Планирование эксперимента - лекция09
.pdf
Лекция №9.
Точечные оценки параметров
Темы:
o Что такое оценка, качество оценки o Оценка среднего
o Оценка дисперсии o Построение оценок
o Критерий Колмогорова-Смирнова
Точечные оценки
Определение. Точечной оценкой параметра назовем способ определения ожидаемого значения параметра случайной величины по набору ее наблюдений.
|
1. |
x1 |
... x5 |
5 |
||
|
2. |
x1 |
x3 |
|
2 |
|
x1, x2 , x3 , x4 , x5 |
3. 4 |
|
|
|
|
|
M x ? |
4. x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5. |
2x3 x4 |
|
|
|
|
|
6. |
x |
x |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
7. |
Max Min |
2 |
|||
8. Me
Несмещенность
Определение. Оценочной функцией f параметра от n аргументов назовем любую функцию от n аргументов, принимающую числовые значения.
Определение. Оценкой параметра случайной
величины ξ при помощи оценочной функции f
назовем случайную величину f 1,..., n , где 1,..., n – независимые случайные величины, распределенные
так же, как ξ.
Определение. Оценка параметра случайной величины ξ при помощи оценочной функции f называется несмещенной, если
M f 1,..., n
Несмещенность
1.M x1 ... x5 
5 M x
2.M x1 x3 
2 M x
3.M 4 4
4.M x1 M x
5.M 2x3 x4 M x
6.M x1 x2 2 
2 M x , если распр-е по Пуассону
7.M Max Min 
2 M x , если распр-е симметрично
8.M Me M x , если распр-е симметрично
Состоятельность
Определение. Оценка параметра случайной величины ξ при помощи оценочной функции f называется асимптотически несмещенной или
состоятельной, если
M f 1,..., n при n
Состоятельные оценки – такие оценки, смещение которых стремится к нулю при увеличении объема наблюдений.
Эффективность
Определение. Одна несмещенная оценка параметра называется эффективнее другой несмещенной оценки этого параметра, если для любой случайной величины ξ ее дисперсия меньше.
1.D x1 ... x5 
5 D x 
5
2.D x1 x3 
2 D x 
2
3.D 4 0
4.D x1 D x
5.D 2x3 x4 D 2 3 D 4 4D 3 D 4 5D
Эффективность
7. Если случайная величина распределена более компактно, чем нормальная (kurtosis < 0), то
D Max Min 
2 D x 
5
8. Если случайная величина распределена менее компактно, чем нормальная (kurtosis > 0), то
D Me D x 
5
Робастность
Определение. Робастностью оценки называется ее устойчивость к сильным возмущениям малой доли наблюдений.
! Стандартная оценка математического ожидания через среднее арифметическое неробастна, т.е. неустойчива к большим возмущениям малой доли наблюдений.
Оценка среднего
Достоинства:
o несмещенность;
oнаилучшая эффективность при работе с нормально распределенными случайными величинами.
Недостатки:
oпри работе с некоторыми специальными классами случайных величин есть более эффективные оценки;
oнеробастность, поэтому при работе со средним арифметическим нужно проверять на наличие выскакивающих вариант (грубых промахов).
Оценка дисперсии
Дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:
S 1n x1 m 2 ... xn m 2
Часто у случайной величины неизвестны и математическое ожидание, и дисперсия:
S 1n x1 x 2 ... xn x 2