Алгебра и геометрия, 2 семестр

2Метрика и функция длины

С помощью скалярного произведения геометрическая структура евклидова пространства может быть обогащена не только понятием ортогональности, но и таким важным метрическим понятием, как расстояние между точками.

Напомним сначала определение метрики. Пусть M произвольное непустое множество. Отображение d: M × M → R называется метрикой на M, если для любых x, y, z M

(M1) d(x, y) = d(y, x),

(M2) d(x, y) > 0,

(M3) d(x, y) = 0 x = y,

(M4) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y).

Значение метрики d(x, y) называют расстоянием между x и y.

На множестве M можно определять метрику различными способами. В случае, когда M обладает некоторой алгебраической структурой (пример: M группа), существует специальный способ задания метрики на M, основанный на понятии функции длины.

Определение 3. Пусть A произвольная абелева группа. Функцией длины на группе A называется отображение | |: A → R, удовлетворяющее следующим условиям:

(L1) |x| > 0,

(L2) |x| = 0 x = 0,

(L3) |x| = |−x|,

(L4) |x + y| 6 |x| + |y|

для любых x, y A.

С помощью функции длины на абелевой группе A можно определить метрику

d(x, y) = |x − y|,

которая называется метрикой, индуцированной функцией длины.

41

Упражнение 27. Доказать, что для любой функции длины на абелевой группе A

d(x, y) = |x − y|

является метрикой на A. Привести пример метрики на абелевой группе, которая не индуцируется некоторой функцией длины.

Далеко не каждая метрика на абелевой группе индуцируется функцией длины. Такие метрики имеют особое свойство:

d(x + a, y + a) = d(x, y)

для любых x, y, a A, т. е. расстояние между x и y не меняется при их ¾сдвиге¿ на любой элемент a.

Именно с помощью функции длины задается метрика и на евклидовом пространстве.

Определение 4. Модулем (или длиной) вектора x из евклидова про-

p

странства E называется число (x, x), которое обозначается через |x|.

Покажем, что выполняются все четыре условия, определяющие функцию длины.

Во-первых, условия (L1) и (L2) являются простой переформулировкой положительной определенности скалярного произведения, а условие (L3) следует из более сильного свойства.

Предложение. |λx| = |λ| · |x| для любых λ R, x E.

pp

Доказательство. |λx| = (λx, λx) = λ2(x, x) = |λ| · |x|.

В дальнейшем вектор x будет называть нормированным, если |x| = 1. Понятно, что любой ненулевой вектор x можно сделать нормированным с помощью умножения на λ = |x1| . Этот процесс умножения называется

нормировкой вектора x.

И наконец, покажем, что условие (L4) также справедливо.

Теорема (неравенство треугольника). Для любых x, y E

|x + y| 6 |x| + |y|.

42

Доказательство. Из неравенства Коши Буняковского следует, что

|(x, y)| 6 |x| · |y|.

Следовательно,

(x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = |x|2 + 2(x, y) + |y|2 6

6 |x|2 + 2|(x, y)| + |y|2 6 |x|2 + 2|x| · |y| + |y|2 = |x| + |y| 2.

p

Отсюда вытекает неравенство (x + y, x + y) 6 |x| + |y|.

Итак, модуль удовлетворяет условиям (L1–L4) и, следовательно, индуцирует метрику на E. В дальнейшем, говоря о расстоянии d(x, y) между x и y, мы будем иметь ввиду метрику, индуцируемую модулем вектора:

d(x, y) = |x − y|.

3Понятие угла

Доказывая неравенство треугольника, мы использовали неравенство Коши Буняковского, записанное в виде

|(x, y)| 6 |x| · |y|.

Для ненулевых x и y это неравенство может быть переписано следующим образом:

(x, y)

−1 6 |x| · |y| 6 1.

Значит, для ненулевых x и y однозначно определено число ϕ [0, π], удовлетворяющее условию

(x, y) cos ϕ = |x| · |y|.

Число ϕ, определенное таким образом, называется углом между x и y.

Пользуясь понятием угла, мы можем равенство

(x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y)

переписать в виде равенства

|x + y|2 = |x|2 + 2 · |x| · |y| · cos ϕ + |y|2,

43

которое называется теоремой косинусов.

Понятие угла хорошо согласуется с понятием ортогональности. Если ненулевые векторы x, y E ортогональны, т. е. (x, y) = 0, то, по определению угла ϕ между x и y, cos ϕ = 0, и значит ϕ = π2 .

Упражнение 28. Доказать утверждения:

1) (теорема Пифагора)

|x + y|2 = |x|2 + |y|2 x y

2)|x + y| = |x| + |y| угол между x и y равен 0

3)(теорема Апполония)

|x + y|2 + |x − y|2 = 2(|x|2 + |y|2)

4Ортонормированные базисы

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все базисные векторы нормированы, т. е. имеют единичную длину. Из теоремы о существовании ортогонального базиса в любом ортопространстве, содержащем хотя бы один неизотропный вектор, следует существование ортонормированного базиса в любом евклидовом пространстве.

Теорема. Любое евклидово пространство имеет ортонормированный базис.

Ортонормированность базиса E = {e1, . . . , en} равносильна любому из следующих условий:

1)матрица Грама G(e1, . . . , en) базиса E является единичной матрицей;

2)скалярное произведение в базисе E вычисляется по формуле

(x, y) = x1y1 + . . . + xnyn.

В этом разделе мы опишем один алгоритм, позволяющий из какого-либо базиса евклидова пространства построить ортогональный базис. Этот алгоритм называется процессом ортогонализации Грама Шмидта, и для его изложения нам потребуется ряд дополнительных понятий.

44

Пусть V произвольное подпространство евклидова пространства E. Тогда E = V V . Это означает, что для любого x E имеется единственное разложение

x = y + z, y V, z V .

Вектор y называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство V и обозначается prV x. Вектор z называется ортогональной составляющей вектора x относительно V и обозначается ortV x.

Если {e1, . . . , ek} ортонормированный базис V , то проекция prV x может быть найдена по формуле

k

X

prV x = (x, ei)ei.

i=1

В случае произвольного ортогонального (не обязательно ортонормированного) базиса, формула выглядит так:

k

X (x, ei) prV x = i=1 (ei, ei)ei.

В указанных обозначениях процесс ортогонализации Грама Шмидта может быть описан следующим образом:

Пусть E = {e1, . . . , en} произвольный базис евклидова пространства E.

Положим V0 = 0 и Vk = he1, . . . , eki для k = 1, . . . , n. Понятно, что Vn = E. Система векторов F = {f1, . . . , fn}, определенных равенствами

fk = ortVK−1 ek, k = 1, . . . , n,

состоит из ненулевых попарно ортогональных векторов и, следовательно, образует базис пространства E.

Заметим, что векторы f1, . . . , fk образуют ортогональный базис пространства Vk для k = 1, . . . , n. Поэтому проекция произвольного x E на Vk находится по формуле

k

X (x, fi) prVK x = i=1 (fi, fi)fi.

Но ortV x = x − prV x, поэтому

k−1

fk = ek − X (ek, fi)fi.

i=1 (fi, fi)

45

5Расстояние между подмножествами

Расстояние между подмножествами X и Y метрического пространства определяется по формуле

d(X, Y ) = inf {d(x, y) | x X, y Y } .

В данном разделе мы выведем явные формулы для вычисления расстояния между произвольными аффинными подпространствами евклидова пространства. С этой целью мы сначала сведем указанную проблему к задаче нахождения расстояния от вектора до подпространства.

Предложение. Пусть Li = ai + Wi, i = 1, 2, аффинные подпространства с направляющими пространствами Wi. Тогда

ипоэтому

d(L1, L2) = inf {d(a1 + x1, a2 + x2) | xi Wi, i = 1, 2} =

=inf {d(a1 − a2, x2 − x1) | xi Wi, i = 1, 2} = d(a1 − a2, W1 + W2).

Обратимся теперь к задаче вычисления расстояния от вектора до подпространства.

Лемма. Расстояние от вектора x до подпространства V равно модулю вектора ortV x, причем единственным ближайшим к x вектором из V является prV x.

Доказательство. Пусть y = prV x и z = ortV x. Тогда x = y + z и для любого y′ V , y′ 6= y, имеем

d(x, y′) = |x − y′| = |(y + z) − y′| = |z + (y − y′)| =

p

= |z|2 + |y − y′|2 > |z| = |x − y| = d(x, y).

46

V

z

x

V

y′

0

y

Следующая теорема дает явную формулу для расстояния от вектора x до подпространства V , заданного произвольным базисом E = {e1, . . . , ek}.

Теорема (явная формула).

d(x, V ) 2 = det G(e1, . . . , ek, x). det G(e1, . . . , ek)

Доказательство. Согласно лемме, d(x, V ) = |z|, где z = ortV x. Так как

(ei, x) = (ei, y + z) = (ei, y), то

Используя равенство (x, x) = (y, y)+(z, z), мы можем представить (k+1)- й столбец матрицы G(e1, . . . , ek, x) в виде суммы двух стобцов:

47

и, в силу свойства линейности определителя,

det G(e1, . . . , ek, x) = det G(e1, . . . , ek, y) + (z, z) · det G(e1, . . . , ek).

Векторы e1, . . . , ek, y линейно зависимы. Поэтому det G(e1, . . . , ek, y) = 0, и мы получаем требуемое равенство

(z, z) · det G(e1, . . . , ek) = det G(e1, . . . , ek, x).

6Объем параллелепипеда

Полученная формула для расстояния от вектора до подпространства может быть применена к вычислению объема параллелепипеда.

Параллелепипедом, натянутым на векторы a1, . . . , an евклидова пространства, называется множество

Основанием этого n-мерного параллелепипеда называется (n−1)-мерный параллелепипед P (a1, . . . , an−1), а его высотой называется длина ортогональной составляющей вектора an относительно ha1, . . . , an−1i.

Определение 5. Объемом n-мерного параллелепипеда для n > 1 называется произведение объема его основания на высоту. Объемом одномерного параллелепипеда P (a) называется длина вектора a.

Объем параллелепипеда обозначается через vol P .

Теорема. vol P (a1, . . . , an) 2 = det G(a1, . . . , an).

Доказательство. (Индукция по n.) Равенство справедливо очевидным образом при n = 1. Пусть n > 1. Тогда, согласно определению,

vol P (a1, . . . , an) = vol P (a1, . . . , an−1) · h,

где h расстояние от an до подпространства ha1, . . . , an−1i. Используя индуктивное предположение и формулу для h, получаем

vol P (a1, . . . , an) 2 = det G(a1, . . . , an−1)·

· det G(a1, . . . , an−1, an) = det G(a1, . . . , an). det G(a1, . . . , an−1)

48

7Задача Сильвестра о коллинеарных точках

Напомним, что для векторных пространств, определенных над упорядоченными полями, справедлива теорема Кокстера: если n точек не лежат на одной прямой, то существует прямая, проходящая в точности через две из этих точек.

Разумеется, теорема Кокстера справедлива и для пространств над R, и, в частности, для евклидовых пространств. Но в последнем случае, пользуясь понятием расстояния, можно дать более наглядное доказательство теоремы.

Так как данное множество точек конечно, то найдутся такие три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, для которых расстояние от A до прямой BC минимально среди всех таких же расстояний для любых трех точек, не лежащих на одной прямой.

A

D O B C

Покажем, что прямая BC не содержит других точек множества. Предположим противное: пусть эта прямая содержит также точку D. Тогда по крайней мере две из трех точек B, C, D лежат по одну сторону от точки O проекции A на прямую BC. (Возможно, одна из этих точек совпадает с O.)

Пусть точки обозначены таким образом, что эти две точки B и C, причем точка B расположена ближе к точке O, чем C (или совпадает с O). Тогда расстояние от B до прямой AC меньше, чем AO, что противоречит выбору точек A, B, C.

Конечно, данное доказательство является менее строгим, чем то, которое мы получили ранее, но наглядность рассуждений делает новое доказательство более понятным.

Оставленные логические пробелы мы предлагаем заполнить в качестве упражнения.

Упражнение 29. Пусть L произвольное аффинное подпространство, a L, b / L и c (a, b). Доказать, что d(c, L) < d(b, L).

49

8Движения

Отображение A : E → E называется движением евклидова пространства E, если A сохраняет расстояние, т. е.

d(Ax, Ay) = d(x, y)

для любых x, y E.

В определении движения не требуется биективность отображения A; это свойство движения, как мы увидим в дальнейшем, следует из определения.

Пример 1 (параллельный перенос). Для произвольного a E определим отображение P : E → E следующим образом:

Px = x + a.

Это отображение P мы будем называть параллельным переносом (на вектор a). Очевидно, что P сохраняет расстояние и поэтому является движением.

Пример 2 (ортогональный оператор). Напомним, что ортогональный оператор изометрия ортогонального пространства, которым, в частности, является евклидово пространство. По определению, изометрия A: E → E есть обратимый линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение, т. е.

(Ax, Ay) = (x, y)

для любых x, y E. В этом случае A сохраняет длины векторов, т. е. |Ax| = |x|, и следовательно,

d(Ax, Ay) = |Ax − Ay| = |A(x − y)| = |x − y| = d(x, y).

Таким образом, ортогональный оператор сохраняет расстояния и, значит, является движением (с неподвижной точкой 0).

Очевидно, что композиция движений есть движение. Поэтому отображения вида

Bx = Ax + a,

где A ортогональный оператор, a произвольный фиксированный вектор, являются движениями. Оказывается, справедливо обратное утверждение.

50