teor_gr

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Задачи по теории групп. Часть I

Практикум

Рекомендован методической комиссией механико-математического факультета для студентов ННГУ, обучающихся

по специальности 010101 "Математика\, по направлению 010100 "Математика\,

по направлению 010200 "Математика и компьютерные науки\

Нижний Новгород 2010

УДК 512.54 ББК 22.144

З-15

З-15. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРУПП. ЧАСТЬ I. Составители : Кузнецов М.И., Муляр О.А., Хорева Н.А., Чебочко Н.Г.: Практикум. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2010. - 23с.

Рецензент: д.ф.-м.н., профессор В.М. Галкин.

Практикум содержит задачи и все необходимые сведения для решения задач по теории групп (части курса "Алгебра") по темам: определение группы, подгруппы, циклические группы, гомоморфизмы групп и факторгруппы. Приводятся подробные решения типовых задач. Практикум предназначен для студентов-математиков второго курса механико-матема- тического факультета.

Практикум издан в рамках развития НИУ "Разработка новых и модернизация существующих образовательных ресурсов\

УДК 512.54 ББК 22.144

Содержание

3

§1 Понятие группы. Подгруппы

Бинарной алгебраической операцией на множестве M называется любое отображение : M M ! M. Результат применения операции к паре элементов a; b из M будем обозначать a b.

Операция на множестве M называется ассоциативной, если для любых элементов a; b; c 2 M выполняется равенство (a b) c = a (b c).

Операция на множестве M называется коммутативной, если для любых элементов a; b 2 M выполняется равенство a b = b a.

Определение. Множество G с заданной на нем бинарной операцией

: G G ! G называется группой, если

1)операция ассоциативна;

2)в G существует нейтральный элемент, т.е. такой элемент e 2 G, что e g = g e = g для любого g 2 G;

3)для любого g 2 G существует обратный элемент g 1 2 G, т.е. такой элемент, что g g 1 = g 1 g = e.

Для того чтобы подчеркнуть, что множество G рассматривается как группа относительно операции , обычно пишут (G; ).

Если операция в группе обозначается как +, то она называется сложением, нейтральный элемент обозначается 0 и называется нулем, обратный элемент к g обозначается g и называется противоположным к g.

Обычно операцию в группе называют умножением и обозначают знаком , нейтральный элемент называют единичным элементом или единицей группы. В дальнейшем мы будем придерживаться таких обозначений.

Если операция в группе коммутативна, то группу G называют коммутативной или абелевой. Мощность группы G называется порядком группы и обозначается через jGj.

В любой группе существует единственный единичный элемент. Для любого элемента группы существует единственный обратный элемент.

Отметим, что (a b) 1 = b 1 a 1 (именно в таком порядке). Определение. Пусть (G; ) - группа. Непустое подмножество H в G

называется подгруппой, если H является группой относительно операции. Иными словами, H является подгруппой, если выполнены следующие условия:

1) H замкнуто относительно операции (то есть a b 2 H для любых a; b 2 H);

4

2) H замкнуто относительно взятия обратного элемента (a 1 2 H для любого a 2 H).

Рассмотрев любой элемент a 2 H, получим из свойств 1), 2), что a a 1 = e 2 H. Т.е любая подгруппа содержит единицу группы G.

Условия 1), 2) можно заменить на одно: a b 1 2 H для любых a; b 2 H. Подмножество H = feg и сама группа G всегда являются подгруппами

в G.

Упражнения.

1.1. Выяснить, какими свойствами обладает операция на множестве M, если

а) M = N; x y = xy;

б) M = N; x y = НОД(x; y); в) M = N; x y = 2xy;

г) M = Z; x y = x y; д) M = Z; x y = x2 + y2;

е) M = R; x y = sin(x) sin(y);

ж) M = R ; x y = xy ; где R = Rnf0g;

з) M = R R; (x; y) (a; b) = (x; b):

1.2. Какие из указанных числовых множеств с операциями являются группами:

а) (G; +); где G = N; Z; Q; R; C;

б) (G; ); где G = N; Z; Q; R; C;

в) (G ; ); где G = N; Z; Q; R; C (здесь G = Gnf0g); г) (nZ; +); где n 2 N;

д) (f 1; 1g; );

е) (fanjn 2 Zg; ); где a 2 R и a 6= 0; ж) (T 1; ), где T 1 = fz 2 Cj jzj = 1g; з) (fz 2 Cj jzj > 1g; ):

1.3.Доказать, что [0; 1) с операцией , где a b = fa + bg - дробная часть числа a + b, является группой.

1.4.Доказать, что пары (a; b) вещественных чисел, a 6= 0, составляют группу относительно операции (a; b)(c; d) = (ac; ad + b).

1.5.Пусть (G; ) – группа. Доказать, что G является группой относительно операции , где a b = b a.

1.6.Какие из указанных множеств квадратных вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу:

a) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно сложения;

5

б) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно умножения;

в) множество невырожденных матриц относительно сложения; г) множество невырожденных матриц относительно умножения;

д) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения;

е) множество диагональных матриц относительно сложения; ж) множество диагональных матриц относительно умножения;

з) множество диагональных матриц, у которых все элементы на главной

относительно умножения?

1.7.Доказать, что множество функций вида y = axcx++db, где a; b; c; d 2 R и ad bc 6= 0, является группой относительно операции композиции функций.

1.8.Доказать, что если x2 = e для любого элемента группы G, то G абелева.

1.9.Для каждой из групп в задачах 1.2. и 1.6. приведите пример какойлибо подгруппы.

1.10.Доказать, что во всякой группе пересечение любого набора подгрупп является подгруппой.

1.11.Найти две подгруппы в группе из задачи 1.4.

1.12.Найти все подгруппы а) в четверной группе Клейна; б) в S3; в) в

A4.

§2 Циклические группы

Пусть (G; ) – группа, g 2 G; n 2 Z: Введем понятие n-ой степени элемента. Если n > 0, то gn = gg g. Если n = 0, то gn = e: Если n < 0,

| {z }

n

6

элемента группы. Если n > 0, то ng = g + g + + g. Если n = 0, то

Свойства степеней:

gmgn = gm+n;

(gm)n = gmn:

Рассмотрим множество всех степеней элемента g:

< g >= fgnjn 2 Zg:

Множество < g > является подгруппой в G и называется циклической подгруппой, порожденной элементом g. Элемент g называют образующим элементом циклической подгруппы.

Если G – группа по сложению, то циклическая подгруппа – это множество всех кратных элемента g:

< g >= fng j n 2 Zg:

Рассмотрим примеры циклических подгрупп. 1) C = C n f0g c операцией умножения.

Так как i2 = 1; i3 = i; i4 = 1, то, < i >= f1; 1; i; ig, т.е. < i >

– подгруппа 4-го порядка. Так как ( 1)2 = 1, то < 1 >= f1; 1g – подгруппа 2-го порядка.

2)GL2(R) – группа невырожденных матриц второго порядка с действи-

Все натуральные степени матрицы B различны, т.е. циклическая подгруппа < B > содержит бесконечное число элементов.

Группа G называется циклической, если существует элемент g 2 G такой, что G =< g >.

Иными словами, группа – циклическая, если все элементы группы являются степенями некоторого фиксированного элемента этой группы.

7

Любая циклическая группа абелева, так как любые две степени элемента перестановочны между собой:

gmgn = gm+n = gngm 8m; n 2 Z:

Примеры циклических групп.

1)Пусть G = (Z; +) - группа целых чисел с операцией сложения. Тогда группа G – бесконечная циклическая. В качестве порождающего элемента можно выбрать 1 или 1. Действительно,

8 n 2 Z n = n 1 = ( n) ( 1): Следовательно, G =< 1 >=< 1 >. Другие элементы из Z не являются образующими циклической группы

Z. Действительно, если Z =< t >, то, в частности, 1 = nt для некоторого целого n. Откуда, n = t = 1.

2)Пусть G – группа корней n-ой степени из единицы. Группа G = f k = cos 2nk + i sin 2nk j k = 0; n 1g имеет порядок n. Очевидно, G – цикличе-

ская группа: k = cos 2nk + i sin 2nk = cos 2n + i sin 2n k = k1. Следовательно, G =< 1 > :

3) Пусть Zm = f0; 1; ; m 1g - группа классов вычетов по модулю

t

Пусть G – произвольная группа, g 2 G.

Порядком элемента g называется наименьшее натуральное число n, такое что gn = e.

Обозначение: ord g = n.

Если такого натурального числа не существует, то говорят, что g имеет бесконечный порядок.

В группе по сложению порядком элемента g называется наименьшее целое положительное число n, такое что ng = 0.

Единица группы – единственный элемент порядка 1. Примеры.

1) G = Z, ord 0 = 1, порядки остальных элементов G бесконечны, так как если кратное nm = 0 при n 6= 0, то m = 0.

8

некоторого k 2 Z, т.е. m = 6k. Наименьшее положительное m, кратное 6, p

это 6. Следовательно, ord(12 + 23i)=6.

В данном примере модуль g равен 1, это необходимое условие, для того, чтобы комплексное число имело конечный порядок. Действительно, при возведении в степень комплексного числа, будет возводиться в степень

модуль этого числа. Натуральная степень вещественного положительно- p

го числа равна 1, только если это число равно 1. Например, j1 + i 3j = 2. p

Следовательно, ord(1 + i 3) = 1

Предложение.

(1)gm = e , ordgjm.

(2)ordgk = (k;ordordgg) .

Доказательство. Пусть ordg = n.

(1)Разделим m с остатком на n: m = nt + r, 0 r < n. Тогда gm = gnt+r =

(gn)tgr = gr, так как gn = e по определению порядка элемента. Далее, gm = e , gr = e , (так как r < n ) r = 0 , njm.

(2) Пусть d = (k; n), n = n1d, k = k1d, (n1; k1) = 1. Для любого m, (gk)m =

e, gkm = e , (из (1)) njkm , n1jk1m , n1jm. Таким образом, (gk)m =

e, (k;ordordgg) jm. Следовательно, ordgk = (k;ordordgg) .

Задача. Найти порядки всех элементов в Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g.

Порядок 0 равен 1.

Образующим элементом в Z6 является, например, 1. Наименьшее поло-

ord3 = (66;3) = 63 = 2, ord4 = (66;4) = 62 = 3, ord5 = (66;5) = 61 = 6.

Покажем, что порядок любой подстановки в G = Sn равен наименьшему общему кратному длин независимых циклов, в произведение которых она раскладывается.

Пусть = 1 s – разложение подстановки в произведение независимых циклов длин k1, : : : ; ks, соответственно. Циклы 1, : : : ; s перестановочны между собой. Поэтому n = 1n sn. Множества элементов, которые действительно переставляются подстановками 1n, : : : ; sn, не пересекаются между собой. Следовательно, n = id , 1n = id; : : : ; sn = id. Из утверждения (1) предложения следует, что [ord 1; : : : ; ord s] = ord . Так как порядок любого цикла равен длине этого цикла, то мы получаем,

9

Так как = (1; 2; 11; 12)(3; 4; 5; 6; 7)(8; 9), то ord = [4; 5; 2] = 20.

Задача. Сколько элементов порядка 12 содержится в C ; S7 или A7. Подстановка имеет порядок 12 тогда и только тогда, когда наимень-

шее общее кратное длин независимых циклов, в которые она раскладывается равно 12. Так как – подстановка на множестве из 7 элементов, то – произведение цикла длины 3 на цикл длины 4. Найдем количество таких подстановок. Выбирая 3 элемента, составляющие цикл длины 3, мы автоматически выбираем 4 элемента (дополнительные к выбранным 3), составляющие независимый цикл длины 4.

Всего таких выборок C73 = 35. Для выбранных элементов количество различных циклов длины 3, которые можно составить из данных элемен-

тов равно 2 = 3!3 . Например, из выборки 2; 5; 7 можно составить циклы

(2; 5; 7) = (5; 7; 2) = (7; 2; 5) и (7; 5; 2) = (5; 2; 7) = (2; 7; 5). Аналогично, из выбранных четырех чисел можно составить 4!4 = 6 различных циклов длины 4. Следовательно, в S7 содержится ровно 35 2 6 = 420 элементов порядка 12.

Так как произведение цикла длины 3 на цикл длины 4 является нечетной подстановкой, то в A7 нет элементов порядка 12.

Элементы порядка 12 в C удовлетворяют соотношению z12 = 1, т.е. они являются корнями из единицы степени 12. По определению порядка наименьшая натуральная степень, при возведении в которую z получается 1, равна 12. Т.е. z является первообразным корнем из 1 единицы степени

12.

Пусть "k = cos 12k + sin 12k; k = 0; 1; :::; 11 – корни из единицы степени

12. Корень "k является первообразным тогда и только тогда, когда k и 12 взаимно просты. Следовательно, первообразными являются "1; "5; "7; "11. Поэтому в C содержится ровно 4 элемента порядка 12.

Теорема 1. Порядок циклической подгруппы, порожденной элементом g, совпадает с порядком g. Если ord g = n, то < g >= fg0; g1; g2; : : : ; gn 1g.

Следствие 1. Конечная группа G является циклической , в G существует элемент порядка jGj.

Необходимость следует из теоремы 1. Для доказательства достаточности рассмотрим циклическую подгруппу, порожденную элементом порядка jGj. По теореме она состоит из jGj элементов, а, следовательно, совпадает с G.

Следствие 2. Элемент gk является образующим в группе < g > , k взаимно просто с ord g.

10