Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

Все эти часы представляют довольно сложные радиотехнические устройства. Здесь нет необходимости останавливаться на принци­ пах действия и деталях устройства таких часов. Достаточно заме­ тить, что роль маятника или балансира, регулирующих ход часов, выполняют в кварцевых часах колебания кристаллической решетки кварца, в молекулярных часах — колебания атомов в молекулах,

ватомных часах — колебания электромагнитного поля в узких спектральных линиях атомов некоторых изотопов химических эле­ ментов, находящихся в точно определенных и строго контролируе­ мых внешних условиях. Особой стабильностью обладают последние из отмеченных колебаний. Поэтому период именно таких колебаний

внастоящее время и принимается в качестве основной единицы времени, с помощью которой воспроизводится секунда. Конкретно, секунда — это промежуток времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излучения, соответ­ ствующего переходу между двумя определенными сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствие внеш­ них полей.

С помощью кварцевых, молекулярных и атомных часов было показано, что Земля вокруг своей оси вращается «неравно­ мерно».

7. С единицей длины дело обстоит так же, как с единицей вре­ мени. Идеально твердых тел не существует. Первоначальный эта­ лон метра, реализованный в виде стержня из сплава платины и иридия, недостаточно надежен. Он подвержен внешним влияниям, его внутреннее молекулярное строение может измениться. Наконец, он может быть утерян или испорчен. Предпочтительнее в качестве основной единицы взять какую-либо естественную, точно воспроиз­ водимую длину. За таковую принимается длина световой волны определенной узкой спектральной линии, получаемой при опреде­ ленных, строго контролируемых внешних условиях. С помощью такой естественной длины и воспроизводится практическая единица длины — метр. По определению метр — это длина 1 650 763,73 световых волн в вакууме оранжевой линии атома криптона-86,

Возможно, что современные эталоны времени и длины пере­ станут удовлетворять более жестким требованиям, которые будут предъявляться в будущем к точности измерений и воспроизводи­ мости результатов. В таком случае старые эталоны будут заме­ нены новыми, более стабильными. Принципиально это ничего не меняет.

8. Для описания движения, а также любых физических явле­ ний, протекающих во времени, пространственных систем отсчета недостаточно. Надо превратить их в пространственно-временные системы отсчета. Принципиально это означает, что в системе отсчета

должны быть достаточно часто расставлены неподвижные часы, обладающие одинаковой скоростью хода. Тогда каждое событие можно характеризовать местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло, т. е. показаниями часов, помещенных в этом месте. Однако таким путем будет определено только местное время, т. е. время в каждой точке пространства. Показания часов, нахо­ дящихся в различных точках пространства, еще никак не связаны между собой. Для описания физических процессов такая связь/ в принципе, не обязательна. Можно было бы довольствоваться местным временем в каждой точке пространства, введя столько различных времен, сколько существует различных точек. Однако такое описание было бы крайне запутанным и абсолютно не обоз­ римым. Чтобы описание было простым и обозримым, необходимо пользоваться временем, единым для всей пространственно-времен­ ной системы отсчета. Для этой цели надо «синхронизовать» часы, расставленные в различных местах пространства, т. е. установить их так, чтобы они показывали «одинаковое» время.

На первый взгляд в вопросе о синхронизации пространственно разделенных часов нет никаких трудностей. Поместим, например, двое одинаковых часов сначала в точку А, поставим их стрелки одинаково, а затем одни из часов перенесем в точку В. Тогда часы в А я часы в В будут синхронизованы между собой. Однако такой способ синхронизации только тогда имел бы смысл, когда пока­ зания часов в точке В не зависили от способа переноса их из точки А в точку В. Есть теоретические и опытные основания утверждать, что это не так. Поэтому способ синхронизации путем переноса часов не годится.

Остается синхронизация часов с помощью сигналов. Можно, например, поступить следующим образом. В произвольный момент времени tA по часам А послать какой-то сигнал к часам В. В момент прихода сигнала часы В поставить так, чтобы они показывали время tB — tA + Т д В , где тАВ — время, затрачиваемое сигнало на прохождение расстояния от Л к В. Тогда часы А и В будут синхронизованы между собой. Однако для осуществления такой синхронизации надо знать время xAR. Но это время можно изме­ рить только после того, как часы А и В уже синхронизованы. Получился заколдованный круг. Эйнштейн указал, что выйти из этого круга можно только путем определения понятия одновремен­ ности. Дорелятивистская физика считала, что одновременность событий абсолютна и является чем-то само собой понятным. Эйн­ штейн указал, что это заблуждение. Смысл одновременности собы­ тий не требует разъяснения только тогда, когда эти события про­ исходят в одном и том же месте пространства. Если же события происходят в различных местах пространства, то надо условиться, какие события называть одновременными. Очевидно, вопрос об одновременности пространственно разделенных событий эквива-

26 К И Н Е М А Т И К А [ГЛ . I

лентен вопросу о синхронизации пространственно разделенных часов.

Решение всякого вопроса, сводящегося к определению, содер­

бытий. Объективное содержание законов природы, разумеется, не может зависеть ни от каких произвольных определений. Опреде­ ления могут влиять только на форму законов. Надо стремиться вводить такие определения, чтобы форма законов была наиболее проста и легко обозрима. Это требование почти однозначно вынуж­ дает принять определение одновременности, предложенное Эйн­ штейном в теории относительности.

Эйнштейн пользуется для синхронизации часов световыми сиг­

измерить лишь после того, как часы А и В синхронизованы. Пока

в отдельности. Тем самым часы А и В будут синхронизованы и уста­ новлено понятие одновременности пространственно разделенных

таких сигналов, была бы абсолютной. Однако бесконечно быстрых сигналов не существует.

Синхронизация часов по Эйнштейну не требует предваритель­ ного измерения скорости света. Ее можно осуществить также сле­ дующим способом. Пусть С — точка, находящаяся на середине отрезка между точками А к В (неподвижными друг относительно друга). Произведем в С световую вспышку. По определению свет от нее достигнет точек Л и В одновременно. Если в момент прихода света к часам Л и В их показания сделать одинаковыми, то они будут синхронизованы между собой.

Всякое определение должно быть непротиворечивым. Если синхронизовать между собой часы Л и В, то с третьими часами С можно поступить двояко: либо синхронизовать их с часами Л, либо с часами В. Оба способа должны приводить к одному и тому же результату. Иначе получилось бы внутреннее противоречие. Пря­ мой проверки такого рода непротиворечивости не производилось. Наша уверенность в непротиворечивости эйнштейновского опре-

деления одновременности основана на логической согласованности бесчисленного множества следствий, при выводе которых исполь­ зовалось это определение.

9. Одновременность пространственно разделенных событий в том смысле, какой придается ей определением Эйнштейна, относительна.

Это значит, что два события, одновременные в одной системе от­ счета, могут оказаться не одновременными, если их рассматривать в другой системе отсчета, движущейся относительно первой. По­ ясним это следующим примером. Пусть система отсчета S связана с твердым стержнем ЛВ,а система S'—с твердым стержнем Л'В', дви­ жущимся относительно АВ (рис. 4). В момент, когда середины стерж­ ней С и С совпадают между собой, производится световая вспыш­ ка в точке, где происходит это совпадение. Рассмотрим распростра­ нение света от этой вспышки сначала в системе отсчета S. Из опре­

в точку А' он приходит раньше, чем в В'. К другому заключению

сигнал придет раньше, чем в точку Л. Противоречия между обоими заключениями нет, поскольку «одновременность» пони­ мается в них в разных смыслах. Этот пример и иллюстрирует относительность одновременности.

щегося стержня — такой вопрос дорелятивистская физика не ста­ вила. Теория относительности показала, что надо строго различать длину покоящегося стержня /„, т. е. длину, измеренную в системе отсчета, в которой стержень покоится, и длину движущегося стер­ жня I, т. е. длину, измеренную в системе отсчета, относительно которой он движется. Эти длины становятся равными только в пре­ дельном случае бесконечно медленных движений. Величина 10 получается путем откладывания вдоль стержня единичного мас­ штаба, покоящегося относительно этого стержня. Величина / сво­ дится к измерению расстояния между неподвижными точками путем следующей измерительной операции. Надо отметить какими-либо неподвижными точками Л и В. положения концов движущегося

стержня в рассматриваемой системе отсчета в один и тот же момент времени. Расстоянием между этими неподвижными точками и будет, по определению, длина движущегося стержня /. Если взять другую систему отсчета, то, ввиду относительности одновремен­ ности, концы стержня пройдут в этой системе отсчета мимо точек А и В, вообще говоря, не одновременно. Роль А и В будут играть другие точки А' и В', неподвижные в новой системе отсчета. Рас­ стояние между этими точками /', вообще говоря, не будет совпадать с /. Таким образом, как и промежутки времени, длины отрезков также относительны.

11. Дорелятивистская физика считала длины тел и промежутки времени абсолютными. С ее точки зрения можно было говорить об одновременности событий, не указывая, в какой системе отсчета эти события рассматриваются. Можно было говорить о длине тела, не указывая, покоится оно или движется в рассматриваемой системе отсчета. Основанием, правда, явно не формулировавшимся, для такой точки зрения было убеждение в существовании сколь угодно быстрых сигналов. Но при рассмотрении медленных движений ско­ рость световых сигналов в вакууме может считаться практически бесконечно большой. В этом приближении исчезают все реляти­ вистские эффекты. Мы приведем в дальнейшем некоторые результаты релятивистской механики ввиду их важности в ядерной физике и физике элементарных частиц. Однако систематическое изложение релятивистской механики будет дано после того, как мы позна­ комимся с учением об электрических и оптических явлениях. Там же будут подробно разобраны с количественной стороны и вопросы пространства и времени, которые здесь были только поставлены или затронуты качественно.

§ 2. Кинематическое описание движения.

Материальная точка

1. Кинематика занимается описанием движения, отвлекаясь от его причин. Для описания движения можно выбирать различные системы отсчета. В различных системах отсчета движение одного и того же тела выглядит по-разному. В кинематике при выборе системы отсчета руководствуются лишь соображениями целесооб­ разности, определяющимися конкретными условиями. Так, при рассмотрении движения тел на Земле естественно связать систему отсчета с Землей, что мы и будем делать. При рассмотрении движе­

мике, изучающей движение в связи с силами, действующими на дви­ жущиеся тела, выявляются принципиальные преимущества опреде-

§ 2] К И Н Е М А Т И Ч Е С К О Е О П И С А Н И Е Д В И Ж Е Н И Я 29

ленной системы отсчета или, точнее, определенного класса систем отсчета.

2. Простейшим объектом, движение которого изучает клас­ сическая механика, является материальная точка. Материальной точкой называется макроскопическое тело, размеры которого на­ столько малы, что в рассматриваемом движении их можно не при­ нимать во внимание и считать, что все вещество тела как бы сосре­ доточено в одной геометрической точке. Материальных точек в природе не существует. Материальная точка есть абстракция, идеализированный образ реально существующих тел. Можно или нельзя то или иное тело при изучении какого-либо движения при­ нять за материальную точку — это зависит не столько от самого тела, сколько от характера движения, а также от содержания вопросов, на которые мы хотим получить ответ. Абсолютные раз­ меры тела при этом не играют роли. Важны относительные раз­ меры, т. е. отношения размеров тела к некоторым расстояниям, характерным для рассматриваемого движения. Например, Землю при рассмотрении ее орбитального движения вокруг Солнца с гро­ мадной точностью можно принять за материальную точку. Харак­

точки Земли движутся практически одинаково. Поэтому достаточно рассмотреть движение только одной точки, например центра Земли, и считать, что все вещество Земли как бы сосредоточено в этой гео­ метрической точке. Такая идеализация сильно упрощает задачу об орбитальном движении Земли, сохраняя, однако, все существен­ ные черты этого движения. Но эта идеализация не годится при рас­ смотрении вращения Земли вокруг собственной оси, ибо бессмыс­ ленно говорить о вращении геометрической точки вокруг оси,

механику. Однако в ряде случаев и движение микрочастиц может рассматриваться на основе классической механики. Сюда отно­ сятся, например, движения электронов, протонов или ионов в ус­ корителях и электронно-ионных приборах. В этих случаях микро­ частицы можно рассматривать как материальные точки классиче­ ской механики.

3. Механика одной материальной точки или, короче, механика точки в классической физике является основой для изучения механики вообще. С классической точки зрения произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые макроскопические части, взаимодействующие между собой. Каждую из таких частей можно принять за материальную точку.

Тем самым изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы взаимодействующих материальных точек. Естественно поэтому начать изучение классической механики с ме­ ханики одной материальной точки, а затем перейти к изучению системы материальных точек.

Выберем какую-либо произвольную систему отсчета и будем относить к ней движение материальной точки. Движение точки будет описано полностью, если будет известно ее положение в лю­ бой момент времени относительно выбранной системы отсчета. Положение точки мы условимся характеризовать ее прямоуголь­ ными координатами х, у, г, являющимися проекциями ее радиусавектора г на координатные оси. Полное описание движения сво­ дится поэтому к нахождению трех координат х, у, z как функций времени t:

Однако для формулировки основных законов механики, с помощью которых теоретически могут быть найдены рассматриваемые функ­ ции, существенны два новых понятия — понятие скорости и в осо­ бенности понятие ускорения. К установлению этих понятий мы

иперейдем.

§3. Скорость и ускорение при прямолинейном движении. Угловая скорость и угловое ускорение

1.Рассмотрим сначала частный случай, когда материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за коор­ динатную ось X, поместив начало координат О в какой-то произ­

точки за время At или, точнее, за время между t и t + АЛ Таким образом, по определению, средняя скорость равна

Такое определение средней скорости имеет смысл для любых зна­ чений АЛ Надо исключить только значение At — О, так как в этом

торое само по себе не имеет никакого смысла. Однако ничто не мешает брать промежуток времени А^ как угодно малым, но отличным от нуля. Вообще говоря, средняя скорость зависит не только от t, но и от АЛ Будем теперь, оставляя момент времени t неизменным, брать промежуток времени At все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда будет стремиться к нулю и проходимый путь Ах.

Отношение же ^ при этом, как показывает опыт, будет стремиться

к вполне определенному пределу, который может зависеть только от Л но уже не будет зависеть от АЛ Этот предел называется истин­ ной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени t:

Пределы типа (3.3) встречаются в самых разнообразных вопро­ сах математики и ее приложениях. В математике предел, опреде­ ляемый формулой (3.3), называется производной функции х (t) по аргументу Л Производная по времени обозначается символом

dx

х (t) или -jt • Таким образом, по определению

Понятие производной является основным понятием дифференциаль­ ного исчисления. Используя это понятие, можно сказать, что истин­ ная или мгновенная скорость v есть производная координаты х по времени, или производная пройденного пути s по времени:

Скорость материальной точки, вообще говоря, является функ­ цией времени: v — v (t). Производная скорости по времени назы­ вается ускорением материальной точки. Ускорение мы обозна­ чаем через а. Таким образом, по определению ускорения

или

В существовании первой и второй производных координаты по вре­ мени в механике, как и во всех аналогичных вопросах физики, мы убеждаемся не путем логических рассуждений, а опытным путем.

2. Рассмотрим простейшие примеры.

П р и м е р 1. х = const, т. е. координата х остается постоянной во времени. В этом случае материальная точка неподвижна, приращение координаты Ах равно нулю. Равны нулю также средняя и истинная скорости точки: v — х = 0. Вообще, производная всякой постоянной величины равна нулю.

Средняя скорость постоянна и равна В. Поэтому истинная скорость также по­ стоянна и равна средней скорости:

dx

У = d t = V ^ = B-

обращается в нуль, и мы получаем следующее выражение для истинной скорости: v = 2At + B.

Истинная скорость является линейной функцией времени t, а потому, дифферен­

равна половине ускорения: А = а/2. Выясним теперь физический смысл постоян­ ных В и С. При i = 0 наши формулы дают а = В. Скорость в момент времени / = 0

3. По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводятся

угловая скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к слу­ чаю движения материальной точки по окружности. Положение точки М на окружности можно задать углом а, который образует радиус-вектор ОМ с каким-либо неизмен­ ным направлением ОХ (рис. 6). Производ­ ная этого угла по времени

при движении точки по окружности. Если г — радиус окружности,

§4. Скорость и ускорение при криволинейном движении

1.Понятия скорости и ускорения естественным образом обоб­ щаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории. Положение движущейся точки на траектории мы бу­ дем задавать радиусом-вектором г, проведенным в эту точку из