Алгебра и геометрия, 2 семестр

Теорема. Любое движение евклидова пространства есть композиция ортогонального оператора и параллелельного переноса.

Доказательство. Пусть B движение евклидова пространства E и Ax = = Bx − B0. Отображение A, как композиция двух движений, является движением, причем A0 = 0. Покажем, что A ортогональный оператор, откуда и будет следовать заключение теоремы.

Доказательство ортогональности отображения A разобъем на ряд этапов:

Этап 1. |Ax| = |x|.

Доказательство. |Ax| = d(Ax, A0) = d(x, 0) = |x|.

Этап 2. (Ax, Ax) = (x, x).

Доказательство. |Ax| = |x| |Ax|2 = |x|2 (Ax, Ax) = (x, x).

Этап 3. (Ax, Ay) = (x, y).

Доказательство.

d(Ax, Ay) = d(x, y) |Ax − Ay| = |x − y|

(Ax − Ay, Ax − Ay) = (x − y, x − y)

(Ax, Ax) − 2(Ax, Ay) + (Ay, Ay) = (x, x) − 2(x, y) + (y, y)

(Ax, Ay) = (x, y).

Этап 4. A линейный оператор.

Доказательство. Покажем, что для любых x, y E и α, β R

A(αx + βy) = αAx + βAy.

Пусть b = A(αx + βy) − αAx − βAy. Тогда для любого z E

(b, Az) = (A(αx + βy) − αAx − βAy, Az) =

=(A(αx + βy), Az) − α(Ax, Az) − β(Ay, Az) =

=(αx + βy, z) − α(x, z) − β(y, z) = (0, z) = 0.

Следовательно, b Az для любого z E, и, в частности, b b. Значит, b = 0, и A линейный оператор.

51

Этап 5. A ортогональный оператор.

Доказательство. Из (1) вытекает, что Ker A = 0, и поэтому A обратимый линейный оператор. Учитывая то, что A сохраняет скалярное произведение, получаем: A ортогональный оператор.

Следствие. 1) Любое движение биекция.

2)Движение обратимое преобразование.

3)Отображение обратное к движению есть движение.

9Ортогональные операторы

Определение. Квадратная матрица A называется ортогональной, если AT A = E, т. е. матрица, транспонированная к A, является обратной к A.

Теорема. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Доказательство. Пусть E и E′ базисы пространства, S матрица перехода от E к E′, и G, G′ матрицы Грама базисов E и E′, соответственно. Матрицы G и G′ связаны между собой соотношением

G′ = ST GS.

Если E и E′ ортонормированные базисы, то G и G′ единичные матрицы, и следовательно, ST S = E.

Теорема. Для линейного оператора A евклидова пространства следующие условия эквивалентны:

1)A ортогональный оператор;

2)матрица оператора A в некотором ортонормированном базисе является ортогональной;

3)матрица оператора A в любом ортонормированном базисе является ортогональной.

52

Доказательство. (1) (3) Пусть A ортогональный оператор и E = {e1, . . . , en} произвольный ортонормированный базис. Так как

(2) (1) Пусть матрица оператора A в ортонормированном базисе E является ортогональной. Тогда для любых векторов x и y

(Ax, Ay) = (Ax)TE (Ay)E = (x)TE · (A)TE · (A)E · (y)E = (x)TE (y)E = (x, y).

Учитывая невырожденность оператора A, получаем: A ортогональный оператор.

Упражнение 30. Доказать, что

1)произведение ортогональных матриц ортогональная матрица;

2)ортогональная матрица обратима и обратная к ортогональной матрице также является ортогональной матрицей.

Упражнение 31. Для отображения A : E → E следующие условия эквивалентны:

1)A ортогональный оператор;

2)A сохраняет скалярное произведение, т. е. (Ax, Ay) = (x, y) для любых x, y E.

Упражнение 32. Для линейного оператора A: E → E следующие условия эквивалентны:

1)A ортогональный оператор;

2)A сохраняет длины векторов, т. е. |Ax| = |x| для любого x E;

3)A переводит некоторый ортонормированный базис в ортонормированный базис;

4)A переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Упражнение 33. Доказать, что

53

1)определитель ортогонального оператора равен 1 или −1;

2)любое собственное значение ортогонального оператора равно 1 или −1;

3)для любого ортогонального оператора A из A-инвариантности подпространства V следует A-инвариантность его ортогонального дополнения V .

Упражнение 34. Ортогональным отражением относительно подпространства называется отражение параллельно ортогональному дополнению.

Доказать, что

1)ортогональное отражение есть ортогональный оператор;

2)любые два вектора одинаковой длины можно переставить с помощью ортогонального отражения относительно некоторой гиперплоскости;

3)любой ортогональный оператор n-мерного пространства представим в виде произведения 6 n ортогональных отражений относительно гиперплоскостей.

10 Сопряженные операторы

Пусть A и B линейные операторы евклидова пространства E.

Определение. Оператор B называется сопряженным к A, если

(Ax, y) = (x, By)

для любых x, y E.

Заметим, что из симметричности скалярного произведения следует: если B сопряжен к A, то A сопряжен к B.

Теорема. Если A и B сопряжены, то для любого ортонормированного базиса матрица B есть транспонированная матрица A. И обратно, если в некотором ортонормированном базисе матрица B есть транспонированная матрица A, то A и B сопряжены.

54

Доказательство. Пусть E произвольный ортонормированный базис. Тогда

(Ax, y) = (x, By) (Ax)TE (y)E = (x)TE (By)E

(A)E (x)E T (y)E = (x)TE (B)E (y)E

(x)TE (A)TE (y)E = (x)TE (B)E (y)E (A)TE = (B)E .

Следствие. Для любого линейного оператора A существует единственный сопряженный к нему оператор, который будет обозначаться A .

Из свойств операции транспонирования вытекают

Свойства сопряжения.

1)(λA) = λA

2)(A + B) = A + B

3)(AB) = B A

4)A = A

Необходимо также отметить, что в произвольном базисе матрица A не обязательно является транспонированной к матрице A.

Теорема. Пусть E произвольный базис. Тогда

(A )E = G−1 (A)TE G,

где G матрица Грама базиса E.

Доказательство.

(Ax, y) = (x, A y) (Ax)TE G (y)E = (x)TE G (A y)E

(A)E (x)E T G (y)E = (x)TE G (A )E (y)E

(x)TE (A)TE G (y)E = (x)TE G (A )E (y)E

(A)TE G = G (A )E (A )E = G−1 (A)TE G.

55

11 Самосопряженные операторы

Определение. Оператор A евклидова пространства E называется самосопряженным, если A = A, т. е. если

(Ax, y) = (x, Ay)

для любых x, y E.

Из результатов раздела 10 следует

Теорема 1. Оператор A является самосопряженным матрица A в ортонормированном базисе является симметричной.

Основная цель данного раздела показать, что матрица самосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе имеет диагональный вид. Для доказательства этого утверждения нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения.

Теорема 2. Для любого линейного оператора A векторного пространства размерности > 1 над полем R найдется ненулевое A-инвариантное подпространство размерности 6 2.

Доказательство. Пусть f(x) R[x] произвольный аннулятор оператора A. Напомним, что, согласно основной теореме кольца C[x], любой многочлен из R[x] разлагается в произведение многочленов степени 6 2:

f = f1 · . . . · fn, deg fi 6 2.

Так как f(A) = f1(A) · . . . · fn(A) = 0, то среди сомножителей найдется

случае подпространство hv, Avi является A-инвариантным.

Таким образом, в обоих случаях заключение теоремы выполнено.

56

Для самосопряженных операторов мы можем улучшить теорему 2 следующим образом:

Теорема 3. Для любого самосопряженного оператора A ненулевого евклидова пространства найдется одномерное A-инвариантное подпространство.

Доказательство. Согласно теореме 2, найдется ненулевое A-инвариантное подпространство V размерности 6 2. Если dim V = 1, то заключение теоремы выполнено. Допустим, что dim V = 2. Так как ограничение оператора A на V есть самосопряженный оператор пространства V , то матрица A оператора A|V в ортонормированном базисе пространства V является симметричной:

Характеристический многочлен матрицы A имеет вид

f(λ) = λ2 − (a + c)λ + ac − b2,

иего дискриминант, равный (a−c)2 +4b2, неотрицателен. Значит, уравнение f(λ) = 0 имеет действительные корни, что, в свою очередь, означает существование собственных векторов в пространстве V у оператора A|V ,

иследовательно, у оператора A.

Очевидно, что подпространство, порожденное любым собственным вектором, и будет искомым одномерным A-инвариантным подпространством.

Теорема 4. Ортогональное дополнение к A-инвариантному подпространству также A-инвариантно для любого самосопряженного оператора A.

Доказательство. Пусть V произвольное A-инвариантное подпространство и x V . Тогда для любого y V

(Ax, y) = (x, Ay) = 0,

из чего следует, что Ax V , т. е. V A-инвариантное подпространство.

Теорема 5. Для любого самосопряженного оператора A ненулевого евклидова пространства E существует ортонормированный базис пространства E, состоящий из собственных векторов оператора A.

57

Доказательство. (Индукцией по dim E.)

База индукции: dim E = 1. Очевидно.

Шаг индукции: Пусть dim E = n > 1 и для пространств размерности < n заключение теоремы справедливо.

Воспользовавшись теоремой 3, выберем в E собственный вектор x оператора A и рассмотрим его ортогональное дополнение V = x . Понятно, что dim V = n − 1 и, согласно теореме 4, подпространство V A- инвариантно. Так как ограничение оператора A на V является самосопряженным оператором V , то, в силу индуктивного предположения, пространство V имеет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A. Добавив к этому базису V вектор x, мы получим ортонормированный базис всего пространства E, состоящий из собственных векторов оператора A.

Теорема 5 имеет простую матричную интерпретацию.

Следствие. Для любой симметричной матрицы A найдётся такая ортогональная матрица B, что B−1AB диагональная матрица.

Упражнение 35. Пусть A самосопряженный оператор пространства E. Доказать:

1)E = Ker A Im A;

2)Ker A Im A;

3)Ker A = Ker A2;

4)Im A = Im A2;

5)собственные векторы оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Упражнение 36. Пусть A произвольный линейный оператор евклидова пространства. Доказать, что

1)A A самосопряженный оператор;

2)все собственные значения оператора A A неотрицательны;

3)существует такой самосопряженный оператор B, что B2 = A A.

Упражнение 37. Пусть A самосопряженный и B произвольный операторы евклидова пространства, причем A2B = 0. Доказать, что

AB = 0.

58

12Положительно определенные самосопряженные операторы

Определение. Самосопряженный оператор евклидова пространства называется положительно определенным, если все его собственные значения положительны.

В упражнении 36 предлагалось доказать, что A A самосопряженный оператор для произвольного линейного оператора A евклидова пространства. Пользуясь новым понятием положительной определенности, мы можем переформулировать это утверждение, в случае обратимого оператора A, следующим образом:

Теорема 1. Для любого обратимого линейного оператора A евклидова пространства оператор A A является положительно определенным

самосопряженным оператором.

Доказательство. Самосопряженность оператора A A следует из равенств

(A Ax, y) = (Ax, Ay) = (x, A Ay).

Покажем теперь, что A A положительно определенный оператор.

Пусть x собственный вектор оператора A A и A Ax = λx. Тогда, с

одной стороны,

(A Ax, x) = (λx, x) = λ(x, x),

и, с другой,

(A Ax, x) = (Ax, Ax).

Значит, λ(x, x) = (Ax, Ax) и λ > 0.

Далее нам потребуется одно свойство положительно определенных самосопряженных операторов.

Теорема 2. Для любого положительно определенного самосопряженного оператора B найдется единственный положительно определенный самосопряженный оператор C, квадрат которого равен B, т. е. C2 = B.

Доказательство. Пусть λ1, . . . , λk все различные собственные значе-

59

линейный оператор C, действующий на Vi как умножение на µi, удовлетворяет всем условиям теоремы. Действительно, C2 = B и C положительно определенный самосопряженный оператор, так как его матрица в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов оператора B, диагональна с положительными диагональными элементами.

Покажем теперь единственность. Пусть C2 = B, C положительно определенный самосопряженный оператор, µ1, . . . , µk все его различные собственные значения и W1, . . . , Wk соответствующие собственные подпространства. Тогда оператор B действует на Wi как умножение на µ2i . Следовательно, при подходящей нумерации µ2i = λi и Wi = Vi. Это показывает, что оператор C определен однозначно.

13 Полярное и сингулярное разложения

Оказывается, любой линейный оператор евклидова пространства представим в виде произведения ортогонального и самосопряженного оператора. В случае обратимого линейного оператора мы можем усилить это утверждение следующим образом:

Теорема (о полярном разложении). Любой обратимый линейный опера-

тор евклидова пространства единственным образом представим в виде произведения ортогонального и положительно определенного самосопряженного операторов.

Доказательство. Мы проведём доказательство теоремы на матричном языке, понимая, что первоначальное освоение новых понятий легче проходит в координатной форме изложения.

На матричном языке теорема может быть переформулирована следующим образом:

Для любой невырожденной квадратной матрицы A система матрич-

ных уравнений

A = XY

XT X = EY T = Y

имеет решение, причем это решение X и Y единственно, если допол-

нительно потребовать положительность всех собственных значений искомой матрицы Y .

60