Бесов

Теорема доказана.

Теорема единственности ˚ 0

3 ( ). Пусть в U(x )

f(x) = a0 + a1(x − x0) + . . . + an(x − x0)n + o((x − x0)n), f(x) = b0 + b1(x − x0) + . . . + bn(x − x0)n + o((x − x0)n)

при x → x0.

Тогда a0 = b0, a1 = b1, . . . , an = bn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычитая почленно одно представление функции f из другого, видим, что достаточно доказать, что из

c0 + c1(x − x0) + . . . + cn(x − x0)n = o((x − x0)n) при x → x0

(2)

следует, что c0 = c1 = . . . = cn = 0.

Переходя в равенстве (2) к пределу при x → x0, получаем, что c0 = 0. Учитывая это, поделим (2) почленно на

− 0 Получим для ˚ 0

(x x ). x U(x )

c1+c2(x−x0)+ . . .+cn(x−x0)n−1 = o((x−x0)n−1) при x → x0.

Переходя в этом равенстве к пределу при x → x0, получаем, что c1 = 0.

Учитывая это и деля последнее равенство на x − x0, после перехода к пределу получаем, что c2 = 0. Поступая так же и дальше, приходим к равенству c0 = c1 = . . . =

Тогда (3) является разложением f по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

92Глава 6. Свойства дифференцируемых функций

До к а з а т е л ь с т в о. По теореме о разложении функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет место равенство (1). В силу теоремы единственности (3) совпадает с (1).

Упражнение 1. Пусть для функции f выполняется (3)

при n = 3. Выяснить, влечет ли это существование f0(x0), f00(x0), f000(x0).

единственности, полученное разложение функции f(x) =

=1 −1 x является формулой Тейлора.

За м е ч а н и е 1. Доказанные в этом параграфе три теоремы и следствие справедливы и в случае,

когда функция f задана в полуокрестности U(x0 + 0) или U(x0 − 0). При этом производные f(k)(x0) понимаются как односторонние.

Примеры разложений по формуле Тейлора. 1.◦ f(x) = ex, x0 = 0. Имеем f(k)(x) = ex,

равного нулю 2n + 2-го члена формулы Тейлора.

где 0 < θ < 1.

Упражнение 2. Получить формулу бинома Ньютона

используя разложение (1 + x)n по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (или в форме Пеано и теорему единственности).

используя разложения по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

94Глава 6. Свойства дифференцируемых функций

За м е ч а н и е. Формулу Тейлора в случае x0 = 0

называют еще формулой Маклорена.

§ 6.3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Пусть в задаче о нахождении предела отношения f(x) g(x)

при x → x0 и числитель и знаменатель стремятся к нулю или оба стремятся к бесконечности. В этих случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностью соответственно вида 00 или ∞∞. Нахождение этого предела (если он существует) называют раскрытием неопределенности.

Одним из приемов раскрытия неопределенности является выделение главных частей числителя и знаменателя. Здесь будет обоснован другой способ, называемый правилом Лопиталя и состоящий в том, что вычисление предела отношения функций заменяется вычислением предела отношения их производных.

§ 6.3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 95

в приведенном доказательстве было два раза использовано свойство предельного перехода в суперпозиции, причем в ситуации, не рассмотренной в § 4.2. Читателю предлагается обосновать соответствующие предельные переходы в качестве упражнения.

Теорема 3. Пусть функции f, g

1.◦ дифференцируемы на интервале (a, b), b − a < ∞;

96 Глава 6. Свойства дифференцируемых функций

f0(x)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim g0(x) = A R, ε

x→a+0

0, 14 . Выберем точку xε, a < xε < b так, что

f0(x)

g0(x) Uε(A) при x (a, xε),

Первый множитель правой части мало отличается от 1: его значение принадлежит интервалу (1−4ε, 1+2ε). Второй

f0(ξ)

множитель правой части g0(ξ) Uε(A). Следовательно, вся правая часть (2) и равная ей левая

f(x)

g(x) Uη(A),

§ 6.3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 97

где η = η(ε) = η(A, ε) > 0 при x Uδ(a + 0).

При этом при фиксированном A можно η(ε) взять сколь угодно малым, если предварительно взять достаточно ма-

лым ε > 0. Следовательно, lim f(x) = A.

x→a+0 g(x)

Теорема доказана.

В качестве некоторого пояснения к ее доказательству покажем, как выбрать η(A, ε) в зависимости от ε. Остановимся лишь на случае 0 < A < +∞. Тогда второй множитель правой части лежит в (A −ε, A + ε), а первый (как мы видели) в (1 − 4ε, 1 + 2ε). Следовательно, их произведение лежит в интервале

(A − 4Aε − ε + 4ε2, A + 2Aε + ε + 2ε2) Uη(A),

где η = η(A, ε) = max{4Aε − ε + 4ε2, 2Aε + ε + 2ε2}.

З а м е ч а н и е. Теоремы 1–3 остаются в силе в случаях предельных переходов x → a + 0, x → a − 0, x → a, x → +∞, x → −∞ с соответствующими изменениями их

Здесь первое равенство написано при условии, что предел правой части существует и становится оправданным после доказательства существования этого предела.

Теоремы 1–3 дают достаточные условия раскрытия неопределенностей. Эти условия не являются необходимыми.

98 Глава 6. Свойства дифференцируемых функций

ствует, но его нельзя найти с помощью правила Лопиталя. Правило Лопиталя помогает раскрыть неопределенно-

представляющие каждую из трех последних неопределенностей, полезно прологарифмировать.

Упражнение 1. Найти lim xx.

x→0+0

Глава 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ

ФУНКЦИЙ

§ 7.1. Монотонность и экстремумы функции

Теорема 1. Пусть f дифференцируема на (a, b). Тогда 1.◦ условие f0 > 0 (f0 6 0) на (a, b) необходимо и достаточно для того, чтобы функция f возрастала (убы-

вала) на (a, b);

2.◦ условие f0 > 0 (f0 < 0) на (a, b) достаточно, чтобы функция f строго возрастала (строго убывала) на

(a, b).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из формулы конечных приращений Лагранжа

f(x2) − f(x1) = f0(ξ)(x2 − x1), a < x1 < ξ < x2 < b.

Необходимость. Пусть f возрастает на (a, b), x0, x

(a, b). Тогда f(x) − f(x0) > 0. Следовательно, f0(x0) > 0. x − x0

Заметим, что условие f0 > 0 на (a, b) не является необходимым для строгого возрастания функции f на (a, b), как это видно на примере f(x) = x3, x (−1, 1).

Определение. Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции f, если на некоторой окрестности U(x0) функция f определена и

˚

f(x) 6 f(x0) (f(x) > f(x0)) x U(x0).

Если при этом нестрогие неравенства можно заменить на строгие, точка x0 называется точкой строгого макси-

мума (строгого минимума) функции f.

Точки максимума (строгого максимума) и точки минимума (строгого минимума) называются точками экстре-

мума (строгого экстремума).

Поскольку определение точки максимума связано с поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой точки, часто вместо термина «максимум» употребляют термин «локальный максимум». Аналогично объясняются термины «локальный минимум», «строгий локальный максимум (минимум)», «локальный экстремум», «строгий локальный экстремум».

Теорема 2 (Ферма) (необходимые условия экс-

тремума). Пусть x0 — точка экстремума функции f. Тогда производная f0(x0) либо не существует, либо f0(x0) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о было приведено в § 6.1

Условие f0(x0) не является достаточным для точки экстремума, как видно на примере функции f(x) = x3, x0 = 0.

Теорема 3 (достаточные условия строгого экс-

тремума). Пусть f непрерывна в точке x0 и диффе-

˚ 0

ренцируема на U(x0). Пусть f меняет знак при переходе через точку x0. Тогда x0 — точка строгого экстремума.

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности f0 >

>0 в U(x0 − 0), f0 < 0 в U(x0 + 0). Тогда из формулы конечных приращений Лагранжа f(x) − f(x0) = f0(ξ)(x −

−x0) видно, что приращение функции f меняет знак с «−» на «+» при переходе через точку x0. Следовательно, x0 является точкой строгого максимума.

Условия теоремы не являются необходимыми условиями экстремума, как это видно на примере функции

(2x2 + x2 sin 1 при x 6= 0, f(x) = x

0при x = 0.

Определение. Точка x0 называется точкой возрастания (убывания) функции f, если в некоторых полуокрест-