algebcodes (1)

Порождающий многочлен

g(x) = (x4 + x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)(x2 + x + 1) =

= 1 + x + x2 + x4 + x5 + x8 + x10, r = 10, k = 5.

Порождающая матрица

111011001010000011101100101000 G = 001110110010100 .

000111011001010

000011101100101

Проверочная матрица будет

(5.5.14) Заменим теперь в матрице H каждый элемент αi двоичным вектором-столбцом, пользуясь таблицей поля (3.4.11). Получим изображение проверочной матрицы над полем GF (2) :

100010011010111010011010111100001001101011110

000100110101111

− − − − − − −100011000110001000110001100011

H = 001010010100101 .

011110111101111− − − − − − −−

101101101101101011011011011011 011011011011011 000000000000000

В этой матрице 12 строк, вопреки тому, что r = 10. Противоречие легко снимается, если заметить, что 12-я строка полу-

чилась нулевой и потому не имеет смысла, а 10-я и 11-я строки совпадают, и одна из них подлежит удалению.

Пунктирными линиями отделены строки матрицы (5.5.14)

5.6. Циклический код Хэмминга

Матрицы (0.4.9) и (0.4.11), отличающиеся порядком расположения столбцов являются проверочными матрицами (7, 4)-кода. В общем случае от проверочной матрицы кода Хэмминга с параметрами n = 2m − 1, k = 2m − m − 1 требуется только, чтобы

все ее 2m − 1 столбцов высоты m были различны, а порядок их следования роли не играет, так как он не влияет на кор-

ректирующую способность кода. В таком случае будем трактовать все эти столбцы как векторы длины m, изображающие все

ненулевые элементы αi GF (2m), i = 0, 1, . . . , 2m − 2, где α

— примитивный элемент поля. Расположив столбцы в порядке возрастания показателя степени, проверочную матрицу можно представить в виде

Если u(x) есть кодовый вектор кода Хэмминга, то u(α)HT = 0. Таким образом, элемент α GF (2m) является корнем произвольного вектора кода Хэмминга с проверочной матрицей (5.6.15). Это значит, что любой кодовый вектор делится на минимальную функцию элемента α GF (2m), а потому она представляет собой порождающий многочлен g(x) степени m над GF (2) циклического кода Хэмминга длины n = 2m − 1. Выше было установлено, что минимальное расстояние кода Хэимминга d = 3. В следующей главе будет показано, что в случае циклического кода Хэмминга этот факт есть прямое следствие из того, что порождающий многочлен g(x) является минимальной функцией примитивного элемента α GF (2m).

5.7.Векторы всех циклических кодов простой длины n = 2m − 1

Заранее исключим из рассмотрения коды с порождающими многочленами вида (x + 1)c. Если длина n = 2m − 1 циклического кода есть простое число, то его порождающий многочлен g(x) есть произведение только примитивных многочленов m(x) степени m, и потому каждый вектор такого кода принадлежит некоторому коду Хэмминга простой длины n = 2m − 1, который порожден многочленом m(x). Это означает, что каждый циклический код длины n = 2m − 1 является подкодом (и не одного!) кода Хэмминга той же длины. Это означает в

свою очередь, что множество всех векторов всех кодов Хэмминга простой длины n = 2m − 1 есть в точности множество всех векторов всех циклических кодов той же длины.

Оценим сверху мощность N этого множества. Если n простое, то имеется в точности φ(n) = n −1 примитивных элемен-

тов поля GF (2m), а потому — в точности (n − 1)/m примитивных многочленов степени m, так как все примитивные элементы поля являются корнями примитивных многочленов, кото-

рые делят многочлен x2m −x и потому имеют степень m. Пом-

ня, что размерность кода Хэмминга есть k = n−m = 2m−1−m, легко получить

N< (n − 1)2n . m(n + 1)

Эта оценка допускает уточнения. Например, в правой ее части нулевой и сплошь единичный векторы сосчитаны по nm−1 раз, так как они принадлежат всем кодам Хэмминга. Поэтому

Таким образом, циклическим кодам простой длины n = 2m −1 не принадлежат по меньшей мере

векторов данной длины.

Разумеется, в это число входят и все векторы веса 1, 2, n − 1, n − 2, которым в циклических кодах места нет вообще.

Рассмотрим циклические коды длины n = 7. Существует два кода Хэмминга такой длины. Их порождающие многочле-

ны — x3 + x2 + 1 и x3 + x + 1. Каждый код содержит по семь векторов веса w = 3 и по семь векторов веса w = 4. Общими для двух этих кодов будут только нулевой и сплошь единичный векторы. Таким образом, все циклические коды длины n = 7 содержат в точности 30 кодовых векторов из общего

числа 27 = 128 векторов. Конечно, этим кодам не полагается

содержать 56 векторов веса 1,2,5,6, что очевидно. Далее, подкодам этих кодов, порождаемым многочленами

скодовым расстоянием d = 4 не могут принадлежать векторы веса 3. Всего векторов веса 3 имеется 35, и 14 из них уже принадлежат двум кодам Хэмминга, а потому не могут считаться непринадлежащими циклическим кодам. Но кодам Хэмминга и их подкодам принадлежат только 14 векторов веса 4. Поэтому 21 векторов веса 4, которые могли бы принадлежать кодам

спорождающими многочленами (5.7.16), не принадлежат никаким циклическим кодам.

Покажем, что требование простоты длины n кода существенно. Пусть порождающий многочлен есть

g(x) = (x2 + x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1).

Его корнями являются элементы α5, α3, где α примитивный элемент поля GF (24). Порядки этих корней равны 3 и 5 соответственно. Наименьшее общее кратное порядков есть 15, но код, порождаемый нашим многочленом, не содержится целиком ни в одном коде Хэмминга длины n = 15. Например, ни в одном циклическом коде Хэмминга длины 15 не содержится

вектор, отвечающий данному порождающему многочлену, так как этот многочлен не делится на примитивные многочлены

(x4 + x3 + 1) и (x4 + x + 1).

В данном разделе показано, что двоичные циклические коды длины n отнюдь не используют всего ресурса 2n векторов.

5.8. Задачи к главе 5

5.1. Показать, что минимальный вес двоичного циклического кода длины n, порожденного многочленом g(x), равен, по крайней мере, 3, если n есть наименьшее число, при котором многочлен xn − 1 делится на g(x).

5.2. Показать, что произвольный циклический код над полем GF (q) вместе с каждым вектором u = (a0, a1, . . . , an−1) содержит вектор v = (an−1, an−2, . . . , a0), если некоторая степень числа q сравнима с −1по модулю n.

5.3. Пусть многочлен g(x) порождает циклический код длины n над полем GF (pm), и пусть n ≠ 0(modp). Показать, что вектор, состоящий из одних единиц, принадлежит коду тогда и только тогда, когда g(x) не длится на x − 1.

5.4. Циклический код порожден многочленом g(x) = x8 + x7 + x6 + x4 + 1.

Показать, что если α корень многочлена x4 + x + 1, то

1) Вместе с элементами α, α2, α4 корнем порождающего многочлена будет и α3.

2) Длина кода равна 15.

Найти порождающую и проверочную матрицы кода в канонической форме.

5.5. Показать, что двоичный циклический код содержит вектор нечетного веса тогда и только тогда, когда он содержит сплошь

единичный вектор.

5.6.Показать, что при n|qm − 1 корни многочлена xn − 1 обра-

зуют группу, т.е. подгруппу мультипликативной группы поля

GF (qm).

5.7.Пусть rz есть наибольшая из кратностей ri, i = 1, 2, . . . , ρ, с которыми элементы (5.5.12) входят в порождающий много-

член g(x) над GF (q), q = pm Показать, что длина n циклического кода удовлетворяет равенству n = n1ps, где n1 есть общее наименьшее кратное порядков элементов (5.5.12), и s наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству rz ≤ ps.

5.8. В отличие от канала с независимыми ошибками существуют каналы с группирующимися ошибками. Пачка (пакет) ошибок длины не более, чем l — это такой вектор-ошибка (0.1.3), в котором самый левый отличный от нуля символ ei1 и самый правый отличный от нуля символ ei2 таковы, что i1 − i2 ≤ l. Каков циклический код, обнаруживающий все такие векторыошибки?

Глава 6.

Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема

6.1. Важнейший класс циклических кодов

Определение 6.1.1. Кодом Боуза—Чоудхури—Хоквингема (БЧХ) над GF(q) называется такой циклический код, порождающий многочлен g(x) которого имеет своими корнями последовательность идущих подряд степеней некоторого произвольного элемента α GF (qm)

где b любое целое число и δ ≥ 2. Последовательность может содержать также только один элемент αb.

Найдем длину n циклического кода, порождающий многочлен которого имеет корни (6.1.1).

Теорема 6.1.2. Либо длина n равна порядку элемента αb, если δ − 2 = 0, либо порядку элемента α в противном случае, т.е. когда δ > 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При δ − 2 = 0 утверждение тривиально. Вторая часть следует из теоремы 5.5.1. Докажем, что Н.О.К порядков корней (6.1.1) равно в точности порядку элемента α. Действительно, пусть α порождает циклическую группу G порядка n. Именно к ней принадлежат все корни (6.1.1). Легко показать, что не существует такой истинной под-

группы G′ G, к которой принадлежали бы все корни (6.1.1). Предположим противное. Пусть все корни (6.1.1) принадлежат

к одной подгруппе G′ G. Тогда все они являются степенями одного элемента αh, т.е. имеют вид αhj, где h есть дели-

тель n. Рассмотрим два соседних элемента αb+i и αb+i+1. По предположению b + i = hj0, b + i + 1 = hj1. Это значит, что

b + i + 1 − (b + i) = hj1 − hj0 = h(j1 − j0) = 1, что возможно только при h = 1 для любых соседних целых чисел b + i = hj0, b + i + 1 = hj1. Доказанное означает, что порядки

элементов αb+i, i = 0, 1, . . . , δ − 2. не являются делителями по-

рядка никакой истинной подгруппы G′ G. Это значит, что

они являются делителями только порядка n группы G, т.е. делителями порядка элемента α.

Следовательно, n является Н.О.К. порядков элементов αb+i, i = 0, 1, . . . , δ − 2, каково бы ни было δ.

На практике чаще всего b = 1, или 0. Иногда, в случае b = 1 код называют кодом БЧХ в узком смысле.

Заметим, что для всех многочленов u(x), принадлежащих коду, заведомо u(αb+i) = 0 для всех i = 0, 1, . . . δ − 2.

Определение 6.1.1 открывает возможность регулярным образом строить проверочную матрицу в соответствии с теоре-

мой 4.5.3. Заметим, связь с этой теоремой определяется тем, что последовательность (6.1.1) содержит по меньшей мере δ −1 членов. Слова "по меньшей мере" связаны с тем, что на основа-

нии теоремы 3.5.12 последовательность (6.1.1) может оказаться длиннее.

Теорема 6.1.3. Минимальное расстояние кода БЧХ с корнями (6.1.1) порождающего многочлена равно по меньшей мере

δ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из сравнения последовательностей (5.5.12) и (6.1.1) проверочная матрица кода БЧХ немед-

ленно получается заменой αi на αb+i−1 в проверочной матрице (5.5.13):

Взяв из матрицы (6.1.2) произвольные различные δ−1 столб-

П р и м е р 6. 1.

Циклический (15, 5)-код примера 5.4. есть не что иное, как код БЧХ. Задав корнями порождающего многочлена элементы α, α3, α5 GF (24), на самом деле задают последовательность α, α2, α3, α4, α5, α6, α8, α9, α10, α12, которая автоматически получается из первоначальной добавлением к ней сопряженных элементов. Получилось, что подряд идущих степеней элемента α ровно шесть. Это значит, что δ − 1 = 6, и код заведомо исправляет любую комбинацию из трех и менее независимых ошибок. На самом деле здесь d = δ.

Наконец, в полном соответствии с теоремой 6.1.3 справедливо

Утверждение 6.1.4. Циклический код Хэмминга есть код БЧХ.

Действительно, порождающий многочлен циклического кода Хэминга длины n = 2m − 1 есть примитивный многочлен (т.е. минимальная функция) степени m. Корень примитивного многочлена есть примитивный элемент α GF (2m). Вместе с α его корнем будет α2 (см. теорему 3.5.12). Таким образом, последовательность (6.1.1) есть α, α2, и так как в данном случае b = 1, то δ − 2 = 1, δ = 3. Здесь также d = δ.

6.2. Коды, двойственные кодам Хэмминга

Теперь мы в состоянии привести доказательство теоремы 4.8.2. Так как циклический код Хэмминга порожден примитивным многочленом m(x) степени m, имеющим своими корня-

ми элементы α, α2, α4, . . . , α2m−1 , то проверочный многочлен h(x) = (x2m−1 − 1)/m(x) имеет своими корнями все остальные ненулевые элементы поля GF (2m). В частности, его корнями будут элементы, расположенные в максимальном промежутке между корнями многочлена m(x). Этот промежуток начина-

ется элементом α2m−1+1, оканчивается элементом α2m−1 = 1 и

содержит в точности 2m − 1 − 2m−1 = 2m−1 − 1 последовательных степеней элемента α. Иными словами, последовательность (6.1.1) имеет вид

α2m−1+1, α2m−1+2, . . . , α2m−1 = 1.