Планирование эксперимента - лекция09
.pdf
Оценка дисперсии
Без ограничения общности можно считать, что математическое ожидание равно нулю, тогда:
M S 1n M 1 2 ... M n 2 M 2
M 2 M 1
n 1 2n
|
1 |
... |
|
2 |
M |
n 1 |
|
|
1 |
|
|
... |
1 |
|
2 |
|
||
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
n |
||||||||||
|
n |
1 |
|
|
n |
1 |
|
n |
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 2 |
|
1 2 |
M n2 |
M 12 |
|
M 22 ... |
|
|
|
n |
|
n |
|
Оценка дисперсии
Поскольку все ξ – случайные величины с нулевым математическим ожиданием, то математическое ожидание их квадрата равно их дисперсии, а так как они распределены одинаково, эти дисперсии тоже одинаковы:
|
|
|
2 |
n 1 |
2 |
|
1 2 |
n 1 |
|
||||
M S M |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
D n 1 |
|
D |
|
|
D |
|||
|
n |
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
Для того, чтобы получить несмещенную оценку, нужно в выражении для оценки делить не на n, а на n–1:
S |
1 |
|
x1 x 2 ... xn x 2 |
|
n 1 |
||||
|
|
|||
Построение оценок
Метод наибольшего правдоподобия
Пусть имеется дискретная случайная величина ξ, заданная с точностью до параметра , так что для
любого x
P x – функция от
Пусть результаты измерений равны x1,..., xn
Функция правдоподобия:
L P x1 ... P xn
Построение оценок
Метод наибольшего правдоподобия
В качестве оценки параметра по набору наблюдений x1,..., xn берут то значение , при
котором L максимально.
Оценка наибольшего правдоподобия – то значение параметра, при котором наблюдаемый в эксперименте набор значений наиболее вероятен.
Построение оценок
Пусть ξ – случайная величина, распределенная по Пуассону с неизвестным математическим ожиданием .
|
|
|
|
|
|
|
|
P x x |
e |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
x1 |
|
e ... xn |
e |
|
x1 ... xn |
e n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 ! |
|
xn ! |
|
|
x1 |
!x2 |
!...xn ! |
|
|||
ln L x1 |
... xn ln ln x1 |
!x2 |
!...xn ! n |
||||||||||||||
d ln L |
|
|
|
|
x1 ... xn |
n 0, т.е. |
1 |
x1 ... xn |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
Построение оценок
Качество оценок наибольшего правдоподобия:
o состоятельны (асимптотически несмещенные); o наиболее эффективны в своем классе.
Недостатки:
не всегда несмещенные.
Построение оценок
Пример: подсчет плотности органелл в клетке
|
Построение оценок |
|
|
|
|
|||||
|
Пример: подсчет плотности органелл в клетке |
|||||||||
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точек |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
число |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
0,15 |
0,25 |
0,35 |
0,45 |
0,55 |
0,65 |
0,75 |
0,85 |
0,95 |
|
|
|
|
|
радиус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На плоскости |
В шаре |
|
|
|
|
K-S-тест
Как определить, к какому классу случайных величин относится измеряемая на практике?
Способы:
o критерий «хи-квадрат»;
o критерий Колмогорова–Смирнова
K-S-тест
Пусть F x – истинная функция распределения;
Fn x – функция распределения, построенная по n измерениям.
Тогда функция распределения величины
Z n 
n sup F x Fn x
x
при n сходится к функции Колмогорова K y