Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

тика утверждала, что по своему результату сложение движений во втором смысле не может отличаться от сложения в первом смысле. Это происходит потому, что в дорелятивистской физике длины от­ резков и промежутков времени не зависят от того, в какой системе отсчета они измеряются. Сложение скоростей и во втором смысле в дорелятивистской кинематике происходило по правилу парал­ лелограмма, т. е. совпадало с математическим сложением векторов. В релятивистской кинематике это уже не так. Сложение скоростей во втором смысле не подчиняется правилу параллелограмма. Это правило приближенно верно только в пределе, когда обе складывае­ мые скорости очень малы по сравнению со скоростью света.

7. Каждому вектору а (ах, ау, аг) и скаляру X можно аксио­ матически сопоставить объект Ха, задаваемый упорядоченной тройкой чисел Хах, Хау, Хаг. Легко убедиться, что такой объект будет вектором. Он называется произведением скаляра X на вектор а. Бесконечно малое приращение вектора da само является вектором. Бесконечно малое приращение любого скаляра t есть также скаляр dt. Этим двум величинам можно сопоставить вектор

da = d~ , называемый производной вектора а по скаляру t.

8. Теперь мы в состоянии доказать векторную природу многих физических величин, с которыми имеет дело механика. Прежде всего, смещение точки из какого-либо положения А в другое поло­ жение В вдоль соединяющего их прямолинейного отрезка АВ есть вектор. Это очевидно, так как по самому определению при смещении начала и повороте координатных осей компоненты вектора должны преобразовываться так же, как проекции направленного отрезка. Обозначим рассматриваемый отрезок г. Продифференцируем этот отрезок по времени t в предположении, что начальная точка его

закреплена. Производная ^ будет вектором, так как время —

скаляр. Но такая производная есть скорость точки v. Таким обра­ зом, скорость v есть также вектор. Дифференцируя v снова по

не самопересекающуюся замкнутую кривую, проходимую в какомто определенном направлении. Спроектируем этот контур на ко­ ординатные плоскости прямоугольной системы координат XYZ. Получим три ориентированных плоских замкнутых контура

в противоположном случае. Положительные направления обхода контуров Lx, Lv, Lz задаются по-разному в зависимости от того, какая используется система координат — правая или левая. В пра­

В левой системе будет то же самое, если взять буравчик с левой нарезкой. При таком соглашении о знаках площади Sx, Sy, Sz представляются интегралами

плоский. Вдоль нормали к плоскости контура отложим направлен­ ный отрезок А, длина которого численно равна площади S, огра­ ниченной контуром L, а направление находится в правовинтовом соотношении с направлением обхода по контуру, если используется правая система координат, и в левовинтовом соотношении, если используется левая система (рис. 16). Сначала будем пользоваться системами координат только какого-либо определенного типа: либо только одними правыми, либо только одними левыми. Построенный нами отрезок А совершенно не зависит от выбора координатных осей, а потому является вектором. Его проекции на координатные

число п малых ориентированных областей, как указано на рис. 17.

области. Число п можно взять сколь угодно большим и рассматри­

либо правой, либо левой. Однако они ведут себя существенно иначе при переходе от правой системы координат к левой или наоборот,

например, при инверсии координатных осей. В этом случае для нахождения направления S надо перейти от одного винта к другому. Если в правой системе координат величину S изобразить стрел-

изложенным выше векторное произведение можно изобразить стрел­ кой, направленной перпендикулярно к плоскости параллелограмма и находящийся в нужном винтовом соотношении с направлением обхода периметра параллелограмма. Длина стрелки численно равна площади параллелограмма, т. е. ab sin Ь, где Ь — угол между векторами а и Ь. Векторное произведение мы будем обозначать

Рис. 18.

символом с — [ab], т. е. будем заключать векторы а и & в квадрат­ ные скобки. Часто употребляется также косой крест: с = а X Ь.

Если векторы а и Ь — полярные, то векторное произведение их будет вектором, аксиальным. Векторное произведение полярного вектора на аксиальный есть вектор полярный. Векторное произве­ дение двух аксиальных векторов есть также аксиальный вектор.

2.Доказать, что скалярное произведение полярного вектора на аксиальный есть псевдоскаляр (псевдоинвариант).

3.Доказать, что скалярное произведение любых двух векторов а и & пред­

совсем нет, то смешанное произведение будет скаляром (инвариантом). Показать, что смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построен­

a the sin а. Поскольку этот вектор лежит в плоскости рисунка, его можно разло­

если условиться разлагать его по элементам первой строки, состоящей из единич­ ных векторов /, у, k вдоль координатных осей прямоугольной системы координат. Запись справедлива и в правых и в левых системах координат. Компоненты векторного произведения определяются одними и теми же формулами, независимо от того, какие (прямоугольные) системы координат используются. С этим и связано то обстоятельство, что векторное произведение — аксиальный вектор.

8. Доказать, что в прямоугольной системе координат

9. Пусть et, е2, е3 — произвольные векторы, не лежащие в одной плоскости. Векторы

называются по отношению к ним взаимными. Очевидно, что они также не лежат в одной плоскости. Показать, что

§8. Степени свободы и обобщенные координаты

1.Положение точки в пространстве можно задать тремя прямо­ угольными координатами х, у, г. Но это можно сделать и иначе. Например, вместо прямоугольных можно взять полярные или какие-либо другие координаты. Существенно, однако, что при любом выборе число независимых координат, требующихся для однозначного определения положения точки, которая может пере­ мещаться в пространстве как угодно, равно трем. Про такую точку говорят, что она обладает тремя степенями свободы.

Может случиться, что перемещение точки в заданных условиях не может быть каким угодно. Рассмотрим, например, маленький шарик, привязанный к концу нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен (математический маятник). Если нить натянута, то шарик может перемещаться только по поверхности сферы с цент­ ром в точке закрепления. Можно привести много других примеров, в которых материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В подобных случаях говорят, что на ее движение наложены связи. Координаты х, у, г такой точки должны удовлетворять соотношению вида / (х, у, z) = 0, которое является уравнением рассматриваемой поверхности. Ввиду этого независимыми остаются только две координаты, например х и у.

Если точка может перемещаться только вдоль какой-либо задан­ ной кривой, то число независимых координат, требующихся для определения ее положения, снижается до одного. За координату можно принять, например, расстояние материальной точки от какой-либо точки рассматриваемой кривой, отсчитанное вдоль этой кривой. В таких случаях говорят, что точка обладает одной степенью свободы.

§ 8] С Т Е П Е Н И С В О Б О Д Ы И О Б О Б Щ Е Н Н Ы Е К О О Р Д И Н А Т Ы 61

2. Все сказанное без труда обобщается на случай механической системы, состоящей из произвольного числа п материальных точек. Если эти точки могут перемещаться без всяких ограничений, то для определения мгновенного положения их надо задать Зп коор­ динат (по три координаты для каждой точки). В этом случае гово­ рят, что система обладает Зп степенями свободы. В некоторых зада­ чах, однако, свобода перемещения материальных точек ограничена. На Зп координат налагаются дополнительные условия, называемые связями. Для однозначного определения положения всех материаль­ ных точек системы достаточно знать меньшее число координат.

ее положение можно задать значением центрального угла ср, кото­ рый радиус-вектор вращающейся точки образует с положением его

угодно, лишь бы они в любой момент времени полностью опреде­ ляли положение механической системы. Однако число независимых обобщенных координат / во всех случаях будет одно и то же. Оно называется числом степеней свободы системы.

3. Определим, например, число степеней свободы идеально твердого тела. Идеально твердым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени. Докажем, что идеально твердое тело, если на его движение не наложены никакие ограничения, обладает шестью степенями

62 К И Н Е М А Т И К А [ Г Л . I

свободы. Действительно, чтобы однозначно определить положение твердого тела, достаточно задать положение каких-либо трех его точек А, В, С, не лежащих на одной прямой (рис. 20). Для дока­ зательства возьмем произвольную четвертую точку тела D. Расстоя­ ния AD, BD и CD для рассматриваемого твердого тела могут счи­ таться известными, так как при любых движениях эти расстояния не изменяются. Кроме того, следует учесть, что при любых движе­ ниях твердого тела точка D все время должна находиться по одну

Его основание АС в пространстве фиксировано. Чтобы найти поло­ жение вершины D, будем вращать треугольник ADC вокруг осно­ вания АС, пока вершина D не окажется на заданном расстоянии от третьей точки В. Этому условию удовлетворяют две точки D и D'. Но вторая из них не удовлетворяет условиям задачи, так как она находится не с той стороны от плоскости треугольника ABC. Таким образом, зная положение трех точек А, В, С, можно геометрическим построением найти положение любой другой точки твердого тела.

поскольку длины АВ, ВС и СА не изменяются. Независимых коор^ динат остается только шесть — твердое тело имеет шесть степеней свободы.

При ограничении свободы движения число степеней свободы твердого тела уменьшается. Так, твердое тело, одна из точек кото­ рого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки и имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы. Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы становится равным двум и т. д.

Г Л А В А -II

ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

В этой главе излагаются основные законы динамики — той части классической механики, которая занимается изучением дви­ жения тел в связи с действующими на них силами. Сила, действую­ щая на тело, является мерой взаимодействия его с окружающими материальными объектами (другими телами, полями). Более полное определение приводится несколько ниже.

Законы динамики были установлены Ньютоном и носят его имя. Как и другие принципы, лежащие в основе физики, они являются обобщением опытных фактов. На них следует смотреть не как на изолированные независимые утверждения, а как на систему взаи­ мосвязанных законов. Опытной проверке подвергается не каждый закон в отдельности, а вся система в целом.

Ввиду исключительной роли, которую играют законы Ньютона в механике, приведем их в том виде, в каком они были сфор­