Бесов

(x −x0)n при переходе через x0 зависит от четности n. От-

сюда можно сделать вывод о знаке − 0 в ˚ 0 что f(x) f(x ) U(x ),

и приводит к утверждению теоремы.

Следствие 1. При f0(x0) > 0 x0 — точка возрастания, при f0(x0) < 0 x0 — точка убывания функции f.

Следствие 2. Пусть f0(x0) = 0. Тогда при f00(x0) > 0 x0 — точка строгого минимума, при f00(x0) < 0 x0 — точка строгого максимума функции f.

З а м е ч а н и е. В задаче о нахождении наибольшего (или наименьшего) значения функции f: [a, b] → R с помощью доказанных теорем можно найти точки экстремума, лежащие лишь на интервале (a, b). После этого следует сравнить значения функции f в них со значениями f(a), f(b).

§ 7.2. Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция f определена на (a, b). Для каждого от-

Определение. Функция f называется выпуклой вверх

(выпуклой вниз) на (a, b), если для любых α, β, x: a < α < < x < β < b f(x) > lα,β(x) (соответственно f(x) 6 lα,β(x)) при x (α, β).

Если же вместо нестрогих неравенств в последней строчке можно написать строгие, то функция f называется

строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на интер-

вале (a, b).

Интервал (a, b) называется при этом соответственно ин-

тервалом выпуклости вверх, выпуклости вниз, строгой выпуклости вверх, строгой выпуклости вниз функции f.

Последнее неравенство является соотношением между угловыми коэффициентами двух различных хорд с концами в точке (x, f(x)).

Упражнение 1. Сравнивая угловые коэффициенты различных хорд с концами в точке (x0, f(x0)), показать, что на интервале выпуклости вверх функция f непрерывна и в каждой точке имеет обе односторонние производные, а множество точек, в которых она не имеет производную, не более чем счетно.

Пример функции f(x) = 1 −|x|, x (−1, 1), показывает, что производная не обязана существовать во всех точках интервала выпуклости вверх.

З а м е ч а н и е. Нередко функцию, выпуклую вниз, называют выпуклой, а выпуклую вверх — вогнутой.

Теорема 1 (условия выпуклости функций).

Пусть функция f имеет вторую производную f00 на (a, b). Тогда

1.◦ условие f00 6 0 на (a, b) необходимо и достаточно для

выпуклости вверх функции f на (a, b);

2.◦ если f00 < 0 на (a, b), то функция f строго выпукла вверх на (a, b).

104Глава 7. Исследование поведения функций

До к а з а т е л ь с т в о. Достаточность. При a < α < < x < β < b имеем, используя (1) и формулу конечных приращений Лагранжа

f(x) − lα,β = (β − x)f0(ξ)(x − a) + (x − α)f0(η)(x − β) = β − α

= (x − α)(β − x)f00(ζ)(ξ − η) > 0 (> 0 при f00(ξ) > 0), β − α

где a < α < ξ < ζ < η < β < b.

Отсюда следует достаточность в утверждении теоремы 1◦ и утверждение 2◦.

Упражнение 2. Доказать необходимость условия 1◦. Можно использовать при этом анализ расположения кривой относительно касательной, который будет приведен ниже.

Определение. Точка x0 называется точкой перегиба

функции f, а точка (x0, f(x0)) — точкой перегиба графика

функции f, если

1.◦ f0(x0) (конечная или бесконечная);

2.◦ точка x0 является концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз.

Напомним, что при выполнении условия 1◦ функция f непрерывна в точке x0.

Теорема 2 (необходимые условия точки пере-

гиба). Пусть x0 — точка перегиба функции и f00 непрерывна в точке x0. Тогда f00(x0) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. Допустим, что f00(x0) = 0 и для определенности f00(x0) > 0. Тогда f00(x0) > 0 в некоторой окрестности U(x0). По предыдущей теореме, точка x0 находится внутри интервала U(x) строгой выпуклости вниз и не может быть точкой перегиба.

Теорема 3 (достаточные условия точки пере-

гиба). Пусть f0(x0), а f00 меняет знак при переходе через точку x0.

Тогда x0 — точка перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о сводится к проверке определения точки перегиба с помощью теоремы о достаточных условиях строгой выпуклости функции.

Следствие. Пусть f00(x0) = 0, f000(x0) 6= 0.

Тогда x0 — точка перегиба функции f.

Теорема 4 (о расположении кривой относительно

= f(x) переходит через касательную, т. е. при x <

˚

<x0 и x > x0 (x U(x0)), лежит строго по разные стороны от касательной.

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть F (x) = f(x) − (f(x0) +

+f0(x0)(x −x0)). Тогда вопрос сводится к изучению распо-

ложения графика функции при ˚ 0 относительно

F

x

U

(

x

)

прямой (касательной) y = 0 и решается применением тео-

ремы 7.1.4.

§ 7.3. Асимптоты

Определение. Пусть функция f определена на (a, +∞). Прямая y = kx + l называется асимптотой (или

наклонной асимптотой) графика функции f при x → +∞,

если

f(x) = kx + l + o(1) при x → +∞.

Аналогично определяется (наклонная) асимптота при x →

→ −∞.

106 Глава 7. Исследование поведения функций

Теорема 1. Для того чтобы график функции f имел при x → +∞ наклонную асимптоту y = kx + l, необходимо

Д о к а з а т е л ь с т в о стве упражнения.

Аналогично формулируется теорема о существовании (наклонной) асимптоты при x → −∞.

Определение. Прямая x = x0 называется вертикаль-

ной асимптотой графика функции f, если хотя бы один из пределов f(x0 + 0), f(x0 − 0) существует и равен +∞ или

−∞.

Упражнение 1. Выяснить наличие наклонных и вертикальных асимптот у графиков функций f(x) = x −

− 2 arctg x, f(x) = ln(1 + x).

§ 7.4. Построение графика функции

Построение графика функции рекомендуется проводить по следующей схеме.

1◦. Найти область определения функции, точки разрыва.

2◦. Выяснить вопрос о существовании асимптот.

3◦. Приблизительно нарисовать график функции.

4◦. Вычислить первую и вторую производные.

5◦. Найти точки, в которых эти производные не существуют или равны нулю.

6◦. Составить таблицу изменения знаков первой и второй производной.

7◦. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

8◦. Найти интервалы выпуклости вверх (вниз) функции, точки перегиба.

9◦. Найти точки пересечения функции с осью Ox, вычислить значения функции в точках экстремума и точках перегиба.

10◦. Уточнить и нарисовать график функции.

Глава 8 КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

§ 8.1. Векторнозначные функции

Определение. Пусть каждой точке t [a, b] поставлен в соответствие вектор ~r = ~r(t) трехмерного пространства. Тогда будем говорить, что на отрезке [a, b] задана вектор-

функция (или векторная функция).

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована декартова система координат. Тогда ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), где x(t), y(t), z(t) — компоненты вектора~r(t). Таким образом, задание на [a, b] вектор-функции равносильно заданию на [a, b] трех числовых функций.

Символом |~r| обозначают длину вектора ~r.

Определение. Вектор ~r0 называется пределом век-

тор-функции ~r = ~r(t) при t → t0 (пишут ~r0 = lim ~r(t)),

t→t0

если lim |~r(t) −~r0| = 0.

t→t0

Как видим, в этом определении предполагается, что~r =

˚

=~r(t) определена в некоторой U(t0).

Определение предела вектор-функции сведено к известному определению предела числовой функции f(t) = |~r(t) − −~r0|. Можно дать и другое (эквивалентное) определение предела вектор-функции, не опирающееся на понятие предела числовой функции. Для этого достаточно расписать последнее в ε-δ-терминах. Имеем

Определение. Пусть вектор-функция ~r = ~r(t) опре-

делена на ˚ 0 Вектор 0 называется пределом

U(t ). ~r ~r = ~r(t),

если

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : |~r(t)−~r0| < ε t : 0 < |t−t0| < δ.

Если ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) и ~r0(x0, y0, z0), то

p

|~r(t) −~r0| = (x(t) − x0)2 + (y(t) − y0)2 + (z(t) − z0)2.

Из этого равенства видно, что существование предела

lim ~r(t) = ~r0 равносильно существованию трех пределов

t→t0

числовых функций

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эти свойства можно вывести из свойств числовых функций, перейдя к соответствующим равенствам для компонент векторов.

Их можно доказать и непосредственно, опираясь на определение предела вектор-функции. Установим для при-

110 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

Определение. Пусть вектор-функция ~r = ~r(t) определена на [a, b]. Вектор ~r0 называют ее пределом справа в точке a и пишут

lim ~r(t) =~r(t0).

t→t0

Из свойств пределов вектор-функций следует, что непрерывность вектор-функции равносильна непрерывности трех числовых функций — ее компонент.

Теорема 2. Пусть вектор-функции ~r1 = ~r1(t), ~r2 = =~r2(t) и числовая функция f = f(t) непрерывны в точке t0. Тогда ~r1 ±~r2, f~r1, (~r1,~r2), [~r1,~r2] непрерывны в точке t0.

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из свойств пределов вектор-функций.

Аналогично определению непрерывности дается определение односторонней непрерывности. На этот случай переносятся свойства, указанные в последней теореме.

если этот предел существует.

Если ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), то, как легко усмотреть,

~r0(t) = (x0(t), y0(t), z0(t)).

Односторонние производные вектор-функции определяются как соответствующие односторонние пределы отношения приращения вектор-функции к приращению аргумента.