Алгебра и геометрия, 2 семестр

Доказательство. С помощью данного в условии теоремы скалярного произведения f определим новое отображение g : V × V → F следу-

ющим образом:

g(x, y) = f(y, x)θ−1 .

Нетрудно увидеть, что отображение g является полуторалинейной формой по отношению к θ−1. Действительно,

g(x + y, z) = f(z, x + y)θ−1 = (f(z, x) + f(z, y))θ−1 =

=f(z, x)θ−1 + f(z, y)θ−1 = g(x, z) + g(y, z); g(x, y + z) = f(y + z, x)θ−1 = (f(y, x) + f(z, x))θ−1 =

=f(y, x)θ−1 + f(z, x)θ−1 = g(x, y) + g(x, z);

Более того, очевидно, что g(x, y) = 0 f(y, x) = 0. Следовательно, g скалярное произведение, индуцирующее на V то же самое отношение ортогональности, что и скалярное произведение f.

В этом случае найдется такое ненулевое λ F, что

g(x, y) = λf(x, y)

для любых x, y V , и поэтому

f(x, y)θ−1 = λf(y, x) f(y, x)θ−1 = λf(x, y)

Положив α = f(x, y) и β = f(y, x), мы получаем

Заметим, что α = f(x, y) может принимать любое значение из F . Взяв

α = 1, мы получаем из последнего равенства λλθ = 1 и, следовательно,

αθ−1 = αθ, или α = αθ2 .

Таким образом, θ2 = 1, и если θ не является тождественным автоморфизмом, то справедлив случай A.

Если θ = 1, то λ2 = 1 λ = ±1, и поэтому выполнен один из случаев B или C.

21

Упражнение 12. 1) Очевидно, что если char F = 2, то условия симметричности B и C совпадают. Доказать обратное, т. е. если нетривиальное скалярное произведение удовлетворяет двум различным условиям симметричности из A, B и C, то char F = 2 и выполнено условие симметричности B = С.

2)Пусть скалярное произведение f индуцирует на пространстве V отношение ортогональности, относительно которого все векторы из V изотропны. Доказать, что f удовлетворяет условию C.

2Эрмитовы скалярные произведения

В этом разделе лекции мы займемся анализом условия симметричности А. Условие А выглядит достаточно громоздким, и, в первую очередь, это связано с наличием в условии А некоторой ненулевой константы λ. Наша ближайшая цель избавиться от константы λ в условии А, и поможет нам в этом

Лемма. Пусть θ инволютивный автоморфизм поля F и λ такой элемент из F , что λλθ = 1. Тогда, для некоторого µ F , λ = µ−1µθ.

Доказательство. Напомним сначала, что инволютивность автоморфизма θ означает θ 6= 1 и θ2 = 1.

Допустим, что для любого α F

α + αθλθ = 0.

Полагая в этом равенстве α = 1, мы получаем 1 + λθ = 0 или λθ = −1. Но тогда α+ αθ ·(−1) = 0, или αθ = α для любого α F , что невозможно по условию леммы.

Значит для некоторого α F

α + αθλθ = µ 6= 0.

Умножая данное равенство на λ, получаем

(α + αθλθ)λ = µλ αλ + αθλθλ = µλ αλ + αθ = µλ.

Но αλ + αθ = (αθλθ + α)θ = µθ, откуда и следует требуемое равенство

µθ = µλ.

22

Пусть теперь f произвольное скалярное произведение, удовлетворяющее условию А, т. е.

f(x, y) = λf(y, x)θ

для любых x, y V и некоторого фиксированного λ F , удовлетворяющего равенству λλθ = 1. Согласно лемме, найдется такое µ F , что λ = µ−1µθ. Положим

g(x, y) = µf(x, y).

Очевидно, что новое скалярное произведение g индуцирует то же самое отношение ортогональности на V , что и f, причем,

g(x, y) = µf(x, y) = µλf(y, x)θ = µµ−1µθf(y, x)θ = (µf(y, x))θ,

или

g(x, y) = g(y, x)θ.

Полученное равенство называется эрмитовой симметричностью. Далее скалярное произведение будем называть эрмитово симметричным, или просто эрмитовым, если выполнено условие эрмитовой симметричности.

Таким образом, эрмитово скалярное произведение это отображение

g: V × V → F , удовлетворяющее свойствам

1)g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z),

2)g(λx, y) = λg(x, y),

3)g(x, y + z) = g(x, y) + g(x, z),

4)g(x, λy) = λθg(x, y),

5)g(x, y) = g(y, x)θ,

где θ фиксированный инволютивный автоморфизм поля F .

Невырожденное ортопространство V , на котором отношение ортогональности индуцируется эрмитовым скалярным произведением g, будем называть пространством унитарного типа, а пару (V, g) унитарным пространством. Итак, унитарное пространство это пространство с фиксированным эрмитовым невырожденным скалярным произведением.

Пользуясь новой терминологией, мы можем сказать, что в случае А пространство V будет унитарного типа.

Упражнение 13. Доказать, что свойства 3 и 4 эрмитова скалярного произведения следуют из свойств 1, 2 и 5.

23

3Симметричные скалярные произведения

Обратимся теперь к условию В. Скалярное произведение f, удовлетворяющее этому условию, называется симметричным. Еще раз приведем все свойства, которым удовлетворяет отображение f : V × V → F являющееся симметричным скалярным произведением:

1)f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z),

2)f(λx, y) = λf(x, y),

3)f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z),

4)f(x, λy) = λf(x, y),

5)f(x, y) = f(y, x).

Очевидно, что свойства 3 и 4 следуют из свойств 1, 2, 5. Отображение f, обладающее первыми четырьмя свойствами 1–4, называют билинейной формой на V , поэтому симметричное скалярное произведение можно также называть симметричной билинейной формой.

Если char F 6= 2, то невырожденное ортопространство V , на котором отношение ортогональности индуцируется симметричным скалярным произведением f, будем называть пространством ортогонального типа, а пару (V, f) ортогональным пространством. Таким образом, ортогональное пространство (в случае char F 6= 2!) это пространство с фиксированным невырожденным симметричным скалярным произведением.

В случае char F = 2 определение ортогональных пространств дается более сложное. Некоторое объяснение этому факту будет дано в дальнейшем, когда будут изучаться квадратичные формы на векторном пространстве и их связи со скалярными произведениями.

Упражнение 14. Пусть V векторное пространство над полем F характеристики 2 и f произвольное симметричное скалярное произведение на V . Доказать, что множество W всех изотропных векторов из V образует подпространство в V , причем codim W 6 1 в случае конечного поля F .

24

4Кососимметричные и знакопеременные скалярные произведения

Условие С полученной трихотомии скалярных произведений называется кососимметричностью, поэтому скалярное произведение f в этом случае называют кососимметричным, или кососимметричной билинейной формой на V .

Полный перечень свойств, которым удовлетворяет отображение f : V × V → F , являющееся кососимметричным скалярным произведением, выглядит следующим образом:

1)f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z),

2)f(λx, y) = λf(x, y),

3)f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z),

4)f(x, λy) = λf(x, y),

5)f(x, y) = −f(y, x).

Как и в случае других скалярных произведений, свойства 3 и 4 следуют из свойств 1, 2, 5.

Заметим, что условия симметричности и кососимметричности в случае char F = 2 совпадают, а в случае char F 6= 2 условие кососимметричности 5 совпадает с условием

6) f(x, x) = 0 для любого x V .

Условие 6 называют знакопеременным, а скалярное произведение, удовлетворяющее этому условию, называют знакопеременным скалярным произведением.

Очевидно, на языке отношения ортогональности условие 6 означает изотропность каждого вектора ортопространства. Такие невырожденные пространства мы назвали ранее пространствами симплектического типа. Сохраним введенную ранее терминологию и для пространств со скалярным произведением. Невырожденное ортопространство V , на котором отношение ортогональности индуцируется знакопеременным скалярным произведением f, будем называть пространством симплектического типа, а пару (V, f) симплектическим пространством. Таким образом, симплектическое пространство это пространство с фиксированным невырожденным знакопеременным произведением.

25

Упражнение 15. 1) Доказать, что любое знакопеременное скалярное произведение является кососимметричным.

2)Доказать, что любое кососимметричное скалярное произведение над полем характеристики 6= 2 является знакопеременным.

3)Привести пример кососимметричного, но не знакопеременного скалярного произведения.

Пользуясь введенной терминологией, мы можем в случае char F 6= 2 переформулировать трихотомию следующим образом:

Теорема. Пусть V невырожденное ортопространство размерности > 2 над полем F характеристики 6= 2, в котором отношение ортого-

нальности индуцируется некоторым скалярным произведением. Тогда V пространство унитарного, ортогонального или симплектического

типа.

Следствие. Любое невырожденное ортопространство размерности > 3 над полем характеристики 6= 2 является пространством унитарного,

ортогонального или симплектического типа.

5Изометрии и подобия пространств

В этом разделе мы введем два новых понятия, с помощью которых мы будем сравнивать между собой пространства со скалярными произведениями.

Пусть (V, f) и (W, g) векторные пространства над полем F с определенными на них скалярными произведениями f и g. Изоморфизм A : V → → W будем называть подобием пространств (V, f) и (W, g), если для некоторого ненулевого λ F

g(Ax, Ay) = λf(x, y)

для любых x, y V .

В случае λ = 1, т. е.

g(Ax, Ay) = f(x, y)

для любых x, y V , изоморфизм A будем называть изометрией.

Пространства (V, f) и (W, g) будем называть подобными, если существует подобие A : V → W . Сами скалярные произведения f и g в этом случае мы также будем называть подобными скалярными произведениями.

26

Пространства (V, f) и (W, g) будем называть изометричными, если существует изометрия A : V → W . Скалярные произведения f и g у изометричных пространств мы будем называть не изометричными, а эквивалентными скалярными произведениями.

Подобие пространства (V, f) на себя называется просто подобием пространства (V, f), а изометрия пространства (V, f) на себя изометрией пространства (V, f).

Упражнение 16. Пусть V пространство со скалярным произведением f. Доказать, что

1)любая гомотетия пространства V есть подобие пространства (V, f)

2)множество всех подобий пространства (V, f) образует подгруппу в группе GL (V ) всех обратимых линейных операторов пространства

V .

Замечание. Эту подгруппу мы будем называть группой подобий пространства (V, f) и обозначать через Sim(V, f,).

3)множество всех изометрий пространства (V, f) образует подгруппу в Sim(V, f,).

Замечание. Эту подгруппу мы будем называть группой изометрий пространства (V, f) и обозначать через Isom(V, f,).

В зависимости от типа скалярного произведения f изометрии пространства (V, f), а также группы изометрий Isom(V, f,) имеют свои названия. Так, изометрии унитарного, ортогонального и симплектического пространств называются, соответственно, унитарными, ортогональными и симплектическими операторами, а группы изометрий этих пространств унитарной, ортогональной и симплектической группами. Эти группы имеют специальные обозначения:

U(V, f) унитарная группа, O(V, f) ортогональная группа,

Sp(V, f) симплектическая группа.

Указанные три класса групп изометрий вместе с группой GL (V ) называются классическими группами.

Замечание. В случае char F = 2 к указанным классическим группам добавляется новая серия ортогональных групп, которые в этом случае имеют другое определение.

27

Упражнение 17. Пусть (V, ) произвольное невырожденное ортопространство. Подобием пространства (V, ) будем называть любой линейный оператор A: V → V , для которого

x y Ax Ay.

Доказать, что

1)подобие ортопространства обратимый оператор;

2)множество всех подобий (V, ) образует подгруппу в GL (V ).

Если dim V > 3, то отношение индуцируется некоторым скалярным произведением f. В этом случае подобие A ортопространства (V, ) есть подобие пространства (V, f), и следовательно,

f(Ax, Ay) = λf(x, y)

для некоторого λ 6= 0. Доказать, что

3)λ не зависит от выбора скалярного произведения f (в дальнейшем этот множитель λ мы будем называть модулем подобия A и обозначать через mod A);

4)модуль произведения подобий равен произведению модулей сомножителей.

5)Очевидно, модуль тождественного оператора равен 1. Найти модуль гомотетии пространств унитарного, ортогонального и симплектического типов.

6Матрица скалярного произведения

С помощью понятий подобия и эквивалентности, введенных в предыдущем разделе, мы можем сейчас сравнивать между собой различные скалярные произведения. Однако, для более детальной классификации скалярных произведений нам не хватает эффективного способа их определения. В этом разделе лекции мы обратимся к проблеме задания скалярного произведения на векторном пространстве. Метод координатизации, который мы будем использовать для решения поставленной проблемы, применим не только для скалярных произведений, т. е. рефлексивных полуторалинейных форм, но и для произвольной полуторалинейной формы.

28

Итак, пусть V векторное пространство размерности n над полем F , E = {e1, . . . , en} базис V , θ автоморфизм поля F и f произвольная полуторалинейная по отношению к θ форма на пространстве V .

Из определения полуторалинейной формы следует, что, зная значения f(ei, ej ) для любой пары базисных векторов ei и ej , мы можем вычислить значение f(x, y) для любых x, y V . Действительно, пусть

x = x1e1 + . . . + xnen

и

y = y1e1 + . . . + ynen.

Матрицу G в дальнейшем мы будем называть матрицей полуторалинейной формы f в базисе E, и писать (f)E = G.

Используя матричные обозначения, мы можем значение f(x, y) записать в следующем виде:

f(x, y) = (x)TE G (y)θE или f(x, y) = (x)TE (f)E (y)θE .

Здесь через (y)θE обозначен столбец (y1θ, . . . , ynθ )T .

Обратно, беря в качестве G произвольную квадратную матрицу порядка n и определяя значение f(x, y) по приведенной выше формуле, мы получим полуторалинейную по отношению к θ форму на V . Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех полуторалинейных по отношению к θ форм на V и множеством всех квадратных матриц порядка n:

f ←→ (f)E = G.

Понятно также, что указанное соответствие зависит от выбора базиса E.

Первый вопрос, который возникает у нас при анализе этого соответствия, это вопрос о связи между матрицами полуторалинейной формы f в различных базисах. Предположим, что в пространстве V выбран еще один базис E′, и пусть S матрица перехода от E к E′, т. е. матрица, столбцами которой являются координатные столбцы векторов из базиса E′ в

29

базисе E. Напомним, что координаты произвольного вектора v V в базисах E и E′ связаны между собой формулой

(v)E = S (v)E′ .

Пусть теперь (f)E′ = G′ матрица f в базисе E′. Тогда

f(x, y) = (x)TE G (y)θE = (S (x)E′ )T G(S (y)E′ )θ =

=(x)TE′ ST GSθ (y)θE′ = (x)TE′ G′ (y)θE′ .

Отсюда следует, что

G′ = ST GSθ.

(Здесь Sθ = (Sijθ ).)

Обратимся теперь к интерпретации понятия изометричности пространств со скалярным произведением в терминах матриц этих скалярных произведений.

Пусть A : V → W есть изометрия пространства (V, f) на пространство (W, g) и E = {e1, . . . , en} произвольный базис V . Тогда B =

= {w1 = Ae1, . . . , wn = Aen} является базисом W , причем, f(ei, ej ) = = g(wi, wj ), и следовательно, матрицы f и g (в базисах E и B соответ-

ственно) совпадают.

Обратно, если матрицы f и g (в некоторых базисах E = {e1, . . . , en} и B = {w1, . . . , wn} соответственно) совпадают, то, полагая

Aei = wi, i = 1, . . . , n,

мы получаем изоморфизм A : V → W , который является изометрией. Таким образом, пространства (V, f) и (W, g) изометричны в том и только том случае, когда матрицы f и g в некоторых базисах совпадают.

Воспользовавшись формулой, связывающей матрицы одного скалярного произведения в разных базисах, мы можем матричный критерий изометричности переформулировать следующим образом:

Пусть G = (f)E и G = (g)B матрицы f и g в базисах E и B соответственно. Пространства (V, f) и (W, g) изометричны тогда и только тогда,

когда для некоторой невырожденной матрицы S справедливо равенство

G = ST GSθ.

Матрицы G и G, удовлетворяющие данному условию, мы будем, как и сами скалярные произведения, называть эквивалентными.

30