Teoria_1_metod_diagramm
.pdf1 курс |
Механика |
МФТИ |
Семинар №1.
Упругие столкновения. Метод векторных диаграмм.
На семинаре рассматриваются упругие столкновения макроскопических тел и объектов в микромире на основании законов сохранения импульса и энергии. Упругое столкновение – взаимодействие, при котором сохраняется энергия взаимодействующих тел. После их сближения они вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния.
Переходя к обсуждению, напомним, что в физике при решении задач должна быть указана система отсчёта, в которой рассматривается динамика процесса. Исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (далее – ЛСO), то есть в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс (далее – СЦМ), которая будет введена в обсуждении.
Рассмотрим замкнутую систему двух точечных тел. Пусть первое тело массой 1 движется со ско-
#» #»
ростью 1 навстречу второму телу массой 2, которое в свою очередь движется со скоростью 2. Далее происходит упругий удар этих двух тел. Оказывается, что в СЦМ такое соударение обладает рядом особенностей.
Проанализируем процесс до соударения. По определению скорость центра масс системы
|
|
#» |
#» |
|
|
|||
|
|
C = 1· 1 |
+ 2 |
· 2 . |
|
|
||
|
|
# » |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 2 |
|
|
|
|
# » |
# » |
|
|
|
# » |
# » |
– |
|
Пусть 1C |
и 2C |
– импульсы первого и второго тел в СЦМ, 1C |
и 2C |
|||||
скоростей связывает все эти скорости:
(1)
их скорости. Закон сложения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#» |
|
# » # » |
|
#» |
# » # » |
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= C |
+ 1C, |
2 = C + 2C. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
# » |
|
|
#» |
|
# » |
|
|
|
|
|
2 |
|
#» |
#» |
# » |
#» |
# » |
1 |
#» |
#» |
||
Из (1) и (2) следует, что 1C |
= 1 |
− C |
= |
|
|
·( 1 |
− 2) и 2C = 2 |
− C = |
|
·( 2 |
− 1). |
|||||||||||||||||
|
1 + 2 |
1 + 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
# » |
# » |
# » |
= |
|
|
# » |
+ |
|
# » |
|
#» |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Заметим, что |
∑ |
= |
|
+ |
|
|
· |
|
|
2· |
|
|
= 0 , то есть в СЦМ системы суммарный импульс тел |
|||||||||||||||
#» |
|
|
1C |
|
2C |
|
|
1 |
1C |
|
|
|
|
2C |
|
|
|
# » |
# » |
обоих тел равны по величине, |
||||||||
равен 0 . Это означает, что относительно центра масс импульсы 1C |
и 2C |
|||||||||||||||||||||||||||
но противоположны по направлению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1C = 2C, |
# » |
# » |
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1C = − 2C. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# » |
|
# » |
|
|
|
Так как скорость направлена ту да же, куда и импульс, то скорости 1C |
и 2C также противоположно |
|||||||||||||||||||||||||||
направлены, но по величине равны, только если 1 = 2, в общем же случае всегда
1· 1C = 2· 2C.
Проанализируем движение тел после соударения. Изменяющиеся величины будем обозначать знаком *, то
# » |
# » |
# » |
# » |
– их скорости после столкновения. Так |
есть 1*C |
и 2*C |
– импульсы первого и второго тел в СЦМ, 1*C |
и 2*C |
как система является замкнутой, то после соударения скорость (1) центра масс системы и её суммарный
# » |
|
|
|
# » |
# » |
# » |
# » |
# » |
#» |
|
||
импульс |
останутся неизменными, поэтому |
= 1*C |
+ 2*C = 1 |
1*C |
+ 2 2*C = 0 , то есть в СЦМ |
|||||||
системы суммарный∑ |
импульс тел и после столкновения∑ |
|
#» |
|
импульсы· |
# » |
# » |
|||||
равен 0 . В СЦМ· |
1*C |
и 2*C обоих тел |
||||||||||
равны по величине, но противоположны по направлению: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
* |
= * , |
# |
» |
|
# » |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
= * . |
|
|
|
(4) |
|||
|
|
|
1C |
2C |
1C |
|
− 2C |
|
|
|
||
# |
» |
# » |
также противоположно направлены и связаны соотношением |
|
|
|||||||
Скорости 1*C и |
2*C |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1· 1*C = 2· 2*C. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Страница 1 из 5 |
|
|
|
|
|
Разработка: |
М.А. Пенкин - преподаватель |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
кафедры общей физики МФТИ. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 курс |
|
|
|
|
|
|
|
|
Механика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МФТИ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
# » |
# » |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим, что после соударения скорости 1* и 2* тел в ЛСО выражаются с помощью закона сложения |
||||||||||||||||||||||||
скоростей: |
|
|
|
# » |
|
|
# » |
|
|
|
|
# » |
|
|
|
|
# » |
|
|
|
||||
|
|
|
|
# » |
|
|
|
|
|
# » |
|
|
|
(5) |
||||||||||
|
|
|
|
1* |
= C |
+ 1*C, |
|
|
2* = C |
+ 2*C. |
|
|||||||||||||
Теперь свяжем их движение до и после столкновения. По закону сохранения энергии в СЦМ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( 1C)2 |
( 2C)2 |
( * )2 |
( * |
|
)2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
1C |
|
+ |
|
2C |
|
. |
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|||||||
Из соотношений (3), (4) и (6) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
|
= * = * , |
|
|
» = |
|
|
|
|
# |
|
» |
# » |
|
|||||||
|
|
|
|
» |
|
и |
|
* |
|
= * . |
(7) |
|||||||||||||
|
1C |
|
2C |
|
|
1C |
|
2C |
# |
1C |
− |
# |
|
|
1C |
− 2C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
||||||||||||||||
В СЦМ при упругом соударении импульсы тел поворачиваются на тот или иной угол, не изменяясь по величине. Угол поворота не определяется законами сохранения, а зависит от конкретного характера взаимодействия тел и их взаимного расположения.
Из соотношения (7) следует, что
|
|
= * |
, |
|
|
= * |
, |
|
# |
» |
= |
|
|
# |
» |
|
|
|
# » |
= |
|
|
|
# |
» |
|
1C |
2C |
|
1C |
− |
|
2C и |
1 |
· |
* |
− |
2· |
* . |
(8) |
|||||||||||||
|
1C |
|
|
2C |
|
|
1· |
|
|
2· |
|
1C |
|
|
|
2C |
||||||||||
В СЦМ при упругом столкновении скорости обоих тел изменяются тоже только по на-
правлению.
Мы получили основные особенности упругого столкновения в СЦМ. Они позволяют применить графическую технику для анализа изменения скоростей. Она не требует проведения утомительных выкладок,
поэтому её очень важно освоить.
Для наглядности демонстрации этой техники предположим, что второе тело изначально покоится в
ЛСО. Это ограничение не изменит суть метода, но сделает его более понятным.
#» |
= |
#» |
# » |
# » |
Итак, 2 |
0 , откуда следует, что 2C |
= − C. Пусть – угол рассеяния первого тела в ЛСО, – угол |
||
рассеяния второго тела в ЛСО. Также пусть – угол рассеяния первого тела в СЦМ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# » |
1· 1 |
|
|
|
|
Из соотношения (1) следует, что скорость центра масс системы C = |
. Она не изменяется ни |
|||||||||||
|
1 + 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#» |
первого тела в ЛСО. |
||
по направлению, ни по величине, и направлена в ту же сторону, куда и скорость 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
#» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# » |
2· 1 |
|
|
|
|
|
Также направлена и его скорость 1C = |
в СЦМ, что вытекает из соотношения (2). Скорость |
||||||||||||
|
|
|
|
|
#» |
|
1 + 2 |
|
|
|
|
||
|
|
= |
= |
|
1· 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
# » |
|
# » |
|
|
|
|
|
|
|
#» |
|||
|
2C |
− |
|
C |
− |
|
второго тела в ЛСО направлена противоположно скорости |
|
1. |
||||
|
|
1 + 2 |
|
||||||||||
|
Из озвученного ранее правила (8) скорости тел после удара в СЦМ не изменят своей величины, поэтому |
||||||||||||
1C = 1*C и 2C = 2*C. Они лишь совершат поворот на угол . В результате для построения скоростей |
|||||||||||||
# » |
# » |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1* |
и 2* |
достаточно применить законы сложения скоростей (2) и (5). |
|
|
|
|
|||||||
Метод состоит в графической иллюстрации этих соотношений. Мы будем складывать скорости тел до и после соударения, чтобы были выполнены законы сложения соответствующих скоростей.
Страница 2 из 5
Разработка: М.А. Пенкин - преподаватель кафедры общей физики МФТИ.
1 курс |
Механика |
|
|
МФТИ |
В данной задаче следует выделить три возможных случая: 1C |
> C, 1C = C и 1C < |
C. Из |
||
вышеприведённых формул первый случай реализуется при 1 |
> 2, второй случай – при 1 |
= 2 и |
||
третий случай – при 1 < 2. Мы рассмотрим каждый из них. То, что будет происходить со скоростями первого тела, мы будем изображать на рисунке слева, а то, что со скоростями второго тела – справа.
Диаграмма столкновения первого случая: 1 > 2, 2 = 0.
|
|
|
|
# » |
# » |
Проанализируем то, что будет с первым телом. Откладываем векторы C |
и 1C, причём так, что 1C > |
||||
|
|
#» |
# » |
# » |
# » |
C, поскольку 1 > 2. Теперь строим вектор 1 = C |
+ 1C. После удара вектор C не изменится, поэтому |
||||
# » |
|
|
|
|
|
начало вектора 1*C останется неподвижным, в то время как сам он повернётся на угол . Поскольку |
|||||
# » |
может оказаться в любой точке окружности, приведённой на рисунке |
||||
1*C = 1C, то конец вектора 1*C |
|||||
# » |
# » |
# » |
|
|
|
слева. Наконец строим вектор 1* |
= C |
+ 1*C. Видим, что скорость первого тела повернулась на угол . |
|||
|
|
# » |
лежит вне этой окружности, поэтому рассеяние первого |
||
Заметим, что в этом случае начало вектора C |
|||||
тела может происходить не на любой угол , а на ≤ max.
Максимальный угол max рассеяния:
Страница 3 из 5
Разработка: М.А. Пенкин - преподаватель кафедры общей физики МФТИ.
1 курс |
|
|
|
|
|
Механика |
|
|
|
|
МФТИ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# » |
# » |
|
|
|
|
|
Максимальный угол max рассеяния реализуется, если скорости 1* |
и 1*C перпендикулярны друг другу. |
|||||||||||||||||
Его легко найти из прямоугольного треугольника скоростей: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
= |
1C |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# » |
|
Теперь проанализируем то, что будет с вторым телом. Всё аналогично. Откладываем векторы C и |
||||||||||||||||||
# » |
= |
|
# » |
|
# » |
|
|
|
|
|
|
# » |
#» |
#» |
|||||
|
2C |
− |
|
C, причём |
так, чтобы конец вектора |
C |
совпадал с началом вектора |
2C |
. Таким образом, |
2 |
= 0 . |
||||||||
|
|
|
# » |
|
|
|
|
|
|
# » |
|
|
|
||||||
После удара вектор C |
не изменится, поэтому начало вектора 2*C останется неподвижным, в то время |
||||||||||||||||||
как сам он повернётся. На какой же угол? В силу (8) он должен быть противоположно направлен вектору
# » |
|
|
1*C, а значит поворот будет на такой же угол . В этом и есть вся красота этой иллюстрации! Наконец |
||
# » |
# » |
# » |
строим вектор 2* |
= C |
+ 2*C. Видим, что скорость второго тела повернулась на угол . |
Диаграмма столкновения второго случая: 1 = 2, 2 = 0.
В этом случае упруго сталкиваются два тела одинаковой массы. Какие же есть особенности у такого столкновения?
#»
1.Начало вектора C лежит на окружности, и сам вектор является её диаметром, поэтому
C = 1C = 2C = 1*C = 2*C = 12 1.
2.Угол рассеяния первого тела в СЦМ в два раза больше угла рассеяния этого тела в ЛСО (угол
– центральный, угол – вписанный и опирающийся на ту же дугу):
= 2 .
3.Векторы 1* и 2* скоростей тел после удара перпендикулярны друг другу (следует из построений), поэтому
+ = 900.
Особо следует выделить последнюю особенность! Её знание может сильно упростить решение соответствующей задачи. Частицы одинаковой массы в системе отсчёта, в которой до удара одна из частиц покоилось, разлетаются под прямым углом.
Страница 4 из 5
Разработка: М.А. Пенкин - преподаватель кафедры общей физики МФТИ.
1 курс |
Механика |
МФТИ |
Диаграмма столкновения третьего случая: 1 < 2, 2 = 0.
#»
Вэтом случае начало вектора C лежит внутри окружности, поэтому рассеяние может происходить на любой угол .
Например, при рассеянии на угол = 1800 |
окажется, что * = |
2 |
− 1 |
|
|
и * = |
2 1 |
|
. В |
1 + 2 |
|
1 + 2 |
|||||||
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|||
этом можно убедиться самостоятельно, если сделать соответствующую диаграмму. Такое рассеяние будет соответствовать центральному абсолютно упругому соударению.
Мы продемонстрировали графическую технику на конкретном примере, однако её можно применять
#» |
#» |
и на других задачах, в которых происходит упругое соударение. Например, в задачах, где 2 |
̸= 0 , анализ |
и решение будут очень похожи. |
|
В завершение следует отметить, что мы анализировали упругое соударение при условии, что после него тела не начнут вращаться. Наличие вращения приведёт к тому, что часть энергии поступательного движения перейдёт в энергию вращательного движения, изменятся законы сохранения, и весь анализ, который мы проводили, включая графические иллюстрации, пойдёт «под откос».
Страница 5 из 5
Разработка: М.А. Пенкин - преподаватель кафедры общей физики МФТИ.