Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

14 В В Е Д Е Н И Е

угодно малых размеров и для сколь угодно малых промежутков времени. Считалось, что для понимания явлений микромира не требуется никаких новых понятий и законов помимо тех, которыми располагает макроскопическая физика. Короче, микромир рассма­ тривался просто как уменьшенная копия макромира. Такой под­ ход к изучению явлений природы и теории, основанные на нем, называются классическими.

Вопрос о применимости или неприменимости классического подхода к изучению микромира не может быть решен умозрительно.

чена. Адекватное описание явлений микромира (применимое, ко­ нечно, также в каких-то пределах) дает квантовая механика, су­ щественно отличающаяся от механики классической. Квантовая механика вводит радикальные изменения в наши представления о движении. Так, классическая картина движения частицы вдоль траектории, в каждой точке которой частица имеет определенную скорость, в общем случае не применима при описании движения микрочастиц. Движение в микромире является более сложной формой движения, чем механическое перемещение тел в простран­ стве. Вообще, описание явлений в квантовой механике лишено

ставлениям и понятиям, возникшим при изучении макроскопичес­ ких объектов. Поскольку наш курс механики посвящен изучению движения макроскопических тел, нет необходимости останавли­ ваться на дальнейшей характеристике квантовой механики. До­ статочно указать границы применимости понятий и законов, кото­ рыми мы будем пользоваться. Это будет сделано в § 5.

5. Таким образом, механика Ньютона может быть охарактери­ зована как классическая нерелятивистская механика. Это значит, что она изучает медленные движения макроскопических тел.

Релятивистская и квантовая механики являются более общими теориями, чем механика Ньютона. Последняя содержится в них как приближенный предельный случай. Релятивистская механика переходит в механику Ньютона в случае медленных движений. Квантовая механика переходит в механику Ньютона в случае тел достаточно больших масс, движущихся в достаточно плавно меня­ ющихся силовых полях. Это не означает, что механика Ньютона утратила свое значение. Во многих случаях фактические изменения, вносимые теорией относительности и квантовой механикой, сво­ дятся к небольшим поправкам к ньютоновской механике. Они называются соответственно релятивистскими и квантовыми. Эти' поправки в случае обычных медленных движений макроскопиче­ ских тел столь ничтожны, что как правило, далеко выходят за

к непреодолимым математическим трудностям при попытке найти их точные решения методами релятивистской и квантовой механик. Чтобы практически получить решение, надо было бы ввести упро­ щения и перейти к приближенным методам, а это по своему резуль­ тату эквивалентно переходу к механике Ньютона.

Если, например, движение космического корабля рассчиты­ вается по законам механики Ньютона, не учитывающей реляти­ вистские эффекты, то при скорости корабля v = 8 км/с возника­ ющая вследствие этого относительная ошибка будет величиной

порядка Таким образом, здесь механика

Ньютона обеспечивает точность вычислений до 10~7 процента. Вводить в подобных случаях релятивистские поправки не только не нужно,, но и иллюзорно, хотя бы уже потому, что входные параметры, необходимые при расчетах, могут быть определены с несравненно меньшей точностью. Кроме того, в этом нет практической необ­ ходимости *).

Таким образом, механика Ньютона имеет очень широкую и практически важную область применимости. В пределах этой области она никогда не утратит своего научного и практического значения. Отказываться от механики Ньютона надо лишь вне об­ ласти ее применимости, когда она приводит либо к неверным, либо недостаточно точным результатам. Такова, например, задача о дви­ жении заряженных частиц в ускорителях, где надо пользоваться релятивистской механикой. Таковы задачи о движении электронов в атомах, которые надо решать с помощью квантовой механики.

*) Следует заметить, что при изучении планет Солнечной системы (Меркурия, Венеры, Земли, Марса) уже в прошлом столетии были обнаружены небольшие отступления от механики Ньютона, которые позднее в общей теории относитель­ ности были истолкованы как релятивистские поправки — ~о%1<? (v — скорость планеты). Оказалось, что перигелий планеты медленно вращается в том же направ­ лении, в каком движется сама планета. Такое движение перигелия в основном обусловлено возмущающим влиянием остальных планет. Однако механика и теория тяготения Ньютона дают для этого вращения значение, несколько мень­ шее наблюдаемого. Наибольшее расхождение получается для Меркурия, орбита которого наиболее вытянута, а скорость v наибольшая. Для Меркурия расхожде­ ние составляет около 43 угловых секунд в столетие. Такое дополнительное вра­ щение перигелия есть чисто релятивистский эффект. Он сохранился бы и при от­ сутствии возмущающего влияния остальных планет, т. е. в том случае, если бы помимо Солнца и Меркурия в Солнечной системе никаких других тел не было.

В настоящее время в связи с широким распространением лазерной техники ис­ следуются и привлекают все большее и большее внимание и другие релятивистские поправки в небесной механике.

Г Л А В А I

КИНЕМАТИКА

**

§1. Пространство и время

1.Как уже было сказано во введении, в механике движением называют изменение положения тела в пространстве с течением времени. Под положением здесь понимается относительное поло­ жение, т. е. положение тела относительно других тел. Понятие абсолютного положения, т. е. положения тела в каком-то «абсо­ лютном пространстве» безотносительно к другим телам, лишено содержания.

Тело или система тел, относительно которых определяется положение остальных тел, называется пространственной системой отсчета.

Утверждение, что два различных не одновременных события произошли в одном и том же месте пространства, лишено содержа­ ния, пока не указана система отсчета, в которой события рассма­ триваются. Пассажир в движущемся железнодорожном вагоне взял из своего чемодана какую-то вещь и спустя некоторое время положил ее обратно. Можно сказать, что он взял и положил эту вещь в одном и том же месте, если за систему отсчета принять дви­ жущийся вагон. Но те же два события будут происходить в различ­ ных местах, если их рассматривать в системе отсчета, связанной с полотном железной дороги. Например, одно событие внутри вагона могло произойти в Москве, а другое — в Ленинграде.

2. В качестве пространственной системы отсчета можно взять произвольное твердое тело и связать с ним координатные оси, например, декартовой прямоугольной системы координат, реали­ зованные в виде трех взаимно перпендикулярных твердых стерж­ ней. Положение каждой точки в избранной пространственной си­ стеме отсчета можно задавать тремя числами: координатами точки х, у, г, представляющими собой расстояния от этой точки до коор­

перемещение буравчика будет происходить в положительном, в ле­ вой — в отрицательном направлении оси Z. На рис. 1 представлена правая система, а на рис. 2 — левая. Правая система никакими вращениями не может быть совмещена с левой. Обе системы отли­ чаются друг от друга примерно так же, как правая рука отличается

\Z-

\Z

от левой. Но правая система переходит в левую, если изменить на противоположное положительное направление одной из координат­ ных осей. То же самое произойдет, если изменить на противопо­ ложные положительные направления всех трех осей. Последняя операция называется инверсией координатных осей или отраже­ нием в начале координат. Например, изображением правой системы в плоском зеркале будет левая система, и наоборот. В физике при­ меняется исключительно правая система.

3.Координаты х, у, г, которыми определяется положение точки

визбранной системе отсчета, являются какими-то числами. Коли­ чественное определение этих координат, равно как и количественное

рения. Эти измерения должны лишь разъяснить смысл, точнее, принципиальный способ получения х, у, г, равно как и всяких чисел, с помощью которых количественно характеризуются все физические величины. Поэтому мы можем предполагать, что такие

полняются абсолютно точно. Координаты х, у, z являются дли­

длины. Когда мы говорим об измерении длин, то имеем в виду следующую измерительную операцию. Некоторый твердый стер­ жень условно принимается за эталон, а его длина — за единицу длины. При измерении длины тела в каком-либо направлении опре­ деляется число, показывающее, сколько раз в этом направлении в теле укладывается выбранный эталон. Это число и называется длиной тела в рассматриваемом направлении. Если оно не целое, то предварительно длину эталона следует разделить на более мел­

ного ядра или элементарных частиц. Во всех этих случаях при­ меняют косвенные методы. Правильность таких методов должна контролироваться прямыми методами (разумеется, в тех случаях, когда последние применимы). За пределами же применимости пря­ мых методов остаются одни только косвенные методы. Здесь прямые измерительные операции, с помощью которых первоначально было введено количественное понятие длины, становятся чисто умозри­ тельными, а косвенные методы фактически играют роль основных принципиальных измерительных операций, которыми раскрывается смысл самих длин, или, точнее, тех чисел, которыми длины харак­ теризуются.

Примером косвенного метода может служить триангуляция, применяемая для измерения расстояний до удаленных предметов. Прямым методом измеряют длину «базы» АВ (рис. 3), с концов которой делают «засечки» удаленного объекта С, т. е. измеряют углы а и р между базой АВ и прямыми АС и ВС. По этим данным искомое расстояние до объекта С может быть найдено геометриче­ ским построением или вычислено по формулам геометрии. Если база АВ настолько велика, что ее длина не может быть найдена прямым измерением, то можно выбрать более короткую базу и затем найти длину базы АВ описанным косвенным методом. Прин-

ципиально это ничего не меняет. Более существенно уяснить тео­ ретическую основу метода. В методе предполагается, что сторонами треугольника ABC являются прямые линии, подчиняющиеся акси­ омам геометрии Евклида. Но какими материальными объектами реализуются эти стороны? Такими объектами являются световые лучи, приходящие от объекта С к точкам А и В. Следовательно, в основе рассматриваемого способа лежит гипотеза, что световые лучи прямолинейны, т. е. подчиняются тем же аксиомам геометрии Евклида, что и геометрические прямые линии. Но эта гипотеза не очевидна. Доказать или опровергнуть ее можно только опытным путем. При этом имеются в виду световые лучи в вакууме, а не лучи в атмосфере, где они действительно искривляются из-за изме­ нения показателя преломления от точки к точке. Такое искривление лучей может быть учтено и действительно учитывается, когда точность измерений этого требует.

Как можно убедиться в применимости или неприменимости геометрии Евклида к реальному миру в указанном выше смысле? Прямой метод состоит в том, что надо подвергнуть эксперимен­ тальной проверке следствия, выводимые из аксиом геометрии Евклида. Одним из таких следствий является, например, теорема, утверждающая, что сумма внутренних углов треугольника рав­ няется 180°. Великий математик Гаусс (1777—1855) измерял в 1821—23 гг. со всей возможной тщательностью внутренние углы треугольника, образованного тремя удаленными горными верши­ нами. Длины сторон треугольника были порядка 100 км. Он нашел, что в пределах ошибок измерений не наблюдалось наруше­ ний указанной теоремы. Этот метод не годится в масштабах Сол­ нечной системы и больших, так как все измерения производятся с Земли, и мы не можем непосредственно измерить все три внутрен­ них угла треугольника, вершинами которого помимо Земли яв­ ляются, например, какие-либо две планеты или звезды. Здесь мы судим о применимости геометрии Евклида на основании косвенных данных — по согласованности различных результатов, получен­ ных с использованием такой геометрии. Так, можно предвычислить движение планет Солнечной системы на много лет вперед и проверить полученные предсказания. Если бы они не оправдались, то одной из причин могла бы быть неприменимость геометрии Ев­ клида к областям пространства порядка размеров Солнечной си­ стемы. Наоборот, согласие с опытом (что на самом деле имеет место) указывает на то, что сомневаться в применимости геометрии Ев­ клида в областях такого размера нет оснований. Не вдаваясь в этот вопрос, ограничимся замечанием, что, по-видимому, нет существен­ ных нарушений геометрии Евклида в областях порядка размеров нашей Галактики (~10 2 0 м) и даже Метагалактики, т. е. части Вселенной, доступной исследованию с помощью современных наи­ более мощных телескопов (<~-Л026 м). Точно так же нет оснований

ожидать существенных нарушений геометрии Евклида и в суб­ атомных областях размером, скажем, порядка 10~15 м.

Световые лучи при определении положения удаленных тел выполняют и другую важную функцию. Они служат теми матери­ альными объектами, с помощью которых конструируется сама система отсчета. Действительно, твердые стержни не могут быть неограниченно длинными, а потому они не пригодны в качестве координатных осей во всем пространстве. Эту роль берут на себя световые лучи, являющиеся продолжениями в нужных направле­ ниях координатных осей, первоначально реализованных твердыми стержнями.

5. В связи с изложенным целесообразно сделать одно замеча­ ние о связи физики с математикой. Математика играет исключи­ тельно важную роль в физике. Без нее современная физика не­ мыслима. Однако необходимо правильно представлять себе истин­ ную роль математики в физике, и к этому вопросу мы еще будем неоднократно возвращаться. Чистая математика имеет дело с аб­ страктными объектами и понятиями, подчиняющимися определен­ ной системе аксиом. Единственное требование, предъявляемое в чистой математике к ее понятиям и аксиомам, сводится к их

логической непротиворечивости. Все свои результаты чистая ма­ тематика получает из этих аксиом путем логических рассуждений, основанных на правилах формальной логики. Содержание этих результатов, очевидно, не может выйти за пределы логических связей между различными объектами и понятиями чистой матема­ тики. В этом смысле чистая математика является логически замк­ нутой дисциплиной. Такая замкнутость и логическая согласо­ ванность придают чистой математике эстетическую привлекатель­ ность и доставляют чувство глубокого удовлетворения всякому уму, воспитанному в духе математической строгости.

Надо, однако, заметить, что строго замкнутая сама в себе ма­ тематика оторвана от реальной действительности и не может быть использована в других науках и практической деятельности чело­ века. Чтобы математика стала мощным средством при описании и изучении явлений природы, каким она в действительности яв­ ляется, необходимо установить связи .между абстрактными матема­ тическими объектами и понятиями — с одной стороны — и реаль­ ными объектами и явлениями природы — с другой. Математические понятия и объекты должны появляться не как чисто логические категории, а как абстракции каких-то реальных объектов или процессов природы. Так, точка является абстракцией физического тела достаточно малых размеров, прямая линия — абстракцией достаточно тонкого твердого стержня или светового пучка в одно­ родной среде. Вопрос о справедливости математики сводится к спра­ ведливости ее аксиом. Справедливость же самих аксиом может быть установлена опытным и только опытным путем.

без оснований, так гордятся математики, надо понимать в смысле логической согласованности ее выводов, но не в смысле обоснова­ ния математических аксиом.

Одной математической строгости недостаточно для физики, как и для всякой другой опытной науки, имеющей дело с реальными объектами и явлениями природы. Всякое теоретическое исследова­ ние, даже выполненное математически строго, никогда не может считаться и физически строгим. Во-первых, такие исследования всегда основываются на определенных законах, справедливость которых в конце концов доказывается опытным путем, а опыты и физические измерения неизбежно сопровождаются ошибками, т. е. выполняются с определенной точностью. Вне пределов этой точ­ ности физический закон может оказаться не верным. Во-вторых,

не только потому, что большинство из них нам просто неизвестно,

закон применен вне области, где он справедлив, а идеализирован­ ная модель правильно передает не все свойства реальных объек­ тов, существенные для рассматриваемого круга явлений, то воз­ никающие вследствие этого пороки теории, понятно, не могут быть исправлены никакой строгостью математических рассуждений и расчетов.

Последнее замечание имеет и практическую ценность. Конечно, после того как идеализированная модель построена, не будет ошибкой производить все дальнейшие расчеты математически аб­ солютно точно, хотя бы при этом и использовались физические законы, верные только приближенно. Однако сплошь и рядом такие расчеты очень громоздки и даже практически не осущест­ вимы из-за их сложности. Между тем точность уже обесценена ошибками физических законов и несовершенствами идеализирован­ ной модели, положенной в основу расчета. Можно и нужно перейти к приближенным расчетам. Такие расчеты столь же хороши, что и «точные», если их ошибки не превосходят ошибок, обусловленных

22 К И Н Е М А Т И К А [ГЛ . I

неточностью применяемых физических законов и несовершенствами идеализированных моделей.

Многие понятия и открытия, которыми по справедливости так гордится математика, не имеют никакого смысла, когда речь захо­ дит о применении этих понятий к реальным объектам. Сюда отно­ сится, например, понятие иррационального числа. Лишено содержа­ ния утверждение, что физическая величина имеет иррациональное значение. Такое утверждение не может быть проверено. Одних только рациональных чисел достаточно, чтобы представить резуль­ таты измерений, выполненных со сколь угодно высокой степенью точности. Кроме того, понятие физической величины может утра­ тить смысл, если к ее измерению предъявить требование неоправ­ данно высокой точности. Так, например, совсем не ясно, о чем идет речь, если поставить задачу об измерении длины твердого стержня с точностью до размеров электрона или даже атома. Принципиально неограниченная точность измерения длин имеет смысл для абстракт­ ных прямолинейных отрезков геометрии, а не для реальных тел, имеющих атомистическую структуру.

6. Перейдем к вопросу об измерении времени. Как и всякая физическая величина, время количественно характеризуется неко­ торыми числами. Задача прежде всего состоит в том, чтобы выяс­ нить, с помощью каких принципиальных измерительных операций эти числа могут быть получены. Тем самым устанавливается и точ­ ный смысл самих этих чисел.

Под временем в количественном смысле этого слова мы будем понимать показания каких-то часов. Точнее, надо говорить не о са­ мом времени, а о промежутке времени между двумя событиями или моментами времени. Он характеризуется разностью показаний часов в рассматриваемые моменты времени. Когда говорят просто о времени, не указывая оба момента, являющиеся границами рассматриваемого промежутка времени, то предполагают, что один

широком смысле слова, чем в обыденной жизни. Под часами по­ нимают любое тело или систему тел, в которых совершается перио­ дический процесс, служащий для измерения времени. Примерами таких процессов могут служить колебание маятника с постоянной амплитудой, вращение Земли вокруг собственной оси относительно Солнца или звезд, колебания атома в кристаллической решетке, колебания электромагнитного поля, представляемого достаточно узкой спектральной линией, и пр. Так, если между двумя событиями Земля при вращении относительно звезд сделала один оборот, то говорят, что промежуток времени между этими двумя событиями составляет звездные сутки. Если при этом она совершила 10 обо­ ротов, то соответствующий промежуток времени будет 10 звездных суток, и т. д. Если в течение звездных суток маятник совершил

приблизительно 86 164 колебания, то говорят, что период одного колебания составляет одну секунду, и т. д. От звездных суток сле­ дует отличать солнечные сутки. Так называется промежуток времени, в течение которого Земля делает один оборот при вращении вокруг собственной оси относительно Солнца. Ввиду того, что Земля движется вокруг Солнца не по круговой, а по эллиптической ор­ бите, это ее движение не совсем равномерно (см. § 55). Это значит, что солнечные сутки изо дня в день несколько изменяются в те­ чение года. Поэтому при измерении времени пользуются так назы­

К часам предъявляют требования, чтобы они шли «.равномерно-» Но что значит, что часы идут равномерно? Говорят, это означает, что периодический процесс, служащий для отсчета времени, дол­ жен повторяться через строго одинаковые промежутки времени. Однако это не есть ответ на вопрос, так как убедиться в одинако­ вости следующих друг за другом промежутков времени можно только в том случае, когда мы уже располагаем равномерно иду­ щими часами. Выйти из этого логического круга можно только путем определения, так как никакого априорного представления о равномерном течении времени не существует. Надо условиться считать какие-то часы по определению равномерно идущими. Такие часы должны рассматриваться как эталонные или основные часы, по которым должны градуироваться все остальные.

В принципе любые часы могут быть приняты за эталонные. Однако так поступать не целесообразно. Эталонные часы должны быть достаточно «хорошими» и прежде всего обладать высокой воспроизводимостью. Это означает, что если изготовить с возмож­ ной тщательностью много «одинаковых» эталонных часов, то они с большой точностью должны идти одинаково, независимо от того, изготовлены ли они одновременно, или между моментами их изго­ товления прошло длительное время. Например, песочные часы дают несравненно худшую воспроизводимость, чем маятниковые часы.

Не так давно за основные или эталонные часы принимались «астрономические часы». Долгое время основными часами служила

вокруг Солнца, принимая за основную единицу времени тропи­ ческий год, т. е. промежуток времени между двумя последователь­ ными прохождениями центра Солнца через точку весеннего равно­