33_all

• z = 2 2i , g(2 2i)= 1 − (2 2i)2 eiπ +

i

(α+(2π −α ))

= 1 + 4 2eiπ +

i

2π

= 9ei2π = 3

2

2

• z = −2 2i , g(− 2 2i)= 1 − (− 2 2i)2 eiπ +

i

i

(−α+α )

= 1 + 4 2eiπ +

0

= 9eiπ =

2

2

−3 – не подходит,

особые точки знаменателя: .

Вне контура γ = z :

z

=

1

, π

≤ arg z ≤ 2π находятся:

z = ∞ - УОТ,

2

2

z = 2

2i

- П2 (полюс 2-го порядка)6:

g

2

(z)=1 − z

2

→ 2g(z)g′(z)= 2z → g′(z)

=

2z

z

→ g′(2 2i)

2 2i

2 2i

=

= g(2 2i)=

,

2g(z)

g(z)

3

′′

z ′

1

z

′

′′

1 2 2i 2 2i

1

4 2

1 17

17

g

=

−

−

1 +

(z)=

g(z)

2 (z)

g

(z) → g

(2 2i)=

3

32

3

=

9

=

=

27

g(z)

g

3

3 9

((g(z)−3)2 )′

= 2(g

(z)−3)g′(z)

z=2 2i = 2(3 −3)2 2i

= 0,

((g(z)−3)

z=2

2i

3

2((g (z))

(z))

2

″

=

′

=

2

+ (g

(z)−3)g

=

)

(2(g(z)−3)g (z))

′

′

′′

z=2

2i

2

z=2 2i

2

z=2 2i

2 2 2i

17

16 2

+ (3

−3)

= − 2

≠ 0

3

9

27

g Интеграл

I =

7

.

∫

f (z)dz , можно вычислить по формуле I = −2πi res f (z)+ res f

(z)

z

z=2

2i

z=∞

=2

4

Теорема (единственности). Пусть функция f : G → C регулярна в области G C . Пусть существует последовательность

различных точек {zn } G , сходящаяся к некоторой точке a G и такая, что f (zn )= 0 n N . Тогда f (z)≡ 0 на

области G.

5

res f = −c−1 , где c−1 - коэффициент разложения функции f

в ряд Лорана с центром в бесконечности.

∞

o

6

Определение. Изолированная особая точка a

функции

f : B ρ (a)→ C называется полюсом, если существует предел

C

lim f (z)= ∞.

z→a

Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область G

с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей Γ.

7

C

Пусть функция f

определена и регулярна на

G всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек

a1 , a2 , K, an G

(при этом имеется в виду,

что, если ∞ G ,

то ∞ = an ) и пусть к тому же функция f непрерывно

продолжима на границу области G . Тогда справедлива формула ∫Γ

n

f (z)dz = 2πi∑res f .

k =1 ak