Задавальник по СЛУПАМ 5 семестр

8.Переходные вероятности марковской цепи (Xt; t > 0) с фазовым пространством X = f1; 2; 3g имеют вид:

p11(h) = 1 h + o(h), p12(h) = h + o(h), p13(h) = o(h) при h ! 0+; p21(h) = o(h), p22(h) = 1 h + o(h), p23(h) = h + o(h) при h ! 0+; p31(h) = h + o(h), p32(h) = o(h), p33(h) = 1 h + o(h) при h ! 0+.

Докажите, что такая цепь удовлетворяет условию эргодической теоремы. Найдите ее инфинитезимальную матрицу и стационарное распределение.

9.Пусть X1; : : : ; Xn независимые неотрицательные одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F (x). Является ли процесс Y = (Y (x); x >

0), где

это эмпирическая функция распределения, марковской цепью? Если да, то найдите

еепереходные вероятности и проверьте на однородность.

9.Интегрирование и дифференцирование в L2

1.Являются ли пуассоновский процесс (Nt; t > 0) и винеровский процесс (Wt; t > 0) дифференцируемыми а) по вероятности, б) в среднем квадратичном?

2.Пусть ( n; n 2 N) гауссовские случайные векторы размерности m. Докажите, что

L2

если n ! , то тоже гауссовский вектор.

3.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс. Найдите распределение случайной величины Xt = R0t Wsds. Докажите, что процесс (Xt; t > 0) является гауссовским. Найдите его ковариационную функцию.

t

4. Задан случайный процесс Xt = R e Wsds, где Ws винеровский процесс. Найдите

0

математическое ожидание и ковариационную функцию процесса Xt.

5. Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс. Вычислите для t > 0 предел в L2 при

n ! 1 у выражения

n

X

Wt(i 1)=n Wti=n Wt(i 1)=n :

i=1

10.Стационарные процессы

1.Пусть N = fN(t); t > 0g пуассоновский процесс интенсивности , а случайная величина не зависит от N; причем P( = 1) = P( = 1) = 1=2: Является ли процесс Xt = ( 1)Nt стационарным, и в каком смысле?

11

2.Пусть f периодическая функция на R с периодом T > 0. Случайная величина равномерно распределена на [0; T ]. Случайный вектор ( ; ) не зависит от . Докажите, что процесс Xt = f( t + ) стационарен в узком смысле.

3.Пусть Wt(1) и Wt(2) независимые винеровские процессы. Для любого t 2 R положим Xt = Wt(1)Ift > 0g + W (2)t Ift < 0g. Докажите, что процесс Yt = h1 (Xt Xt h) является стационарным в широком смысле. Найдите его ковариационную функцию

испектральную плотность.

4.Пусть (Xt; t 2 R) гауссовский процесс с нулевой функцией среднего и ковариационной функцией r(s; t) = a e bjs tj, a; b > 0. Докажите, что такой процесс существует

инайдите его спектральную плотность.

11.Спектральное представление

1.Пусть множество, A алгебра его подмножеств, а мера на A. Пусть отображение Z : A ! L2( ; F; P) удовлетворяет равенству

EZ(B)Z(C) = (B \ C) для любых B; C 2 A:

Докажите, что Z есть ортогональная мера на A.

2.Пусть 1; : : : ; k числа из отрезка [ ; ], а 1; : : : ; k центрированные попарно некоррелированные случайные величины. Докажите, что процесс (Xn; n 2 Z), где

k

X

Xn = ei jn j; j=1

является стационарным в широком смысле и найдите его спектральное представление.

Вычислите спектральную плотность процесса Xn.

4.Пусть fXn; n 2 Zg стационарная в широком смысле последовательность со средним a и ковариационной функцией R(n). Докажите, что

n

1 X L2

n

Xk ! a

k=1

тогда и только тогда, когда

n

1 X

n

R(k) ! 0:

k=1

12

5.Пусть P (x) = a0 +a1x+: : :+anxn многочлен, а P dtd соответствующий оператор дифференцирования в L2. Пусть ( t; t 2 R) стационарный в широком смысле процесс с известным спектральным представлением. Стационарный в широком смысле процесс (Xt; t 2 R) имеет спектральное представление и, кроме того, удовлетворяет

уравнению

Найдите спектральное представление для Xt. При каких условиях на многочлен P решение уравнения единственно?

6.Стационарный процесс (Yt; t 2 R) удовлетворяет равенству dYt=dt = Xt, где стационарный процесс (Xt; t 2 R) имеет спектральную плотность f( ) = 2Ifj j < 1g. Найдите cov(Y1; Y0).

7.Случайный процесс (Xt; t 2 R) является центрированным и стационарным в широком смысле. Его спектральная плотность равна f( ) = j j I[ 2;2]( ). Используя

спектральное представление, найдите спектральную плотность процесса Yt, удовлетворяющего уравнению dtd22 Yt + 5Yt = Xt: Вычислите DY1.

8.Пусть (Xt; t 2 R) стационарный в широком смысле процесс, а

Z

Xt = m + eit Z(d );

R

его спектральное представление. Докажите, что

13