Бесов

Пусть ~r0(t0). Тогда ~r0(t0) ~r(t0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя скалярное произведение (~r(t),~r(t)) = |~r|2 = C2, получаем, что

(~r0(t0),~r(t0)) + (~r(t0),~r0(t0)) = 2(~r0(t0),~r(t0)) = 0.

Определение. Пусть — спрямляемая кривая,

= {~r(s), 0 6 s 6 S},

где s — переменная длина ее дуги. Пусть ~t = d~dsr в U(s0) и

Геометрический смысл кривизны k(s0) состоит в том, что k(s0) является мгновенной угловой скоростью поворота касательной (если параметр s считать временем). В самом деле, поскольку~t — единичный вектор, | ~t| = |~t(s0 + s) − −~t(s0)| характеризует величину его поворота при изменении параметра на s. Если величину угла между ~t(s0 + + s) и ~t(s0), выраженную в радианах, обозначить через

(в последнем равенстве легко убедиться, построив равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, совпадающими с векторами~t(s0 +Δs) и~t(s0), отложенными от одной точки). Тогда

122 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

Определение. Величина, обратная кривизне

R = k1 6 +∞,

называется радиусом кривизны.

Упражнение 1. Проверить, что в каждой точке окружности ее радиус кривизны совпадает с радиусом этой окружности.

Вектор~n называется единичным вектором главной нормали.

Определение. Нормалью к кривой в данной точке

называется всякая прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной в этой точке.

Нормаль к кривой, параллельная ~n, называется главной

Эта формула показывает, что в окрестности данной точки кривая отклоняется от своей касательной в сторону вектора ~n с точностью до ~o((Δs)2).

Определение. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется

соприкасающейся плоскостью.

Последнюю формулу для ~r можно интерпретировать и так: в окрестности данной точки кривая лежит в соприкасающейся плоскости с точностью до ~o((Δs)2).

Выведем уравнение соприкасающейся плоскости в данной точке гладкой кривой = {~r(t), a 6 t 6 b}, в которой кривизна k 6= 0. Эта плоскость проходит через точку rˆ(t0)

124 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

Если в данной точке кривой k = 0, то всякая плоскость, содержащая касательную в данной точке, называется соприкасающейся плоскостью.

Определение. Точка пространства, лежащая на главной нормали к кривой в данной ее точке и находящаяся на расстоянии R = k1 от этой точки в направлении вектора ~n, называется центром кривизны кривой в данной ее точке.

Центр кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Если ~r — радиус-вектор точки кривой, то радиус-

жество центров кривизны данной кривой , называется ее

эволютой.

Сама кривая по отношению к своей эволюте является

эвольвентой.

Кривая вида = {(x(t), y(t), 0), a 6 t 6 b} называется плоской кривой. Ее уравнение записывают в виде

= {(x(t), y(t)), a 6 t 6 b}.

вектор ~r кривой лежит в плоскости xOy, как и векторы

~r0, ~r00, ~n.

Пусть α — угол между касательной к кривой и осью

Глава 9 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 9.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Символом ha, bi будем обозначать промежуток, т. е. либо отрезок [a, b], либо полуинтервал [a, b), либо полуинтервал (a, b], либо интервал (a, b). При этом полуинтервал и интервал могут быть как конечными, так и бесконечными.

Определение. Пусть функции f и F определены на ha, bi. Функция F называется первообразной для f на ha, bi,

если F 0 = f на ha, bi. При этом в случае a ha, bi или bha, bi производные F 0(a), F 0(b) понимаются как односторонние.

Пусть F — первообразная для f на ha, bi. Тогда F + C,

где C — постоянная, также является первообразной для f

на ha, bi. В самом деле, (F (x) + C)0 = F 0(x) = f(x).

Верно и обратное утверждение: если F и Φ — две первообразные функции f на ha, bi, то Φ(x) = F (x) + C, где C

— постоянная. В самом деле,

(F (x) − Φ(x))0 = f0(x) − f0(x) = 0.

Тогда с помощью формулы конечных приращений Лагранжа получаем, что

F (x) − Φ(x) = C.

Определение. Операция перехода от данной функции к ее первообразной называется (неопределенным) интегрированием. При этом функции f ставится в соответствие некоторая конкретная произвольно выбранная первообразная. Эта первообразная называется неопределенным инте-

Z

гралом функции f и обозначается символом f(x) dx.

Таким образом, каждый неопределенный интеграл функции f является ее первообразной, и наоборот, каждую первообразную можно выбрать в качестве неопределенного интеграла функции f.

Рассмотренные свойства первообразных дают возможность описать общий вид неопределенного интеграла для f

3.◦ (Линейность неопределенного интеграла)

RR

Z Пусть f1(x) dx, fZ2(x) dx. ТогдаZ

(αf1(x) + βf2(x)) dx = α f1(x) dx + β f2(x) dx + C.

Свойство 1◦ содержится в определении неопределенного интеграла, свойство 2◦ уже было установлено.

Для доказательства свойства 3◦ проверим, что F (x) =

RR

= α f1(x) dx + β f2(x) dx является первообразной для αf1 + βf2. Это в самом деле так, поскольку

Z 0 Z 0

F 0(x) = α f1(x) dx + β f2(x) dx = αf1(x)+βf2(x),

128 Глава 9. Неопределенный интеграл

теперь остается сослаться на свойство 2◦.

Свойства 1◦, 2◦◦ показывают, что операции дифференцирования и (неопределенного) интегрирования обратны друг другу.

В дальнейшем будет показано, что для любой непрерывной на промежутке функции f существует неопределенный

R

интеграл f(x) dx.

Каждую формулу для производной вида F 0(x) = f(x) можно истолковать как утверждение, что на соответству-

ющем промежутке F является первообразной для f и, зна-

чит, в силу 2◦ R f(x) dx = F (x) + C.

Поэтому, переписывая таблицу производных основных элементарных функций, получим таблицу неопределенных интегралов, которая приводится в Приложении.

Каждая из формул таблицы рассматривается на тех промежутках, на которых определена соответствующая подынтегральная функция. Например, формулу

Z

x1 = ln |x| + C

следует рассматривать отдельно на каждом из двух проме-

жутков: (−∞, 0), (0, +∞).

§ 9.2. Методы интегрирования

Теорема 1 (интегрирование по частям). Пусть на некотором промежутке функции u, v дифференцируемы и существует R u0(x)v(x) dx. Тогда на этом промежутке

Z Z

u(x)v0(x) dx = u(x)v(x) − u0(x)v(x) dx + C.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

и остается сослаться на свойство 2◦.

Теорема 2 (интегрирование заменой перемен-

ной). Пусть функция f имеет на ha, bi первообразную, функция ϕ: hα, βi → ha, bi дифференцируема на hα, βi. Тогда на hα, βi

R

(в интеграл f(ϕ(t)) dϕ(t) вместо ϕ(t) подставляют x, вы-

R

числяют f(x) dx и затем возвращаются к переменной t). Если в условиях доказанной теоремы дополнительно предположить, что функция ϕ строго монотонна, то на промежутке hξ, ηi = ϕ(hα, βi) существует обратная функция

ϕ−1. Тогда из (1) следует, что на промежутке hξ, ηi

ZZ

§ 9.3. Комплексные числа

Комплексными числами называются выражения вида

z = x + iy,

где x, y R, i — некоторый элемент, называемый мнимой единицей. Число x называется действительной частью числа z (x = Re z), а число y — мнимой частью числа

z(y = Im z). Множество всех комплексных чисел обозначается через C.

Два комплексных числа z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 называются равными, если x1 = x2, y1 = y2. Число z = x + + i0 отождествляется с действительным числом x. Пишут

z= x. Во множестве C нет отношения порядка.

Модулем комплексного числа z = x+ iy называется неотрицательное действительное число

p

|z| = x2 + y2.

Для каждого z = x + iy C определено сопряженное ему комплексное число

z¯ = x − iy.

Суммой z1 + z2 двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 называется комплексное число

z = (x1 + x2) + i(y1 + y2).

Произведением z1z2 двух комплексных чисел z1 = x1 + + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число

z= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

Вчастности, i · i = −1.

Легко проверить, что сумма и произведение комплексных чисел обладают теми же свойствами, что и сумма и произведение вещественных чисел. В частности, существует 0 = 0 + i0 и 1 = 1 + i0, для каждого z C существует противоположное комплексное число, для каждого