Алгебра и геометрия, 2 семестр

Замечание. Имеется ввиду справедливость равенств при условии существования sup и inf.

Язык упорядоченных множеств оказывается очень удобным для выражения особых свойств взаиморасположения подпространств в векторном пространстве. Итак, пусть V произвольное векторное пространство. Множество всех подпространств из V естественным образом упорядочено относительно включения. Нетрудно понять, что для любых двух подпространств U и W из V их сумма U + W является точной верхней гранью, а пересечение U ∩W точной нижней гранью. Поэтому множество всех подпространств из V , упорядоченное относительно включения, образует решетку, которую мы будем называть решеткой подпространств и обозначать через L(V ).

Пример. Решетка L(Z32).

Упражнение 8. (1) Пусть V невырожденное ортопространство. Доказать, что отображение f : L(V ) → L(V ), определенное как

f(W ) = W ,

является инволютивным антиавтоморфизмом решетки L(V ).

Замечание. Отображение f : X → X называется инволютивным, если f(f(x)) = x для любого x X.

(2)Пусть f : L(V ) → L(V ) инволютивный антиавтоморфизм решетки подпространств векторного пространства V . Определим на V бинарное отношение следующим образом:

x y hxi 6 f(hyi).

11

Доказать, что отношение есть невырожденное отношение ортогональности на V . Также показать, что f(W ) = W .

Таким образом, задание на векторном пространстве V невырожденного отношения ортогональности и задание инволютичного антиавтоморфизма решетки подпространств L(V ) представляет собой два разных способа описания одного и того же свойства векторного пространства V .

9Основная теорема проективной геометрии

Пусть V1 и V2 векторные пространства над полем F . Напомним, что отображение f : V1 → V2 называется полулинейным, если найдется такой автоморфизм θ поля F , для которого

1)f(x + y) = f(x) + f(y)

2)f(λx) = λθf(x)

(Здесь через λθ обозначен образ λ под действием θ.)

Как и в случае линейных отображений, нетрудно показать, что образ f(W ) любого подпространства W 6 V1 является подпространством в V2. Действительно,

1) f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) f(0) = 0. Так как 0 W , то

f(0) = 0 f(W ).

2)Пусть a, b f(W ). Тогда a = f(x) и b = f(y) для некоторых x, y W. Значит, a + b = f(x) + f(y) = f(x + y) f(W ).

3)Пусть a f(W ) и λ F. Тогда найдутся такие x W и µ F , что

f(x) = a и µθ = λ. Значит λa = µθf(x) = f(µx) f(W ).

Таким образом, любое полулинейное отображение f : V1 → V2 индуцирует отображение g : L(V1) → L(V2) решетки подпространств пространства V1 в решетку подпространств пространства V2. Очевидно также, что отображение f сохраняет порядок, т. е.

W 6 U f(W ) 6 f(U).

Более того, если f биекция, то легко понять, что и индуцированное отображение решеток g : L(V1) → L(V2) также будет биекцией. Следовательно, любое биективное полулинейное отображение f : V1 → V2 индуцирует биективное отображение g : L(V1) → L(V2), которое мы назвали изоморфизмом решеток.

12

Возникает естественный вопрос: верно ли, что любой изоморфизм решеток g : L(V1) → L(V2) индуцируется некоторым полулинейным отображением f : L(V1) → L(V2)? В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный, и можно привести примеры решеточных изоморфизмов g : L(V1) → L(V2) для dim(V1) = 2, которые не индуцируются полулинейными отображениями.

Упражнение 9. Привести пример автоморфизма решетки L(V ) для V = R2, который не индуцируется никаким полулинейным отображением пространства V в себя.

Оказывается, такие примеры можно привести лишь в случае 2-мерного пространства V1, а в случае dim(V1) > 3 ответ на поставленный вопрос будет положительным. Этот факт и есть утверждение основной теоремы проективной геометрии, которая приводится ниже без доказательства.

Теорема (Основная теорема проективной геометрии). Пусть V1 и V2 векторные пространства над полем F и dim(V1) > 3. Тогда любой решеточный изоморфизм g : L(V1) → L(V2) индуцируется некоторым полулинейным отображением f : V1 → V2.

Основная теорема вызывает другой вопрос: насколько однозначно определено полулинейное отображение f : V1 → V2, индуцирующее данный решеточный изоморфизм g : L(V1) → L(V2)?

Понятно, что различные полулинейные (и даже линейные) отображения пространства V1 в V2 могут индуцировать один и тот же решеточный изоморфизм. Так, например, любая гомотетия пространства V , т. е. отображение вида f(x) = λx, где λ F − 0, индуцирует тождественный автоморфизм решетки L(V ). Ответ на поставленный вопрос об однозначности полулинейного отображения, индуцирующего данный решеточный изоморфизм, получить несложно, и он может быть сформулирован в виде следующего утверждения, которое предлагается доказать самостоятельно.

Упражнение 10. Доказать, что полулинейные отображения f1 : V1 → → V2 и f2 : V1 → V2, где dim V1 > 2, индуцирующие один и тот же решеточный изоморфизм L(V1) → L(V2), различаются лишь на ненулевой множитель, т. е. найдется такой λ F − 0, что

f1(x) = λf2(x)

для любого x V1.

13

10 Ортогональность и скалярные произведения

В этом разделе мы покажем, что любое невырожденное отношение ортогональности может быть задано с помощью скалярного произведения, определение которого приводится ниже.

Пусть V векторное пространство над полем F и θ некоторый автоморфизм поля F . Отображение f : V × V → F называется полуторалинейной формой по отношению к θ, если для любых x, y, z V и λ F выполнены условия

f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z), f(λx, y) = λf(x, y), f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z), f(x, λy) = λθf(x, y).

(Здесь, как и раньше, через λθ обозначен образ λ под действием θ.)

Полуторалинейная форма называется рефлексивной, если f(x, y) = 0

f(y, x) = 0.

Рефлексивную полуторалинейную форму мы будем называть скалярным произведением.

Скалярное произведение f будем называть невырожденным, если для любого ненулевого x V найдется такой y V , что f(x, y) 6= 0.

Теорема. Пусть V векторное пространство над полем F . Тогда

1)для любого скалярного произведения f : V × V → F бинарное от-

ношение , определенное как

x y f(x, y) = 0,

является отношением ортогональности на V , причем, невырожденное отношение ортогональности f невырожденное

скалярное произведение.

Замечание. В дальнейшем, отношение будем называть отношением ортогональности, индуцированным скалярным произведением f.

2)если dim V > 3, то любое невырожденное отношение ортогональности на V индуцировано некоторым скалярным произведением.

3)скалярное произведение, индуцирующее данное невырожденное отношение на V , в случае dim V > 2 определено однозначно с точно-

стью до ненулевого множителя.

14

Точнее, если невырожденные скалярные произведения f1 и f2 индуцируют одно и то же отношение ортогональности на V , то для некоторого λ F − 0 и любых x, y V

f1(x, y) = λf2(x, y).

Доказательство. 1) Первое утверждение теоремы предлагается в качестве упражнения для самостоятельного доказательства.

2)Пусть V невырожденное ортопространство размерности > 3. Для любого подпространства W 6 V положим

g(W ) = (W )0.

Таким образом, каждому подпространству W 6 V поставлен в соответствие аннулятор в сопряженном пространстве V ортогонального дополнения к W .

Заметим, что взятие аннулятора и ортогонального дополнения в невырожденном пространстве являются антиизоморфизмами решеток подпространств. Значит, отображение g, как композиция двух антиизоморфизмов решеток, представляет собой изоморфизм решетки подпространств L(V ) на решетку L(V ). Согласно основной теореме проективной геометрии, в случае dim V > 3 решеточный изоморфизм g : L(V ) → L(V ) индуцируется некоторым полулинейным отображением f : V → V по отношению к некоторому автоморфизму θ поля F .

Обозначим через fy линейную функцию из V , которая сопоставляется отображением f вектору y V , а через f(x, y) значение линейной функции fy на векторе x V . Таким образом, с помощью полулинейного отображения f : V → V определено отображение f : V × V → F по правилу

f(x, y) = fy(x),

которое удобно обозначать тем же функциональным символом f.

Так как отображение f : V → V полулинейно по отношению к θ, то

f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z)

и

f(x, λy) = λθf(x, y).

15

В то же время, отображение fy : V → F линейно, поэтому

f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z)

и

f(λx, y) = λf(x, y).

Следовательно, отображение f : V × V → F является полуторалинейной формой по отношению к θ. Более того, для любых x, y V справедливо

y x y x fy f(x ) = g(x ) = ((x ) )0 =

= hxi0 = x0 fy x0 f(x, y) = 0,

или

y x f(x, y) = 0.

Отсюда, в силу симметричности отношения ортогональности, следует

f(x, y) = 0 f(y, x) = 0,

и значит, f скалярное произведение, индуцирующее данное отношение ортогональности .

3) Допустим, что скалярные произведения f1 : V × V → F и f2 : V × V → F индуцируют одно и то же невырожденное отношение ортогональности на векторном пространстве V размерности > 2. Следовательно, для любого ненулевого y V линейные уравнения f1(x, y) = 0 и f2(x, y) = 0 задают одну и ту же гиперплоскость в V , и значит,

f1(x, y) = λ(y)f2(x, y)

для некоторого ненулевого элемента поля λ(y), зависящего только от y.

Отсюда для любых линейно независимых векторов y1, y2 V вытекают равенства:

содной стороны,

f1(x, y1 + y2) = λ(y1 + y2)f2(x, y1 + y2) =

=λ(y1 + y2)f2(x, y1) + λ(y1 + y2)f2(x, y2),

и с другой,

f1(x, y1 + y2) = f1(x, y1) + f1(x, y2) = λ(y1)f2(x, y1) + λ(y2)f2(x, y2).

16

Из полученных равенств следует, что

(λ(y1 + y2) − λ(y1))f2(x, y1) + (λ(y1 + y2) − λ(y2))f2(x, y2) = 0.

Заметим, что для линейно независимых y1 и y2 линейные функции f2(x, y1) и f2(x, y2) также линейно независимы, и поэтому

λ(y1 + y2) − λ(y1) = λ(y1 + y2) − λ(y2) = 0,

или

λ(y1) = λ(y2).

Отсюда, очевидно, следует, что λ(y) константа, отличная от 0 и не зависящая от x и y.

Упражнение 11. 1) Доказать первое утверждение теоремы.

2)Пусть codim Rad(V ) > 3. Доказать, что отношение ортогональности на ортопространстве V индуцировано некоторым скалярным произведением, причем скалярное произведение определено однозначно с точностью до ненулевого постоянного множителя.

11 Ортогональные базисы

Тот факт, что отношение ортогональности в невырожденном пространстве размерности > 3 индуцируется некоторым скалярным произведением, позволяет усилить полученные ранее результаты, касающиеся ортогональных базисов.

Напомним, что базис E = {e1, . . . , en} ортопространства V называется

ортогональным, если ei ej для i 6= j.

Очевидно, что пространство симплектического типа, т. е. невырожденное пространство, все векторы которого изотропны, не имеет ортогонального базиса. Оказывается, пространствами симплектического типа исчерпываются практически все ортопространства, не имеющие ортогонального базиса. Точнее, ортопространство не имеет ортогонального базиса тогда и только тогда, когда оно нетривиально и все его векторы изотропны. Этот результат есть очевидное следствие следующей теоремы:

Теорема. Ортопространство V , содержащее хотя бы один неизотроп-

ный вектор, имеет ортогональный базис.

17

Доказательство. (индукцией по n = dim V .) При n = 1 заключение теоремы справедливо очевидным образом. Если n = 2 и a неизотропный вектор из V , то V = hai a , причем dim a = 1. Добавив к вектору a любой ненулевой вектор из a , мы получим ортогональный базис V .

Итак, можно считать, что n > 3 и для любого ортопространства размерности < n теорема справедлива.

Пусть a неизотропный вектор из V и U какое-нибудь прямое дополнение к Rad(V ), содержащее вектор a. Если Rad(V ) 6= 0, то dim U < n и, согласно индуктивному предположению, U имеет ортогональный базис. Объединим этот базис с любым базисом Rad(V ), мы получим ортогональный базис V .

Таким образом, можно считать, что Rad(V ) = 0, т. е. V невырожденное пространство. В этом случае отношение ортогональности на V индуцируется некоторым скалярным произведением f : V × V → F . Положим W = a . Так как V = hai W , то dim W = n − 1. Если W содержит неизотропный вектор, то, снова применяя индуктивное предположение, мы можем выбрать ортогональный базис в W , который с вектором a образует ортогональный базис V . Значит, можно считать, что все векторы из W изотропны.

Заметим, что для любого b W

f(a + b, a + b) = f(a, a) + f(a, b) + f(b, a) + f(b, b) = f(a, a) 6= 0,

ипоэтому векторы вида a + b, b W , являются неизотропными. В силу невырожденности ортопространства V , в пространстве W найдутся два неортогональных вектора b1 и b2. Так как для любого λ F

f(a + λb1, a + b2) = f(a, a) + λf(b1, b2)

и f(b1, b2) 6= 0, то, полагая λ = − f(a,a) , мы получим два ортогональных

f(b1 ,b2)

неизотропных вектора a1 = a+λb1 и a2 = a+b2. Снова беря ортогональное

разложение

V = ha1i a1 ,

мы получим подпространство a1 размерности n − 1, содержащее неизотропный вектор a2, которое, согласно индуктивному предположению, имеет ортогональный базис. Добавив к нему вектор a1, мы получим ортогональный базис V .

Следствие 1. Любое невырожденное ортопространство либо представимо в виде ортогональной суммы гиперболических плоскостей, либо имеет ортогональный базис.

18

Следствие 2. Любое невырожденное ортопространство нечетной размерности имеет ортогональный базис.

19

Лекции 6–8. Пространства со скалярным произведением

1Три типа скалярных произведений

Напомним, что любое невырожденное отношение ортогональности на векторном пространстве размерности > 3 индуцируется некоторым скалярным произведением. Таким образом, практически любое ортопространство можно рассматривать как векторное пространство с заданным на нем скалярным произведением.

В связи с этим возникает вопрос: какие скалярные произведения можно определить на векторном пространстве? Нельзя ли классифицировать каким-либо образом все скалярные произведения, т. е. рефлексивные полуторалинейные формы, на векторном пространстве?

Первые шаги в деле упорядочения многообразия всех скалярных произведений будут сделаны в данном разделе лекции, и основным результатом в этом направлении является теорема Биркгофа и фон Неймана, разбивающая множество всех скалярных произведений на три группы.

Теорема. Пусть V векторное пространство размерности > 2 над полем F , θ некоторый автоморфизм поля F и f невырожденная рефлексивная полуторалинейная (по отношению к θ) форма на V . Тогда θ2 = 1, причем, если θ 6= 1, т. е. θ не является тождественным автоморфизмом, то

(A) найдется такое λ F , что λλθ = 1 и

f(x, y) = λf(y, x)θ для любых x, y V ;

если θ = 1, т. е. θ является тождественным автоморфизмом, то воз-

можен один из двух случаев:

(B)f(x, y) = f(y, x) для любых x, y V ,

(C)f(x, y) = −f(y, x) для любых x, y V .

Замечание. В дальнейшем нам часто придется использовать приведенный результат, который мы будем называть трихотомией скалярных произведений. Условия A, B и C, выделяющие три группы скалярных произведений, мы будем называть условиями симметричности.

20