Алгебра и геометрия, 2 семестр

Кратко полученный критерий изометричности формулируют так:

Критерий изометричности пространств: пространства изометричны тогда и только тогда, когда матрицы их скалярных произведений эквивалентны.

Можно также переформулировать этот критерий в терминах эквивалентности:

Критерий эквивалентности скалярных произведений: скалярные произведения эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы эквивалентны.

Аналогично можно сформулировать и критерий подобия пространств: пространства (V, f) и (W, g) подобны тогда и только тогда, когда для некоторой невырожденной матрицы S справедливо равенство

G = λ(ST GSθ),

где λ F . Матрицы G и G , удовлетворяющие данному условию, мы будем, как и сами пространства называть подобными. Воспользовавшись понятием подобных матриц, мы может кратко сформулировать критерии подобия следующим образом:

Критерий подобия пространств: пространства подобны тогда и только тогда, когда матрицы их скалярных произведений подобны.

Критерий подобия скалярных произведений: скалярные произведения подобны тогда и только тогда, когда их матрицы подобны.

Итак, проблема классификации всех пространств со скалярным произведением свелась с помощью координатизации этих произведений к проблеме классификации матриц скалярных произведений с точностью до эквивалентности.

Упражнение 18. Доказать, что матрица любого незнакопеременного скалярного произведения эквивалентна некоторой диагональной матрице.

7Проблема эквивалентности скалярных произведений

Под проблемой эквивалентности скалярных произведений обычно понимают нахождение простых необходимых и достаточных условий, при которых данные скалярные произведения или их матрицы эквивалентны. С проблемой эквивалентности тесно связана проблема классификации, с точностью до эквивалентности, всех скалярных произведений.

31

Прежде всего, необходимо отметить, что проблема эквивалентности скалярных произведений легко сводится к проблеме эквивалентности невырожденных скалярных произведений. Действительно, выберем в пространствах (V, f) и (W, g) произвольные прямые дополнения к радикалам

V = Rad(V ) V ′ и W = Rad(W ) W ′.

Очевидно, что V ′ и W ′ невырожденные пространства, причем f и g однозначно восстанавливаются на V и W с помощью их значений на V ′ и W ′ соответственно. Отсюда следует утверждение, которое предлагается доказать самостоятельно.

Упражнение 19. Пространства (V, f) и (W, g) изометричны тогда и только тогда, когда dim V = dim W и пространства (V ′, f) и (W ′, g) изометричны.

Простым необходимым условием изометричности пространств (V ′, f) и (W ′, g) является условие равенства их размерностей. В свою очередь, размерности V ′ и W ′ легко находятся, если известны матрицы f и g в некоторых базисах.

Упражнение 20. Показать, что размерность прямого дополнения V ′ к Rad(V ) в пространстве (V, f) равна рангу матрицы скалярного произведения f.

В дальнейшем ранг матрицы скалярного произведения мы будем называть рангом скалярного произведения, а необходимое условие эквивалентности формулировать следующим образом: эквивалентные скаляр-

ные произведения имеют равные ранги.

Перейдем теперь к рассмотрению невырожденных пространств. В этом случае проблема эквивалентности полностью решена лишь для знакопеременных произведений, т. е. для симплектических пространств.

Теорема (об изометричности симплектических пространств). Матрица невырожденного знакопеременного скалярного произведения f в некото-

ром базисе E имеет клеточно-диагональный вид

(В дальнейшем базис E будем называть гиперболическим, если (f)E имеет указанный в теореме вид.)

32

Доказательство. Возьмем произвольное разложение V в ортогональную сумму гиперболических плоскостей:

V = V1 . . . Vk.

Каждая плоскость Vi порождается гиперболической парой, состоящей из двух неортогональных изотропных векторов xi, yi, т. е.

f(xi, xi) = f(yi, yi) = 0 и f(xi, yi) 6= 0.

Более того, можно считать, что f(xi, yi) = 1, заменив в случае необ-

ходимости вектор yi на вектор 1 · yi. Понятно, что упорядоченное

f(xI,yI)

объединение всех таких гиперболических пар и дает нам требуемый гиперболический базис.

Следствие 1. Ранг произвольного знакопеременного скалярного произведения четен.

Следствие 2. Знакопеременные невырожденные скалярные произведения, имеющие одинаковый ранг, эквивалентны.

Следствие 3. Симплектические пространства имеют четную размерность, причем пространства одинаковой размерности изометричны.

Что касается незнакопеременных скалярных произведений, то в этом случае можно утверждать, что матрица скалярного произведения эквивалентна диагональной матрице, и значит, в некотором базисе скалярное произведение можно вычислять по формуле

f(x, y) = λ1x1y1θ + . . . + λnxnynθ ,

где θ автоморфизм поля F , входящий в определение f.

Этот факт следует из существования ортогонального базиса в ортопространствах, содержащих хотя бы один неизотропный вектор. Но дальнейший анализ проблемы эквивалентности диагональных матриц существенно зависит от свойств поля, над которым определены данные незнакопеременные произведения. Среди результатов общего характера отметим лишь два, для формулировки которых нам потребуются новые понятия.

Определение 1. Ортогональный базис E = {e1, . . . , en} пространства (V, f) будем называть ортонормированным, если f(ei, ei) = 1, i = 1, . . . , n.

Очевидно, базис E ортонормирован тогда и только тогда, когда (f)E единичная матрица.

33

Определение 2. Элемент λ из поля F будем называть неподвижным относительно автоморфизма θ поля F , если λθ = λ. Множество всех неподвижных относительно θ элементов из F образует подполе в F , которое мы будем обозначать через Fix(θ).

Заметим, что для эрмитова скалярного произведения f и любого вектора x f(x, x) = f(x, x)θ. Значит f(x, x) Fix(θ).

Теорема 1. Пусть (V, f) унитарное пространство с эрмитовым относительно автоморфизма θ скалярным произведением f, причем

Fix(θ) = λλθ | λ F . Тогда (V, f) имеет ортонормированный базис. В

частности, все скалярные произведения указанного типа эквивалентны.

Теорема 2. Пусть (V, f) ортогональное пространство над полем F , причем char F 6= 2 и F = {λ2 | λ F }. Тогда (V, f) имеет ортонорми-

рованный базис. В частности, все невырожденные симметричные скалярные произведения на V эквивалентны.

Доказательство. Объеденим доказательства теорем 1 и 2 в одно, считая θ = 1 в случае теоремы 2.

Пусть E = {e1, . . . , en} ортогональный базис V . В силу невырожден-

ности f, f(ei, ei) 6= 0 и f(ei, ei) Fix(θ) для любого i. Согласно условиям теорем, найдутся такие λi F , что

и следовательно, f(λiei, λiei) = 1 для любого i. Значит, базис E′ = {λ1e1, . . . , λnen} ортонормирован.

В случае поля R проблема эквивалентности имеет полное решение. Вопервых, из анализа знакопеременных произведений следует, что мы можем ограничиться незнакопеременными произведениями. Во-вторых, поле R не имеет инволютивных автоморфизмов, и поэтому любое незнакопеременное произведение над R является симметричным.

Итак, пусть V вещественное векторное пространство и f симметричное скалярное произведение на V . Выберем произвольный ортого-

любого i

f(ei, ei) {−1, 0, 1} .

34

Таким образом, после подходящей перестановки базисных векторов, получаем

или, в координатах,

f(x, y) = (x1y1 + . . . + xkyk) − (xk+1yk+1 + . . . + xk+lyk+l).

Нетрудно понять, что все изотропные векторы из ортогонального базиса образуют базис радикала Rad(V ). Значит, dim Rad(V ) = n − (k + l), и число k + l не зависит от выбора ортогонального базиса.

Покажем теперь, что и числа k, l не зависят от выбора базиса. С этой целью введем новое понятие:

Определение 3. Симметричное скалярное произведение f называется

положительно определенным, если f(x, x) > 0 для любого ненулевого x V .

Очевидно, что скалярное произведение f положительно определено на

k-мерном подпространстве he1, . . . , eki, т. к. f(ei, ei) = 1, i = 1, . . . , k. Пусть теперь U произвольное подпространство, на котором f также положительно определено, и W = hek+1, . . . , eni. Так как f(x, x) 6 0 для любого x W , то U ∩ W = 0 и dim U 6 codim W = k. Значит, число k равно максимальной размерности подпространства из V , на котором f положительно определено. Отсюда следует, что k, а следовательно и l, не зависят от выбора ортогонального базиса. Эти числа называются

положительным и отрицательным индексами инерции симметричного скалярного произведения f, а пара (k, l) называется сигнатурой f.

Таким образом, справедлива

Теорема (закон инерции). Симметричные скалярные произведения, опре-

деленные на вещественном векторном пространстве, эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют равные положительные и отрицательные индексы инерции.

Упражнение 21. Доказать, что R не имеет инволютивных автоморфизмов.

Упражнение 22. Найти число различных, с точностью до эквивалентности (с точностью до подобия), скалярных произведений, которые можно определить на n-мерном вещественном пространстве.

35

Упражнение 23. Найти сигнатуру вещественного симметричного скалярного произведения, матрица которого в некотором базисе имеет вид

Упражнение 24. Привести пример упорядоченного поля, обладающе-

го инволютивным автоморфизмом. (Указание: рассмотреть поле F =

√

= a + 2b | a, b Q .)

8Положительно определенные скалярные произведения

Напомним, что симметричное скалярное произведение f вещественного векторного пространства V называется положительно определенным, если f(x, x) > 0 для любого ненулевого x V .

Очевидно, условие положительной определенности f равносильно тому, что пространство V имеет ортонормированный базис, т. е. такой базис E, в котором матрица f является единичной. Другими словами, в базисе E произведение f вычисляется по простой формуле

f(x, y) = x1y1 + . . . + xnyn,

где (x)E = (x1, . . . , xn)T и (y)E = (y1, . . . , yn)T . Понятно, что в другом базисе матрица f может быть и неединичной, а значит, f вычисляется

более сложным способом.

Втом случае, когда нам дана матрица симметричного скалярного произведения f не в ортогональном базисе, не всегда легко увидеть, является ли f положительно определенным или нет. Отсюда возникает потребность в простом способе, с помощью которого мы могли бы выяснять, является ли f положительно определенным или нет. Для изложения такого способа, называемого критерием Сильвестра, нам далее потребуется ряд вспомогательных утверждений.

Вотличие от определителя матрицы оператора, который не зависит от выбора базиса, определитель матрицы скалярного произведения зависит

36

от его выбора. Но в случае симметричного скалярного произведения из

равенства

G′ = ST GS

следует, что

det G′ = det ST · det G · det S = det G · (det S)2,

и поэтому справедлива

Лемма 1. Знак определителя матрицы симметричного скалярного произведения не зависит от выбора базиса.

Заметим также, что определитель матрицы симметричного положительно определенного скалярного произведения в ортогональном базисе положителен. Поэтому из леммы 1 вытекает

Лемма 2. Определитель матрицы симметричного положительно определенного скалярного произведения > 0 для любого базиса.

Обратное, конечно, неверно. Но, согласно лемме 1, справедлива

Лемма 3. Если определитель матрицы симметричного скалярного произведения > 0, то его отрицательный индекс инерции четное число.

Кроме лемм 1–3, используемых в доказательстве критерия Сильвестра, для формулировки самого критерия нам потребуются следующие обозначения и понятия:

Пусть f симметричное скалярное произведение на вещественном про-

странстве V , E = {e1, . . . , en} базис V и G = (f)E матрица f в базисе E. Положим для i = 1, . . . , n

Ei = {e1, . . . , ei} ,

Vi = he1, . . . , eii,

fi(x, y) ограничение f(x, y) на Vi,

Gi матрица fi(x, y) в базисе Ei.

Понятно, что Gi подматрицы G, образованные первыми i строками и i столбцами. Определители матриц Gi будем называть угловыми минорами матрицы G.

37

Теорема (критерий Сильвестра). Произведение f положительно определено тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы G

положительны.

Доказательство. Если f положительно определено на V , то все fi положительно определены на Vi и, согласно лемме 2, det Gi > 0.

Обратное утверждение докажем индукцией по n = dim V .

База индукции: n = 1. Очевидно.

Шаг индукции: Пусть n > 1 и для размерности n − 1 теорема справедлива. Тогда fn−1 положительно определено на Vn−1 = he1, . . . , en−1i, и поэтому размерность любого подпространства из V , на котором f(x, x) 6 0 не превосходит 1. Учитывая лемму 3, получаем: отрицательный индекс инерции f равен 0, и значит, f положительно определено на V .

Упражнение 25. С помощью критерия Сильвестра выяснить, какие из скалярных произведений являются положительно определенными, если их матрицы в некоторых базисах имеют вид:

Упражнение 26. Показать, что для положительной определенности симметричного скалярного произведения необходима, но не достаточна, положительность всех диагональных элементов его матрицы в некотором базисе.

38

Евклидова геометрия

1Понятие евклидова пространства

Начиная с этй лекции, мы будем рассматривать конечномерные вещественные пространства, на которых определено положительно определенное симметричное скалярное произведение. Такие пространства имеют специальное название:

Определение 1. Конечномерное векторное пространство E над полем R называется евклидовым пространством, если на E определено симметричное положительно определенное скалярное произведение f : E × E →

→ R.

Обычно используется упрощенная запись (x, y) для фиксированного скалярного произведения f(x, y). Приведем еще раз все свойства скалярного произведения в евклидовых пространствах в новых обозначениях:

1)(x, y) = (y, x),

2)(x + y, z) = (x, z) + (y, z),

3)(λx, y) = λ(x, y),

4)(x, x) > 0 для любого x 6= 0.

Ясно, что все утверждения, доказанные ранее для произвольных скалярных произведений, остаются в силе и для евклидовых пространств. Напомним, что для произвольного базиса E = {e1, . . . , en} пространства

E

Матрицу G в случае евклидова пространства называют не матрицей скалярного произведения в базисе E, а матрицей Грама базиса E. Изменение терминологии вызвано следующим обобщением понятия матрицы скалярного произведения.

39

называется матрицей Грама системы векторов {a1, . . . , ak}.

Теорема 1. Для любых векторов a1, . . . , ak евклидова пространства

справедливо неравенство

det G(a1, . . . , ak) > 0,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы a1, . . . , ak линейно зависимы.

Доказательство. Если векторы a1, . . . , ak линейно независимы, то они образуют базис пространства ha1, . . . , aki, матрица Грама которого имеет положительный определитель.

линейная комбинация строк матрицы G a , . . . , a с коэффициентами λ1, . . . , λk равна 0. Поэтому в случае линейной зависимости векторов a1, . . . , ak их определитель Грама равен 0.

В случае k = 2 определитель матрицы Грама имеет вид

Поэтому из теоремы 1 вытекает

Следствие. Для любых x, y E

(x, y)2 6 (x, x)(y, y),

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x и y ли-

нейно зависимы.

Полученное неравенство называется неравенством Коши Буняковского. Далее мы укажем и другие формы записи этого неравенства.

40