = α2, u(α−3) = α2 + 1 + α + α5 + α3 = α7 = −α3, a3 = α3.

Остается сравнить полученный результат с (7.3.4). Некоторые замечания к декодированию кода РС. Принад-

лежность многочлена u(x) к коду РС над GF (q) той или иной размерности на передающем конце, разумеется, известна, хотя

результат кодирования от этого знания согласно теореме 7.3.1 никак не зависит. Тем не менее в рассмотренном примере декодирования все параметры кода РС обозначены полностью. Но если при декодировании знание этих параметров необходимо, то стоит ли подчеркивать возможность пренебрежения ими

при кодировании. И, наоборот, если безразличие к параметрам кода на передающем конце столь значимо, то не является ли

явной асимметрией опора при декодировании именно на параметры кода РС ?

П р и м е р 7.5. Пусть принят вектор

представляющий собой вектор (7.3.6), в котором искажены первые три символа. Сам вектор (7.3.6) получен кодированием информационного вектора a = (2, α), или в многочленной форме, a(x) = 2 + αx. Так как k = 2, n −k = 8 −2 = 6 = d −1, t = 3, то

код РС исправляет любые три ошибки. Проверочная матрица на этот случай будет

Она получилась добавлением к матрице (7.5.19) двух строк, отвечающих еще двум корням любого многочлена кода РС размерности k = 2. Элементы синдрома

S1 = α, S2 = 1, S3 = α3, S4 = α5, S5 = 1, S6 = α5.

Система трех линейных уравнений относительно коэффициентов σ1, σ2, σ3 выглядит так

α3σ1 + σ2 + ασ3 = α, α5σ1 + α3σ2 + σ3 = α4, σ1 + α5σ2 + α3σ3 = α.

Отсюда

σ1 = 1, σ2 = α5, σ3 = α7,

и многочлен локаторов ошибок имеет вид

Легко проверить, что его корни, которые являются величинами, обратными локаторам X1, X2, X3 ошибок, есть

z1 = α0 = 1, z2 = α7, z3 = α6

и

X1 = 1, X2 = α, X3 = α2,

что фактически нам известно из условий задачи.

Коэффициенты e1 = Y1, e2 = Y2, e3 = Y3, многочленаошибки, конечно, также известны из условий задачи и усмат-

риваются непосредственно из (7.3.6): Y1 = α2, Y2 = α, Y3 = α6.

Однако для соблюдения формализмов их можно найти из системы первых трех уравнений системы (6.9.48):

Y1 + αY2 + α2Y3 = α,

Y1 + α2Y2 + α4Y3 = 1,

Y1 + α3Y2 + α6Y3 = α3.

Вычисления предоставляются читателю.

Доводя рассуждения до абсурда, можно было бы потребовать, чтобы впереди каждого передаваемого вектора следовал "флаг" , который сообщал, какой степени k информационный многочлен закодирован в данном акте передачи. Тогда декодер приготовится исправлять t = [(q − 1 − k)/2] ошибок.

Число строк в проверочной матрице будет варьироваться. И хотя в каждом векторе, принадлежащем коду размерности k1 можно было бы исправить большее число ошибок, чем в векто-

ре, принадлежащем коду размерности k2 > k1, все же здравый смысл подсказывает настроить декодирование на максималь-

ное для данной передачи число k, тем более, что, во-первых, появление большего числа ошибок мало вероятно, а во-вторых, с убыванием k убывает и число векторов, в которых можно было бы исправлять большее число ошибок. На самом деле источником только что предпринятых рассуждений является все тот же факт вложения кодов РС.

7.6. Алгоритм Эвклида для многочленов

Теперь мы переходим к изложению того метода декодирования, который носит название декодирования посредством алгоритма Эвклида. Эта тема была заявлена в конце раздела 6.7, и ей посвящены разделы 7.7 – 7.10.

В гл. 1 алгоритм Эвклида был представлен как средство нахождения наибольшего общего делителя (Н.О.Д.) двух целых чисел a и b, b < a. Существует алгоритм Эвклида также

идля многочленов. Его принцип действия точно такой же, что

идля целых чисел, с той лишь разницей, что вместо соотно-

шений между целыми числами, рассматриваются соотношениям между многочленами, являющихся делимыми, делителями,

частными и остатками, и сравниваются их степени.

(7.6.26) Последнее равенство, где rn(z) = 0, неизбежно ввиду уменьшения степеней остатков на каждом следующем шаге деления. Если deg rn−1(z) = 0, то заведомо rn(z) = 0, так как константа

поля делит любой многочлен над этим полем всегда без остатка.

Отсюда в полном соответствии с (1.2.3) имеем

(a(z), b(z)) = (b(z), r0(z)) = (r0(z), r1(z)) = ... = (rn−1(z), 0) = rn−1(z).

Пример 7.6. Пусть над полем GF (2) a(z) = z4 + z3 + z2 + 1, b(z) = z4 + z2 + z + 1.

z4 + z3 + z2 + 1 = (z4 + z2 + z + 1) + (z3 + z),

(z4 + z2 + z + 1) = (z3 + z)z + (z + 1), (7.6.27) z3 + z = (z + 1)(z2 + z).

Таким образом, z + 1 = (a(z), b(z)),

q0 = 1, r0 = (z3 + z); q1 = z, r1 = z + 1; q2 = z2 + z, r2 = 0.

На случай многочленов имеет место также аналог равенства (1.2.4). Оно получается процедурой (1.2.5)—(1.2.14).

Следует только заменить символы qk, uk, vk, rk символами qk(z), uk(z), vk(z), rk(z).

Например, системы (1.2.5), (1.2.6) и (1.2.9), (1.2.10), (1.2.11) заменяются системами, соответственно

и

vk−1(z)rk(z) + vk(z)rk−1(z) = r−1(z),

uk−1(z)rk(z) + uk(z)rk−1(z) = r−2(z), (7.6.30) vk(z)uk−1(z) − uk(z)vk−1(z) = (−1)k.

Нетрудно посчитать

Утверждение 7.6.1. Многочлены uk(z) и vk(x) взаимно просты.

Действительно, если бы оба слагаемых в левой части последнего равенства в (7.6.30) делились на какой-нибудь многочлен, отличный от константы, то и правая часть обладала бы таким свойством, что невозможно.

Возвращаясь к примеру 7.6, получаем

Многочленный аналог равенства (1.2.4) принимает вид

(z + 1) = z(z4 + z3 + z2 + 1) + (z + 1)(z4 + z2 + z + 1). (7.6.33)

Вместо заключительного рассуждения процедуры (1.2.5)—(1.2.14), удобно, однако, поступить следующим образом. Решим систему (7.6.30) относительно rk(z). Получим

Результат (7.6.33) примера 7.6. получится здесь при k = 1.