all

3.называется биномиальной случайной величиной , если она принимает значения {1, 2, . . . , }

и

( = ) = (1 − ) − , = 0, . . . ,

Обозначение: ( , )

4. называется пуассоновской случайной величиной, ( ), если принимает значения в Z+ и

Упражнение 5.

1.и независимы и независимы

2.1, . . . , – с.в. Тогда они независимы в совокупности 1, . . . , R:

3.Если и – независимы, и ( , ), ( , ), то + ( + , ).

4.Если ( 1), ( 2), то + ( 1 + 2).

Определение 5. Пусть – случайная величина. Её математическим ожиданием называют

3.Пусть - принимает значения ( 1, 2, . . .) Тогда для функции ( ):

∑

( ) = ( ) ( = )

4. Если 6 , то 6

21

5. Если и - независимы, то

=

Доказательство.

1. Очевидно из определения.

2.

3.Аналогично 2)

4.Очевидно из определения.

5.

( )

Следствие 1. Для матожидания (и ( )) достаточно знать распределение случайной величины .

Определение 6. – момент порядка случайной величины ( -й момент)

( − ) – центральный момент порядка случайной величины ( -й центральный момент).

( − 1) . . . ( − + 1) – факториальный момент порядка случайной величины , N

= ( − )2 – дисперсия случайной величины

Лемма 10 (свойства дисперсии).

1.= 2 − ( )2

2.> 0

3.( ) = 2

4.= 0 ( = ) = 1

Утверждение 2. Если – биномиальная: ( , ), то = (1 − )

Определение 7. Пусть и - две случайные величины. Ковариацией случайных величин и называется

cov( , ) = ( − )( − )

Если cov( , ) = 0, то и называются некоррелированными.

22

1.cov( , ) = −

2.Если и независимы, то они не коррелируют. (обратное неверно!)

3.= cov( , )

Утверждение 3.

( + ) = + + 2 cov( , )

Доказательство.

( + ) = ( + − ( + ))2 = ( − )2 + ( − )2 + 2 ( − )( − ) =

= + + 2 cov( , )

Следствие 2. Если и независимы, то ( + ) = +

Случайные элементы

Определение 1. Пусть ( , ) и ( , ) – два измеримых пространства. Отображение : → называется случайным элементом, если оно является - измеримым. (или - измеримым) т.е

{ } = −1( ) = { | ( ) } .

Определение 2.

Если ( , ) = (R, (R)), то случайный элемент называется случайной величиной. Если ( , ) = (R , (R )), то называется случайным вектором.

Лемма 11 (достаточное условие измеримости отображения).

Пусть ( , ) и ( , ) – два измеримых пространства, : → . Пусть таково, что( ) = . Тогда является случайным элементом для

−1( ) = { | ( ) }

Доказательство.

( ) очевидно из определения

( )

Рассмотрим систему множеств

= { | −1( ) }

Убедимся в том, что – это -алгебра. Операция праобраз сохраняет все теоретико-множественные операции.

−1 ( ) = −1( ) −1( )

23

Тогда

3. Если , , то −1( ) = −1( ) −1( )

– -алгебра и по условию в силу минимальности ( ) =

т.е : −1( ) и, стало быть, – случайный элемент.

Следствие 1.

1.– случайная величина на ( , ) R : { 6 } = { | ( ) 6 }

2.= ( 1, . . . , ) – случайный вектор на ( , ) : – случайная величина.

Доказательство.

( ) 1) и 2) очевидно из определения случайных величин и векторов

( )

1.Рассмотрим систему = { (−∞; ] | R }.

Тогда ( ) = (R). По условию −1( ) для . По лемме о достаточном условии измеримости получим, что – случайная величина.

2.Рассмотрим систему = { 1 × . . . | (R) } Тогда ( ) = (R )

−1( 1 × . . . × ) = { | 1( ) 1, . . . , ( ) } = −1( )

=1

−1( ) для . По лемме получаем, что – случайный вектор.

Смысл условия измеримости

Случайные величины и векторы — это численные и векторные характеристики случайных экспериментов. Нам нужно уметь вычилсять вероятности вида ( 6 ) или ( [ , ])

Но задана формально только на -алгебре Значит, нам нужно требовать, чтобы события вида { 6 } и { [ , ]} лежали в .

Действия над случайными величинами и векторами

Определение 1. Функция : R → R называется борелевской, если для (R )

−1( ) = { | ( ) } (R )

Лемма 12. Пусть = ( 1, . . . , ) – случайный вектор. : R → R – борелевская функция. Тогда ( ) – тоже случайный вектор.

Доказательство. Пусть (R ). Тогда

( ) – случайный вектор.

24

Теорема 1. Любая непрерывная или кусочно-непрерывная функция является борелевской.

Следствие 1.

Пусть и – случайные величины, R.

Тогда , + , + , − и (считаем, что ( ) ̸= 0 ) – тоже случайные величины.

Доказательство. ( , ) = или + – непрерывная функция в R2 борелевская. Константа – случайная величина по лемме получаем, что , + , + , − — случайные величины.

Рассмотрим

Характеристики случайных величин и векторов

Распределение случайной величины вектора.

Определение 1. Пусть ( , , ) – ветоятностное пространство, - случайная величина на нем. Тогда распределением называется вероятностная мера на (R, (R)) Заданная по правилу

( ) = ( ), (R).

25

Определение 2. Пусть - случайный вектор размерности на ( , , ). Тогда его распределением называется вероятностая мера R , (R ), заданная по правилу

( ) = ( ), (R)

Функция распределения

Определение 3. Пусть ( , , ) – вероятностное пространство. - случайная велличина на нем. Тогда функцией распределения случайной величины называется

( ) = ( 6 )

Определение 4. Случайная величина называется

∙дискретной, если её функция распределения дискретная.

∙абсолютно непрерывной, если её функция распределения абсолютно непрерывна. В этом случае

∫ +∞

( 6 ) = ( ) = ( )

−∞

и функция ( ) называется плотностью случайной величины .

∙сингулярной, если её функция распределения сингулярна

∙непрерывной, если её функция рапределение непрерывна.

Определение 5. Пусть = ( 1, . . . , ) – случайный вектор на ( , , ). Тогда его функцией распределения называется

( 1, . . . , ) = ( 1 6 1, . . . , 6 ).

Порожденная -алгебра

Определение 6. Пусть - случайная величина на ( , , ). Тогда -алгеброй , порожденнойназывается

= { { } | (R ) }

Определение 7. Если – случайный вектор размерности на ( , , ), то -алгеброй, порожденной называется

= { { } | (R ) }

Схема:

( , , ) →− (R, (R))

−→←− (R)

Определение 8. Пусть и – случайные величины. Будем говорить, что является - измеримой, если .

Упражнение 6. Пусть ( ) – борелевская функция, = ( ). Тогда – - измерима.

Теорема 1. Пусть - - измерима. Тогда борелевская функция ( ) т.ч = ( )

26

Определение 9.

Пусть – событие на ( , , ) Тогда случайная величина

{

1,

=

0, ̸

называется индикатором события

Определение 10. Случайная величина называется простой, если она принимает конечное число значений.

Тогда набор { 1, . . . , } из различных чисел т.ч

где события 1 . . . – разбиение . т.е = { = }

Определение 11. Пусть – случайная величина.

Тогда обозначим: + = max( , 0) и − = max(− , 0)

Ясно, что = + − −, | | = + + −

Теорема 2 (о приближении простыми).

Пусть – случайная величина. Тогда

1. Если > 0, то последовательность { , N} простых неотрицательных случайных

величин, т.ч ↑ (т.е. : ( ) 6 +1( ) и ( ) = lim ( )) и явл. -

измеримыми.

→∞

2.Если – произвольная случайная величина, то последовательность { , N} простыхизмеримых случайных величин т.ч. | | 6 | | и ( ) → ( )

Доказательство.

1. Положим

2.Пусть = + − − и пусть { , N} – последовательность простых - измеримых с.в. т.ч. ↑ +, а { , N} – последовательность простых - измеримых т.ч. ↑ −

Положим = − .

Тогда → и | | = | | + | | 6 | +| + | −| = | |

Математическое ожидание случайных величин

Пусть ( , , ) – вероятностное пространство, - случайная величина на нем. Что такое ? Простые случайные величины.

Пусть – простая случайная величина, т.е.

27

Определение 12. Для простой случайной величины её математическим ожиданием называют

Свойства математического ожидания для простых случайных величин

1.= = =

2.Линейность

Обозначим , = { = , = }. Тогда

( + ) ( = , = ) =

=1 , :+ =

∑∑

( + ) ( = , = ) =

( = ) + ( = ) = +

3. Если > 0, то > 0

Доказательство. Если > 0, то все > 0 > 0

4.Если 6 , то 6

Доказательство. Рассмотрим = − > 0. По свойству 3

0 6 = ( − ) = −

Неотрицательные случайные величины

Определение 13. Пусть – неотрицательная случайная величина, а { , N} – последовательность неотрицательных простых случайных величин, т.ч. ↑ .

Тогда 6 +1 предел и

:= lim

→∞

28

Лемма 14. Пусть { , N} и – простые неотрицательные случайные вечилины, причем↑ > . Тогда

lim >

→∞

Доказательство. Пусть > 0 фиксировано. Рассмотрим = { | − > − }

Тогда

= ( + ( > (( − ) ) =

− − > − ( ) − ( );

где = max ( ) Заметим, что = { > − } ↑

Ω

т.к. ↑ > ( ) → 1

Значит

lim > > −

→∞

В силу произвольности : lim >

→∞

Следствие 1. Определение математического ожидания для неотрицательных случайных величин корректно.

Доказательство. Пусть > 0 и ↑ , ↑ – последовательность простых неотрицательных случайных величин. Тогда в силу леммы

Произвольные случайные величины Определение 14. Пусть – произвольная случайная величина, = + − −

1.Если + и − – конечны, то := + − −

2.Если + = +∞ и − – конечно, то := +∞

3.Если + конечно и − = +∞, то := −∞

4.Если + = − = +∞, то не существует(не определено)

Замечание.

29

1.Математическое ожидание случайной величины это интеграл Лебега по вероятностной мере

ΩΩ

2.– конечно | | – конечно.

3.Множество случ. величин на ( , , ) с условием: – конечно, образует пространство1( , , ). Далее мы убедимся, что это линейное пространство.

Свойства математического ожидания

1Пусть – случайная величина, - конечно. Тогда для R ( ) конечно и

( ) =

Доказательство. Для простых , доказано ранее. Пусть > 0.

Если > 0, то возьмем последовательность простых неотрицательных случайных величинт.ч. ↑ . Тогда ↑

( ) = lim ( ) = lim =

→∞ →∞

Если < 0, то = −( )− = −(− )

( ) = − ( )− = − ((− ) ) =

Пусть - произвольная, > 0 Тогда

( ) = ( )+ − ( )− = + − − = ( + − −) =

Для < 0 действуем аналогично.

2 Если 6 и , - конечны, то

6

Доказательство. Для простых и - доказано. Пусть и - неотрицательны. Тогда

= sup 6 sup =

: 6 : 6

Пусть и - произвольные.

Тогда +( ) > +( ) и −( ) 6 −( )

= + − − 6 + − − =

3 Если - конечно, то

| | 6 | |

30