Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

all

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

487.46 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

В итоге


∑		∑
2 >	( 2 ) > 2	( ) = 2 ( )
=1		=1

Док-во теоремы Колмогорова-Хинчина.

∞

∑

Обозначим =

. Тогда

сходится п.н. (критерий Коши)

{ , N} фундаментальна с вероятностью 1 (критерий фундаментальности)

для

−

> )

−−−→

> 0 : (sup

→∞

Оценим её: Рассмотрим.

(sup | − | > ) = (

{| − | > }) = |непрерывность вер. меры| =

lim (

− | > }) = lim

max

| >

) =

| 6

+ −

→∞

∑

→∞

∑

→∞

− )

→∞

∞

−−−→→∞

lim

( +

lim

= +1

т.к. это остаток сходящегося ряда (по условию ∑ 2 < +∞)

Лемма 20 (Тёплиц).

Пусть последовательность → , { ,

т.ч. > 0 и =

∑

↑ +∞.

Тогда

∑

−−−→

→∞

Доказательство. Пусть > 0

– произвольное. Возьмём 0

= 0( ) т.ч. > 0

: | − | < 2

Далее, возьмем 1 > 0, т.ч.

∑

| − | < 2

Тогда для > 1

−

(

−

)

∑

∑0

| − |

− | 6 2

=∑0

6 =1

= +1

Лемма 21 (Кронекер).

∑

Пусть ряд сходится.

∑

{ , N} – некоторая последовательность

> 0 т.ч. =

↑ +∞

Тогда

−−−→

→∞

∑

Доказательство. Обозначим = 1 + . . . + . Тогда { } сходится.

( − −1) = −

−1( − −1) = −

−1

∑

Делим на :

−1

=1 = −

∑

∞

∑

−−−→

→∞ =1

∑

А по лемме Тёплица:

−

−−−→

→∞

∑

их разность стремится к нулю.

Теорема 4 (Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова-Хинчина) .

Пусть { , N} – независимые с.в. т.ч. < +∞ .

Пусть последовательность { ,

N} т.ч. >

0, ↑ +∞ и

∞

∑

< +∞

Обозначим = 1 + . . . . Тогда

−

п.н.

(при

)

−−→

→ ∞

Доказательство. Рассмотрим

− =

−

)

(

∑

Далее с.в. = − – независимы и = 0

Тогда

∞ 2 = ∞

(

−

2 = ∞

< +

∞

)

∑

по теореме о сходимости ряда, ряд

сходится п.н.

(

−

)

сходится к нулю для всех , для которых

Но по лемме Кронекера 1

∑

∞

−

∞

∑

сходится. А этот ряд сходится.

=	−	п.н.	0
		−−→

Следствие 1. Пусть { , N} – независимые случайные величины т.ч. 6 N

Обозначим = 1 + . . . + . Тогда

−

п.н.

−−→

Если, к тому же, = , то

п.н.

−−→

Доказательство. Возьмем = > 0, ↑ +∞.

Тогда

∑

< +∞

Согласно УЗБЧ

−

п.н.

(

)

−−→

→ ∞

Если же = , то = −

п.н.

− −−→ 0

−−→

Смысл УЗБЧ: обоснование феномена устойчивости частот появлений событий в последовательностях независимых экспериментов.

Если = {событие произошло в - том эксперимете} то

	1 + . . . +	п.н.
( ) =		−−→ 1	= ( )

Предельный переход под знаком

п.н.

Вопрос: −−→ → ?

Теорема 1 (О монотонной сходимости).

Пусть { , N}, , – с.в.

1. Если ↑ , > , N и > −∞, то = lim

→∞

2. Если ↓ , 6 , N и < +∞, то = lim

→∞

Теорема 2 (лемма Фату).

Пусть { , N}, – с.в., - конечно

Если

то

lim

Если

то

lim

Если

| | 6 , N

, то

lim

Доказательство.

1. Обозначим

= inf

. Тогда

↑

lim

По теореме о монотонной сходимости получаем

lim = lim

Осталось заметить, что

lim = lim = lim 6 lim

т.к. > ,

2.Следует из 1) заменой на −

3.Сразу следует из 1) и 2)

Теорема 3 (Лебега о мажорируюмой сходимости).

п.н.

Пусть { , N} – последовательность с.в. т.ч. −−→ и для : | | 6 , причем конечно.

Тогда = lim и, более того, | − | → 0 (т.е. −→ )

Доказательство. Заметим, что = lim = lim = lim п.н.

по лемме Фату
= lim 6 lim			6		6		=
= lim 6 lim			6	lim	6	lim	=


		=
lim		=
Конечность следует из того, что \| \| 6 п.н. и конечности
Для обоснования сходимости в 1		достаточно взять = \| − \|.
п.н.	→ 0
Тогда \| \| 6 2\| \| п.н. и −−→ 0	→ 0

Усиленный закон больших чисел для с.в. с конечным математическим ожиданием

Определение 1. Пусть { , N} – последовательность событий.

Тогда событием { бесконечное число} = { б.ч} наз. событие, заключающееся в том, что произошло бесконесное число событий в последовательности { , N}. Формально:

	∞
{ б.ч.} =
{ б.ч.} =

=1 >

Лемма 22 (Борель-Кантелли).

		∑
1.	Если	( ) < +∞, то ( б.ч.) = 0
		∑
2.	Если	( ) = +∞ и все - независимые, то ( б.ч.) = 1
Доказательство.

( б.ч.) =

∞

lim

∑

( ) = 0

→∞

( б.ч.) = lim

1 −

= lim

→∞

Но

= |непр. вер. меры| = lim

= lim

( ) =

→∞

∏

= lim

∑

∞

= 0

(1 ( )) 6 lim

−

( )

∑

∏

−

∏

− = ( )

−

= ( )

→∞ =

→∞

∞

∑

т.к. : ( ) = +∞

( б.ч.) = 1

Лемма 23. Пусть - неотр. с.в., - конечно. Тогда

			∞			∞		∞
			∑			∑		∑	( > )
			( > ) 6 6 1 +			( > ) =			( > )
			=1			=1		=0
Доказательство.
∞			∞ ∞		∞				∞
∑			∑ ∑	∑					∑
( > ) =			( 6 < + 1) =		( 6 < + 1) =				( 6 < + 1) =
=1			=1 =	=1					=0
= ∞	( { 6 < + 1}) 6			∞ ( { 6 < + 1}) = ( ∞ { 6 < + 1})							=
∑				∑				∑
=0		( ∞		=0				=1
= 6		( ∞	( + 1) { 6 < + 1}) =		∞	( > ) +	∞	( 6 < + 1) =		∞	( > ) + 1
		∑			∑		∑			∑
		=0			=1		=0			=1

Определение 2. Случайные величины и наз. одинаково распределенными , если у них совпадают функции распределения.

Обозначение: =

Утверждение 4. Если = , то для борелевской ( ) т.ч. ( ) конечно, выполнено:

( ) = ( )

Теорема 1 (Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова).

Пусть { , N} – независимые одинаково распределенные случ. величины (н.о.р.с.в), т.ч:

| | < +∞.

Тогда

1 + . . . +	п.н.
	−−→ = 1
	−−→ = 1

Доказательство. | | – конечно. Тогда по доказанной выше лемме:

∞

∑

(| 1| > ) < +∞

Всилу одинаковой распределенности:

∞∞

∑ ∑

(| 1| > ) = (| | > ) < +∞

Согласно лемме Бореля-Кантелли:

({| | > } б.ч.) = 0

с вероятностью 1 , кроме конечного числа, выполнено {| | 6 }. Обозначим ̃ = {| | 6 }.

Тогда с вероятностью 1, ̃ = , кроме конечного числа элементов. Считаем, что = 0

Получаем, что

( )

1 + . . . + → 0 = ̃1 + . . . + ̃ → 0

Рассмотрим ̃ :

̃ = {| | 6 } = 1 {| 1| < } −−−→ 1 = 0

→∞

Согласно лемме Тёплица

1 ∑

̃ → 0, при → ∞

Значит

̃1	+ . . . + ̃ −−→ 0
		п.н.

( ̃1	− ̃1) + . . . + ( ̃ − ̃ ) −−→ 0
		п.н.

Обозначим = −

̃ ̃ .

Согласно лемме Кронекера, если сходится ряд

∞

1 + . . . +

∑

, то

→ 0

(для фикс. )

∞

Согласно теореме

∑

Остается проверить, что ряд

сходится с вероятностью 1.

Колмогорова-Хинчина для этого достаточно показать (

- нез., = 0), что

∞

сходится ряд

∑

∞ 2

∞

∞ 2

∞ 1

( 12

{| 1| 6 }) =

=1 2 =

2 6

2̃

= =1 2

2 {| | 6 } = =1 2

∑

∞

∑

( 12

{ − 1 < | 1| 6 }) =

( 12 { − 1 < | 1| 6 }) ·

∞

6 =1 ( 12 { − 1 < | 1| 6 } · ) 6

2 =1 (| 1| { − 1 < | 1| 6 }) =

∑

( ∞

∑

= 2

| 1| { − 1 < | 1| 6 }) = 2 | 1| < +∞

∑

Замена переменных в интеграле Лебега

Пусть ( , , ) – вероятностное пространство, – с.в. на нем и – конечно.

Обозначения.

∫

1. = – интеграл Лебега от по вер. мере .

∫

2.:= ( ) для

Напоминание: Распределение – это вероятностная мера на (R, (R)) ( = ( )) Для вер. пр-ва (R, (R), ) тоже можно ввести мат. ожидание.

∫

1.( ) ( ) – мат. ожидание с.в. ( ) на таком пространстве.

∫

( ) ( ) := ∫

( ) ( ) ( ),

(R)

3.Если ( ) – ф.р. с.в. , то

( ) := ( )

Вопрос: можно ли вычислить ( ), зная только ее распределение?

Теорема 1 (замена переменных в интеграле Лебега).

Пусть = ( 1, . . . , ) – случайный вектор, : R → R – борелевская функция.

Тогда для (R) выполнено:	∫	( ) = ∫
( ( )) { } =	∫	( ) = ∫	( ) ( )
def
	{ }
	{ }

Доказательство. Пусть – простая: ( ) = ( ) для (R ). Тогда

( ) { } = { } { } = { ∩ } =

=	∫	( ) = ∫	( ) ( ) = ∫	( ) ( )
	∩

Если функция ( ) – простая неотрицательна, то искомое равенство следует из линейности мат. ожидания. Если ( ) – произвольная неотрицательная, то рассмотрим последовательность простых неотриц. ( ) т.ч. ( ) ↑ ( ).

Тогда по теореме о монотонной сходимости:

( ) { } −−−→ ( ) { }

→∞

∫

( ) ( ) −−−→ ( ) ( )

→∞

доказано для неотриц. ( ).

В общем случае, пользуемся разложением ( ) = +( ) − −( ) и линейностью математического ожидания.

Следствие 1.

1	Для вычисления ( ) достаточно знать только распределение		.
2	Для борелевской ( ): R → R и случ. вектора из R :
	( ) = ∫ ( ) ( )
	R
	Доказательство. Достаточно положить = R в теореме.
3	Если – с.в., то
	= ∫	( )
	R

Доказательство. Достаточно положить ( ) = в 2

4 Если = – одинаково распределены, то для борелевской ( ) : ( ) = ( )

Доказательство.

∫ ∫

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )

5Пусть – дискретная с.в. со значениями в = { }∞=1. Тогда для борелевской функции ( ) :

	∞	∞
	∑	∑
( ) =	( ) ( = ) =		( ) ({ })
	=1	=1

Доказательство. Если ( ) > 0, то		∑
Доказательство. Если ( ) > 0, то		( ) { = } ↑ ( )
		=1
по теореме о монотонной сходимости:			∞
			∞
	∑	( ) ( = ) =	∑
( ) = lim		( ) ( = ) =	( ) ( = )
→∞ =1			=1

В общем, раскладываем ( ) на + и − и пользуемся линейностью мат. ожидания.

Следствие 2. если – дискр. распр. на = { }, то

∫

∞

( ) ( ) = =1 ( ) ({ }) = ∫

( ) ( )

∑

Пример 14. Пусть ( ). Найти =?

( )

( = ) =

−

для Z+

Тогда

∞

−

∞

( = ) =

= −

∑

−

1)!

6Пусть – абсолютно непрерывная с.в. с плотностью ( ). Тогда для ( ) – борелевской функции:

∫

( ) = ( ) ( )

Доказательство. Пусть – ф.р. . Тогда по определению плотности,


( 6 ) = ( ) = ∫	( )
−∞

С другой стороны,


( 6 ) = ((−∞, ]) = ∫		( )
( ) = ( )	−∞
( ) = ( )
В итоге,	∫
∫	∫

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

Пример 15. Пусть ( , 2). Вычислить . Плотность ( , 2) равна:

1			−	( − )2
=	√			2 2
		2 2

Тогда

= ∫

( ) = ∫

−

( − )2

√

2 2

( − )2

= ∫

( − )

√

−

+ ∫

( ) =

2 2

Замечание. Если = ( 1, . . . , ) – случайный вектор с плотностью ( 1, . . . , ), то для : R → R – борелевской функции:

∫

( 1, . . . , ) = ( 1, . . . , ) ( 1, . . . , ) 1 . . .

Пример 16. Если ( , ) имеет плотность ( , )( , ), то

∫

= ( , )( , )

Прямое произведение вероятностных пространств

Определение 1. Пусть ( , 1, 1) и ( , 2, 2) – два вероятностных пространства. Тогда вероятностное пространство ( , , ) наз. их прямым произведением , если

∙= 1 × 2

∙= 1 2, т.е.

= ({ 1 × 2 | 1 1, 2 2 })

∙= 1 2, т.е.

– это продолжение меры 1 × 2, заданной на прямоугольниках 1 × 2, по правилу ( 1 × 2) = 1( 1) · 2( 2)

Такое продолжение и единственно по теореме Каратеодори.

Теорема 1 (Фубини).

Пусть ( , , ) – прямое произведение ( , 1, 1) и ( , 2, 2).

∫

Пусть с.в : → R т.ч.			\| ( 1, 2)\| < +∞
и 1, являются	∫		Ω			2	, 1 соотв., и кроме того,
и 1, являются	∫		∫			2	, 1 соотв., и кроме того,
Тогда интегралы		( 1, 2) 1 и		( 1, 2) 2			определены почти наверное относительно 2
	Ω1		Ω2
	измеримыми отностительно
	∫	( 1, 2) = ∫		∫	( 1, 2) 2 1 = ∫ ∫			( 1, 2) 1 2
	Ω		Ω1 Ω2				Ω2 Ω1

Смысл теоремы: Двойной интеграл = повторному интегралу

Утверждение 5. Пусть , – независ. с.в.

Тогда (R2, (R2), ( , )) явл. прямым произведением (R2, (R2), ) и (R2, (R2), )

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015613.15 Кб8ADP1715_1716.pdf
#
03.06.201515.01 Mб713Aircraft_design.pdf
#
03.06.20151.92 Mб44algebcodes (1).pdf
#
03.06.20151.79 Mб51algebcodes_1.pdf
#
24.09.2019110.59 Кб3Algebra_bilety_leto_2012.doc
#
03.06.2015487.46 Кб22all.pdf
#
01.07.2025121.86 Кб0altman.doc
#
03.06.20151.58 Mб8AT45DB642D.pdf
#
03.06.20157.35 Mб20AutumnALL.1.doc
#
03.06.20153.51 Mб18AutumnALL.2.doc
#
03.06.2015144.38 Кб16auzan_111007.02.02.01.doc.doc