teor_gr
.pdfг) G = f(a; b) j a; b 2 Zg с операцией (a; b)(c; d) = (a + ( 1)bc; b + d), H = f(a; 0) j a 2 Zg;
д) G = GLn(R), H = fA 2 GLn(R)j det(A) > 0g; е) G = GLn(C), H = fA 2 GLn(C)j det(A) 2 R+g.
4.3. Доказать, что ядро гомоморфизма f : G ! H является нормальной
подгруппой в G: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.4. Найти факторгруппы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) R =R+; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) C =R+; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) C =T1; где T1 = fz 2 Cjjzj = 1g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
г) T1=Un; где Un = fz 2 Cjzn = 1g; |
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
д) C =Hn; где Hn = fz 2 Cjarg(z) = |
|
; k 2 Zg; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
е) C =Un; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) Hn=R+; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
з) Hn=Un: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.5. Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a) |
|
GL ( )=SL ( ) |
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
R |
|
n |
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
GL ( )=SL ( |
C |
) |
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n C |
|
n |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
|
GL ( |
R |
)=H |
= |
|
|
; |
где |
|
H = |
f |
A |
2 |
GL ( |
|
) |
det(A) > 0 ; |
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
R j |
|
|
|
|
g |
|
|
||||||||||||||
г) |
|
GL ( |
C |
)=H |
= |
1; |
где |
H = |
f |
A |
2 |
GL ( |
|
) |
det(A) |
2 |
R |
+ |
|
; |
|||||||||||||
|
n |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
C j |
|
|
g |
|
||||||||||||||||
д) |
GL ( )=H |
= |
|
+; |
где |
H = |
f |
A |
2 |
GL ( |
) |
|
det(A) |
j |
= 1 ; |
||||||||||||||||||
n |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
R jj |
|
|
|
|
g |
|||||||||||||||
4.6. Доказать, что если f : G ! H – эпиморфизм групп, то jHj делит
jGj: |
|
|
|
|
|
|
|
||
4.7. Найти факторгруппы: a) 4Z=12Z; |
б) Z12 по подгруппе порядка 3. |
||||||||
4.8. В факторгруппе Q=Z найти наименьший неотрицательный пред- |
|||||||||
ставитель и порядок смежных классов: |
|
|
|
||||||
а) |
|
; |
б) 475 ; |
в) |
|
; |
г) |
|
. |
30; 3 |
1; 37 |
1; 25 |
|||||||
4.9.Доказать, что подгруппа, индекс которой есть наименьший простой делитель порядка группы, нормальна.
4.10.Доказать, что в факторгруппе Q=Z
а) каждый элемент имеет конечный порядок;
б) для каждого n 2 N существует единственная подгруппа порядка n.
21
Список литературы
[1]Сборник задач по алгебре. Семестр 3./ Сост. С.А. Кириллов. - Н.Новгород: ННГУ, 1997.-34 с.
[2]Сборник задач по алгебре./Под ред. А.И. Кострикина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 464 с.
[3]Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977. - 496 с.
22
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРУПП. ЧАСТЬ I
Составители: Михаил Иванович Кузнецов Ольга Александровна Муляр
Надежда Александровна Хорева и др.
Практикум
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского".
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.
Подписано в печать |
. Формат 60х84 1/16. |
Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. |
|
Усл.печ.л. |
Уч.-изд.л. |
Заказ № |
. Тираж 100 экз. |
Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
603600, г. Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37 Лицензия ПД № 18-0099 от 14.05.01