Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

какой-либо неподвижной точки О, условно принимаемой за начало координат (рис. 7). Пусть в момент времени t материальная точка находится в положении М с радиусом-вектором г = г (/). Спустя короткое время At, она переместится в положение Мг с радиусомвектором rx = г (t + At). Радиус-вектор материальной точки по­ лучит приращение, определяемое геометрической разностью Аг = = гг — г. Величина

называется истинной или

мгновенной скоростью мате­ риальной точки. Истинная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движущейся точки.

Совершенно аналогично определяется ускорение при криволи­ нейном движении. Ускорением а называется вектор, равный первой производной вектора скорости v или второй производной ради­ уса-вектора г по времени:

2.Отметим следующую формальную аналогию между скоростью

иускорением. Из произвольной неподвижной точки Ох будем от­ кладывать вектор скорости v движущейся точки во всевозможные моменты времени (рис. 8). Конец вектора v назовем скоростной точкой. Геометрическое место скоростных точек есть кривая, назы­ ваемая годографом скорости. Когда материальная точка описывает траекторию, соответствующая ей скоростная точка движется по

Знак минус указывает на то, что направления векторов а и г вза­ имно противоположны, т. е. ускорение а направлено к центру круговой траектории, по которой вращается материальная точка. Можно также написать для любого положения движущейся точки

где п — единичный вектор нормали к круговой траектории дви­ жущейся точки, направленный к центру О (см. рис. 9, а).

Мг

А,

Рис. 9.

Имея в виду дальнейшие обобщения, представим вектор ско­ рости в виде v •= vs, где s — единичный вектор касательной к окружности. Первый множитель v дает численную величину скорости, второй множитель * указывает ее направление. При рав­ номерном вращении абсолютное значение скорости v остается неиз­ менным, меняется только направление скорости, т. е. единичный вектор s. Дифференцированию подлежит только этот вектор, a no­

за время dt при ее вращении по окружности. Эта положительная величина равна ds — vdt. Поэтому предыдущую формулу можно переписать в виде

Вэтом виде формула не содержит никаких кинематических величин.

Внее входят только геометрические величины, характеризующие окружность. Поэтому она может быть получеа нчисто геометри­ чески без привлечения кинематических понятий. Она определяет производную единичного вектора касательной s по длине дуги

окружности. Взаимная перпендикулярность векторов s и-^-^или

^ j объясняется тем, что длина вектора s постоянна, меняется только

направление этого вектора. Треугольник, составленный из век­ торов s, s + As и As (рис. 10), — равнобедренный. При стремлении элемента дуги As к нулю стремится к нулю угол а при его вершине.

вектор, направленный нормально к кривой в сторону ее вогнутости. Эту производную можно поэтому представить в виде (4.10), рассмат­ ривая величину 1/г как коэффициент пропорциональности между

векторами^ и л. Фактическое содержание этой формулы сводится

В остальном на нее надо смотреть как на определение двух новых

считается существенно положительной, а потому единичный вектор я всегда направлен в сторону вогнутости кривой. Оправданием такой терминологии служит интуитивное представление, что при рассмотрении кривизны малый элемент кривой приближенно можно рассматривать как дугу окружности. Это приближение тем точнее, чем меньше длина дуги As. В случае окружности кривизна 1/г постоянна на протяжении всей кривой. В общем случае произволь­ ной гладкой кривой кривизна непрерывно меняется от точки к точке. Непрерывно меняется и направление единичного вектора главной нормали л. Кинематическая формула (4.9) также справедлива для

38 К И Н Е М А Т И К А [ Г Л . I

движения вдоль произвольной кривой и притом независимо от того, постоянна величина v или меняется с течением времени. Действительно, формула (4.10) получается из формулы (4.9) с по­ мощью соотношения ds = vdt.

Все геометрические кривые разделяются на плоские и кривые двоякой кривизны. Плоской кривой называется кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Примерами плоских кривых

не могут быть уложены в одной плоскости. Примером подобной кривой может служить винтовая линия — спираль. Плоскость, в которой лежат касательная и главная нормаль к кривой, назы­ вается соприкасающейся плоскостью. Для плоской кривой сопри­ касающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая. К понятию соприкасающейся плоскости приводит следую­ щее интуитивное представление. Произвольную конечную дугу кривой двоякой кривизны, разумеется, нельзя уложить в плос­ кость. Но чем меньше дуга кривой, тем точнее она приближается к элементу плоской кривой, тем с меньшей ошибкой ее можно уложить о плоскости. Такая плоскость приближенно и воспроиз­ водит соприкасающуюся плоскость. Это интуитивное представление можно превратить в точное определение с помощью предельного перехода. Пусть М (см. рис. 7) —произвольная точка на кривой. Проведем в ней касательную МС и хорду ММг. Этими двумя пря­ мыми, вообще говоря, определится некоторая плоскость СММ^. Будем неограниченно приближать точку Мх к точке М. Тогда указанная плоскость, вообще говоря, будет стремиться к некото­ рому определенному предельному положению. Это предельное положение и называется соприкасающейся плоскостью. Перпен­ дикуляр к соприкасающейся плоскости в точке М называется

бинормалью к кривой.

5. При равномерном вращении точки по окружности ускорение направлено к ее центру, т. е. перпендикулярно к траектории. Ускорение перпендикулярно к траектории и при движении по лю­ бой кривой, если только скорость движущейся точки не меняется по величине. Не так будет, когда меняется также и величина скорости. Чтобы разобрать этот вопрос, представим вектор скорости в виде v = vs. Применяя к этому выражению правило дифференцирова­

Отсюда следует, что вектор ускорения а лежит в плоскости векторов s и п, т. е. в соприкасающейся плоскости; вектор а не имеет составляющей по бинормали к траектории. В общем случае ускорение а направлено под углом к траектории. Первое слага­ емое в формуле (4.11)

есть вектор, направленный по касательной к траектории. Этот вектор называется касательным или тангенциальным ускорением.

Второе слагаемое

есть вектор, направленный вдоль главной нормали в сторону вогнутости траектории. Он называется нормальным ускорением. Таким образом, в общем случае ускорение а можно представить в виде геометрической суммы тан­ генциального и нормального ус­ корений:

t + At, когда она переместилась в положение Мх (не обозначенное на рисунке). Отложим оба вектора v и г»х из одной и той же точки М и разложим приращение Av скорости на две составляющие: составляющую Avt вдоль вектора v и составляющую Avn, перпен­ дикулярную к этому вектору. При уменьшении At оба отношения

~м~ и ~КГ ^УД УТ стремиться к определенным пределам. Первый

из них есть тангенциальное, а второй — нормальное ускорения. При вычислении скорости точки бесконечно малую дугу траек­

тории можно аппроксимировать бесконечно коротким прямолиней­ ным отрезком, направление которого совпадает с направлением касательной к траектории. При определении ускорения такая аппроксимация уже не годится. Однако, как видно из рассужде­ ний настоящего параграфа, при вычислении ускорения бесконечно малую дугу траектории можно аппроксимировать дугой окружности, плоскость которой совпадает с соприкасающейся плоскостью,

4 0 К И Н Е М А Т И К А [ Г Л . I

а радиус равен радиусу кривизны траектории в рассматриваемой точке. Но и такая аппроксимация оказалась бы недостаточной, если бы потребовалось вычислить производные радиуса-вектора более высокого порядка: г, г и т . д.

ЗА Д А Ч И

1.Шарик, которому сообщена горизонтальная скорость v, падает на гори­ зонтальную плиту с высоты h. При каждом ударе о плиту теряется часть скорости (отношение вертикальной составляющей скорости после удара к ее значению до удара постоянно и равно а).

Определить, на каком расстоянии х от места бросания отскоки шарика

прекратятся. Считать, что трение отсутствует, так что горизонтальная состав­ ляющая скорости шарика v не меняется.

Ускорение направлено к центру эллипса и пропорционально /'. В частном случае А = В—эллипс вырождается в круг, а формула (4.16) переходит в известную фор­ мулу для центростремительного ускорения при равномерном вращении по кругу.

3. Установить связь между звездными и средними солнечными сутками. Звездный год, т. е. промежуток времени, в течение которого Солнце совершает свой видимый путь по небесной сфере относительно звезд, составляет 365,2564 сред­ них солнечных суток. (Звездный год следует отличать от тропического года, кото­ рый соответствует периоду смены времен года и составляет 365,2422 средних сол-. нечных суток).

Р е ш е н и е . Пусть в положении / (рис. 12) плоскость земного меридиана АВ проходит через центр Солнца С и какую-либо (бесконечно удаленную) звезду D. Когда Земля в своем орбитальном движении перейдет в положение 2, плоскость того же меридиана повернется относительно направления на звезду на угол а, а относительно направления на центр Солнца — на угол {$. Углы а и р* могут пре­

верительным сообщением основного результата, не касаясь его обоснования.

Согласно квантовой механике состояние частицы в каждый момент времени нельзя характеризовать точными значениями ее координаты и импульса в этот момент времени. Если в каком-либо состоянии координата известна с неопределенностью 8х, а импульс — с неопределенностью 8р, то обе эти величины одновременно не могут быть сделаны сколь угодно малыми. Они связаны соотношением

где h — универсальная постоянная, называемая постоянной Планка (1858—1947). Она играет основную роль во всех квантовых явле­ ниях. Ее численное значение равно

Соотношение (5.1) называется принципом неопределенностей Гайзенберга (р. 1901). Оно определяет принципиальный предел точности одновременного измерения координаты и импульса ча­ стицы, который не может быть превзойден никаким усовершенство­ ванием приборов и методов измерения. Дело здесь не в ошибках измерений. Такова уж природа реальных частиц, что мгновенные состояния их движения не могут быть охарактеризованы класси­ чески — точными значениями координат и импульсов. Частицы ведут себя более сложно, чем материальные точки классической механики. Классическая картина движения по непрерывным тра­ екториям лишь приближенно соответствует законам природы. Границы ее применимости определяются соотношением неопределен­ ностей (5.1). Из него следует, что мгновенное состояние движения частицы нельзя также характеризовать абсолютно точными зна­ чениями координаты и скорости. Неопределенности этих величин должны удовлетворять условию

Для макроскопических тел практическая применимость класси­ ческого способа описания движения не вызывает сомнений. До­ пустим, например, что речь идет о движении шарика с массой т = 1 г. Обычно положение шарика практически может быть опре­ делено с точностью до десятой или сотой доли миллиметра. Во вся­ ком случае вряд ли имеет смысл говорить об ошибке в определении

Одновременная малость величин 8х и 8v и является доказатель­ ством практической применимости классического способа описа-