all

Доказательство.

R2 = R × R

(R2) = (R) (R)

( , )( 1 × 2) = ( 1) · ( 2)?

Действительно,

( , )( 1 × 2) = (( , ) 1 × 2) = ( 1, 2) = |независимость| = = ( 1) · ( 2) = ( 1) · ( 2).

Лемма 24 (О свертке распределений).

Пусть , – нез. с.в. с ф.р. и . Тогда:

={ + 6 } ( , )( , ) = { + 6 } ( ) ( ) = |теор. Фубини| =

R2 R2

2.

Замечание:

Если 1 . . . – незав. с.в., то ( 1,..., ) = 1 . . . ,

1,..., ( 1 . . . ) = 1 ( 1) . . . ( )

51

и если имеет плотность ( ), то вектор = ( 1, . . . , ) тоже имеет плотность

∂( 1 . . . ) = 1 ( 1) · . . . · ( ) = ∂ 1 . . . ∂ ( 1 . . . )

Слабая сходимость вероятностный мер

Определение 1. Последовательность { ( ), N} функций распределения на R назыв. слабо сходящейся к функции распределения ( ), если ( ) – огр. непрер. функции на R

Определение 2. Последовательность { ( ), N} – функций распределения на R называется сходящейся в основном к функции распределения ( ), если C( ) :

( ) −−−→ ( )

→∞

Обозначение 4.

Теорема 1 (Александров).

Для вер. мер в R следующие условия эквивалентны

1. −→

52

Теорема 2 (Эквивательность пределений сходимости).

Пусть { , N}, – вероятностные меры на R, { ( ), N}, ( ) – соответств. им функции распределения.

Тогда следующие условия эквивалентны:

1. −→

2.

3. −→

4.

Доказательство. По теореме Александрова достаточно проверить, что (2) эквивалентно (4).

(2) (4) :

Пусть C( )

Тогда ∂((−∞; ]) = { }.

Значит,

( ) = ((−∞; ]) −−−−→ ((−∞; ]) = ( )

→

(4) (2) :

Такой выбор ( ′ , ′ ] возьмем в силу непр. вер. меры и того факта, что ( ) имеет не более чем счетное число точек разрыва. Тогда

∞

Устремим → ∞ :

Но ( ′ ) = (( ′ , ′ ])) = ( ′ ) − ( ′ ) −−−→ ( ′ ) − ( ′ ), так как ′ , ′ – точки непр. ( ).

→∞

Значит

В силу произвольности > 0, lim ( ) > ( )

53

Следствие 3. Пусть { , N}, – с.в. Тогда −→ ( ) −−−→ ( ) для C( )

→∞

Смысл сходимости по распределению:

Это апроксимация распределений.

Пусть – нек. с.в. со "сложным"распр. (сложно вычислить ф.р. ).

Пусть −→ , где распр. "легко"вычислить(или оно известно).

Если = для достаточно большого номера , то ф.р. можно апроксимировать ф.р. .

Предельные теоремы для схемы Бернулли

Описание модели: проводим большое число независимых однородных случ. экспериментов, в которых мы фиксируем "успех"или "неудачу".

Нас интересует распределение числа успехов при проведении большого числа экспериментов. Математическая модель:

{ , N} – нез. с.в. ( = 1) = , ( = 0) = 1 − =

Определение 1. Распределение наз. распр. Бернулли.

Обозначим = 1 + . . . + – число "успехов"после проведения испытаний.

Теорема 1 (Бернулли, 1703, ЗБЧ). →−

Несмотря на то, что распр. известно, практическое вычисление вероятностей вида ( 6 6) при очень больших затруднительно.

Теорема 2 (Пуассон).

Если ( ) → > 0, то Z+

54

Теорема 3 (Муавр-Лаплас).

Пусть = , ( , ). Обозначим для − ∞ 6 6 6 +∞

Следствие 2. В условиях теоремы Муавра-Лапласа

−∞

Но теорема Муавра-Лапласса именно это и утверждает

Характеристические функции

Определение 1. Характеристической функцией с.в. называется

( ) = , R

Замечание. Характеристическая функция, вообще говоря, явл. комплекснозначной. Мы понима- ем как

= cos( ) + sin( )

Определение 2. Пусть ( ), R – функция распределения на R Её характеристической функцией наз.

∫

( ) = ( )

R

Если – вероятностная мера на (R, (R)), то её характеристической ф-ей наз.

Следствие 1. ( ) – х.ф. с.в. ( ) – х.ф. ( ) ( ) – х.ф. (распр. )

Доказательство.

55

Определение 3. Пусть = ( 1, . . . , ) – случайный вектор. Его характеристической функцией наз.

Основные свойства характеристических функций

1Пусть ( ) – х.ф. с.в. .

Тогда | ( )| 6 (0) = 1, R

Доказательство.

| ( )| = | | 6 | | = 1 = (0)

2 Пусть ( ) – хар. ф. с.в. , а = + , , R. Тогда

( ) = ( )

Доказательство.

( ) = = ( + ) = ( ) = ( )

56

3 Пусть ( ) – х.ф.с.в. . Тогда ( ) равномерно непрерывна на R.

Доказательство.

При → 0, − 1 → 0 п.н.

Кроме того, | − 1| 6 2 по теореме Лебега о мажорируемой сходимости:

| − 1| −−−→ 0 ( ) равномерно непрерывна на R.

→0

4Пусть ( ) – х.ф. с. в. . Тогда ( ) = (− )

Доказательство.

( ) = = − = − = (− )

5Пусть ( ) – х.ф. с.в. . Тогда ( ) – действительнозначная распределение симметрично, т.е. (R)

( ) = ( − )

Доказательство.

( ) Пусть распр. – симметрично. Тогда = −

( ) = (− ) = − ( )

( ) = 0 ( ) = = ( ) R

–действительнозначная.

( ) Пусть ( ) R, R. Тогда по свойствам 2 и 4 .

( ) = ( ) = (− ) = (− ) = − ( )

т.е. у и у − одинаковая х.ф. по теореме о единственности функции распр. и − совпадают.

= − и, значит, для (R) :

( ) = (− ) = ( − )

57

Теорема 1 (о производных х.ф.).

Пусть | | < +∞, N. Тогда для 6 : ( )( ), причем

где | ( )| 6 3 | | и ( ) → 0, при → 0

Доказательство.

1.Заметим, что | | конечно для 6 т.к. | | 6 | | + 1 Рассмотрим

58

Теорема 2 (о разложении в ряд х.ф.).

Пусть – с.в. такова, что | | < +∞ для N. Если для некоторго > 0 выполнено