Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

164 РАБОТА И Э Н Е Р Г И Я [ГЛ. IV

из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения 8xlt 8у1у 6z„, функ­ ция U остается почти постоянной. Точнее, приращения функции U при таких бесконечно малых изменениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия U экстремальна, т. е. минимальна или максимальна.

Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Действительно, пусть U0 — значение потенциальной энергии в состоянии равновесия. По условию теоремы можно найти малую окрестность вблизи состояния равновесия, в которой раз­ ность U — U0 положительна. Выберем эту окрестность так, чтобы было О < U — U0 < е, где е — некоторое положительное число, которое может быть взято сколь угодно малым. Выведем теперь систему из состояния равновесия, сообщив ей кинетическую энер­

U — UQ <L е, так как кинетическая энергия К не может быть отри­ цательной. Следовательно, система без внешних воздействий не может выйти за пределы области О < U — U0 < е и будет совершать в ней финитное движение. Это означает, что равновесие системы при минимуме потенциальной энергии устойчиво, точнее, устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям.

Изложенное остается справедливым и при наличии диссипативных сил типа жидкого трения, а также гироскопических сил. Действительно, в состоянии равновесия, когда все материальные точки покоятся, такие силы равны нулю. Поэтому необходимое условие равновесия, требующее стационарности потенциальной энергии U, остается в силе. Сохраняет силу и доказательство устой­ чивости равновесия при минимуме U. Только равенство, выра­ жающее закон сохранения энергии, при наличии диссипативных

сия и затем предоставить самой себе, то диссипативные силы в конце концов снова вернут систему в состояние равновесия.

Причина устойчивости равновесия при минимуме U выявится особенно наглядно, если рассмотреть всего одну материальную точку, могущую совершать одномерное движение. В этом случае график функции U имеет вид потенциальной ямы (аналогичной той, которая представлена на рис. 45). В состоянии равновесия материальная точка «лежит на дне потенциальной ямы». Никакие силы на нее в этом положении не действуют. При смещении точки

в сторону, как легко видеть, появляется сила, направленная к по­ ложению равновесия и стремящаяся вернуть точку в это положение. Если же точка находится в равновесии там, где потенциальная энергия максимальна (т. е. «лежит на вершине потенциальной горы», например в точке N на рис. 44), то при ее смещении в сто­ рону появляется сила, направленная от положения равновесия. Такая сила еще дальше уведет точку от этого положения. Равно­ весие будет неустойчивым. Равновесие всякой механической системы, вообще говоря, неустойчиво, если потенциальная энергия максимальна:

Изложенные результаты можно распространить и на системы, свобода перемещения которых ограничена наложенными связями. Надо только потребовать, чтобы связи были идеальными, т. е. такими, которые не производят работы при любых возможных пере­ мещениях системы. Примером может служить идеально гладкий шарик, надетый на идеально твердую и гладкую спицу, которая задает направление возможного перемещения шарика. Сила, дей­ ствующая на шарик со стороны спицы, перпендикулярна к напра­ влению возможного перемещения и работы не производит.

При наличии связей условия равновесия материальной точки принимают вид

где R — реакция связей, т. е. сила, с которой связи действуют на рассматриваемую материальную точку. В целях краткости мы про­ вели рассуждения для одной материальной точки. В случае системы изменится только число уравнений, но сами рассуждения останутся без изменений. Пусть 8х, by, 8z — возможные перемещения мате­ риальной точки вдоль координатных осей. Умножая на них уравне­ ния (29.12), складывая и принимая во внимание, что реакции связей

работы не производят, получим W = Щ- Sx -{- ~ бг/ -\- ^ 8z = 0.

Таково необходимое условие равновесия. Оно означает, что в состоя­ нии равновесия потенциальная энергия U стационарна. Не изме­ нятся и рассуждения относительно устойчивости равновесия, кото­ рые были приведены выше. Иллюстрацией может служить тяжелый шарик, помещенный на дно сферической чаши (устойчивое равно­ весие), или в вершину выпуклой поверхности (неустойчивое равно­ весие). При наличии сил сухого трения стационарность потен­ циальной энергии U для равновесия не необходима. Примером может служить равновесие бруска, лежащего на наклонной плоскости.

Г Л А В А V

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

§30. Момент силы и момент импульса

относительно неподвижного начала

1.Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силы. Следует различать и никоим образом не смешивать друг с другом моменты этих векторов относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки и относительно оси — разные понятия, хотя и связанные между собой. Момент вектора относительно точки сам есть вектор. Момент того же вектора относительно оси есть проекция на эту ось его момента относительно точки, лежащей на той же оси. Таким обра­

Из этого определения непосредственно следует, что момент М не изменится, если точку приложения силы F перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы. Действи­ тельно, если точку приложения силы перенести из Л в Л', то па­ раллелограмм ОАВС перейдет в параллелограмм ОА'В'С. Оба параллелограмма имеют общее основание ОС и общую высоту. Поэтому их площади равны, что и доказывает наше утверждение.

Если F = Ft + F2, то на основании известного свойства век­ торного произведения можно написать

сил относительно некоторого начала равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно того же начала.

Аналогично определяется момент импульса р материальной точки

2. Целесообразность введения этих двух понятий оправдывается тем, что моменты импульса и силы связаны между собой важным соотношением, которое мы сейчас выведем из уравнений Ньютона. Предположим сначала, что начало О неподвижно. Дифференцируя выражение (30.3) по времени, получим

L = [rp) + [rp]-

Так как по предположению начало О неподвижно, то производ­ ная г есть скорость материальной точки, связанная с ее импульсом соотношением р = mv. Поэтому первое слагаемое равно нулю как векторное произведение коллинеарных векторов г = v и р — mv. Второе слагаемое можно преобразовать с помощью уравнения

Это соотношение мы и хотели получить. Оно называется уравнением моментов: производная по времени момента импульса материальной точки относительно неподвижного начала равна моменту действую­ щей силы относительно того же начала. При выводе не предпола­ галось, что масса т остается постоянной. Поэтому уравнение (30.4) справедливо также и в релятивистской механике, т. е. при сколь угодно больших скоростях материальной точки, допускаемых теорией относительности.

Уравнение моментов (30.4) можно обобщить на случай произ­ вольной системы материальных точек. Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторого начала называется векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек системы относительно того же начала. Аналогично момент всех сил, действующих на систему материальных точек, определяется как векторная сумма моментов отдельных сил. Вместо того, чтобы складывать моменты всех сил, можно, имея в виду соотношение (30.2), сначала найти равнодействующую этих сил, а затем вычис­ лить ее момент. Так же можно поступать и при нахождении импульса системы материальных точек: сначала векторно сложить импульсы всех материальных точек, а затем найти момент полученного век­ тора относительно рассматриваемой точки.

Предполагая начало неподвижным, напишем уравнение моментов для каждой материальной точки, а затем векторно сложим их.

Тогда мы снова придем к соотношению (30.4), но уже для системы материальных точек. Как ясно из вывода, под М следует понимать момент всех сил, как внешних, так и внутренних. Однако внутрен­ ние силы можно не принимать во внимание, так как их полный момент относительно любого начала равен нулю. Это объясняется тем, что внутренние силы всегда входят попарно: силе Fik, с которой k-я точка действует на t'-ю, соответствует равная и противоположно направленная сила Fki, с которой 1-я точка действует на k-ю. Эти две силы направлены вдоль одной прямой. При вычислении моментов точки их приложения можно перенести в одну и ту же точку на этой прямой. Тогда силы взаимно уничтожатся, а их полный момент будет равен нулю.

Таким образом, третий закон Ньютона позволяет исключить из уравнения (30.4) внутренние силы. Вместо уравнения (30.4) получается более сильный результат:

т. е. производная по времени от момента импульса системы мате­ риальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относи­ тельно того же начала.

момент импульса сохраняется для изолированной системы мате­ риальных точек.

Важным является случай центральных сил, когда направления всех сил, действующих на материальные точки системы, проходят через неподвижный центр О. Момент таких сил относительно точки О равен нулю. Поэтому момент импульса системы относительно точки О должен сохраняться, т. е. оставаться постоянным во времени. И это справедливо даже тогда, когда силы зависят от скоростей.

Наряду с законами сохранения импульса и энергии закон со­ хранения момента импульса является одним из важнейших фунда­ ментальных законов физики. В атомной физике понятие момента импульса должно быть обобщено. Это видно уже из того, что в клас­ сической механике момент импульса определен через координаты и скорости частиц, а эти величины, согласно принципу неопределен­ ностей Гайзенберга, одновременно не могут иметь определенных зна­ чений в одном и том же состоянии. Кроме того, моментом импульса могут обладать не только частицы, но и силовые поля, например электромагнитное поле. Наконец, понятия и законы классической механики не всегда применимы к процессам, происходящим внутри атомов, атомных ядер и элементарных частиц. При рассмотрении таких процессов не представляется возможным пользоваться клас-

сическими понятиями, к числу которых относится момент импульса как он был определен выше. Здесь можно только ограничиться замечанием, что в физике понятие момента импульса расширяется, но как это делается фактически, пока рассматривать преждевре­ менно. Изучающий физику уже с самого начала должен иметь в виду, что физика обобщает механическое понятие момента импульса и постулирует закон его сохранения для всех физических процессов. Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является теоремой механики, а должен рассматриваться как само­ стоятельный общефизический принцип, являющийся обобщением опытных фактов.

Можно было бы при изложении механики включить закон сохра­

тий закон Ньютона следовало бы исключить Из числа основных постулатов механики. В § 12 уже было показано, что этот закон только отчасти является следствием закона сохранения импульса. Однако, если к закону сохранения импульса добавить еще закон сохранения его момента, то из этих двух законов можно получить третий закон Ньютона как их следствие. Действительно, рассмотрим замкнутую систему из двух материальных точек, взаимодействую­

направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие мате­ риальные точки.

4.Момент сил и момент импульса зависят не только от величины

инаправления этих векторов, но и от положения начала. Оба момента, вообще говоря, изменятся, если перейти к новому началу. Пусть О и О' —два неподвижных начала. Радиусы-векторы г к г' одной и той же точки относительно этих начал связаны соотношением

При нерелятивистских движениях масса т постоянна, а потому момент импульса L пропорционален секториальной скорости 5.

2. Если сила, действующая на материальную точку, централь­ ная и ее направление проходит через полюс О, то вектор L не будет меняться во времени. В случае нерелятивистских движений не будет меняться и секториальная скорость 5. В этом случае закон сохранения момента импульса переходит в закон площадей:

скость, в которой лежат векторы г и v, перпендикулярны к направ­ лению вектора S. А так как последнее направление остается неиз­ менным, то будет неизменной и указанная плоскость. Это значит, что траектория материальной точки в поле центральных сил есть плоская кривая. Во-вторых, из постоянства длины вектора 5 сле­ дует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки описывает одинаковые по величине площади. Это положение часто также называют законом площадей. Мы предпочитаем, однако, придавать закону площадей более широкий смысл, характеризуя

из неподвижного полюса О, в равные времена описывает одинаковые площади, то направление действующей силы все время проходит через полюс О. Действительно, условие теоремы эквивалентно утвер­

проходит через точку О. Последняя является, таким образом, силовым центром, из которого должны исходить силы притяжения или отталкивания, действующие на материальную точку.

3. Теорема площадей справедлива не только в случае неподвиж­ ного силового центра. Пусть две материальные точки взаимодей­ ствуют между собой центральными силами. Применяя понятие при­ веденной массы, можно свести задачу об их относительном движе­ нии к задаче о движении одной точки в силовом поле неподвижного силового центра (см. § 20). В качестве такого силового центра можно принять любую из рассматриваемых материальных точек, относительно которой движется другая точка. Тогда радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй, будет в относительном движении описывать в равные времена равные площади.

относительно оси X. Аналогично, при нахождении проекции Lx достаточно проектировать только параллельную слагаемую век­ тора L:

Изложенное тривиальным образом обобщается на случай системы нескольких сил и системы нескольких материальных точек.

произведение слагающей импульса, перпендикулярной к этой оси, на соответствующее плечо.

§ 33. Уравнение момента импульса для вращения

вокруг неподвижной оси. Момент инерции

1. Применим уравнение моментов относительно оси к рассмот­ рению вращательного движения. За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения. Если материальная точка вращается по окружности радиуса г (рис. 59), то момент ее импульса относи­ тельно оси вращения О равен L = tnvr. Пусть со —угловая ско­ рость вращения, тогда и = ыг, и, следовательно, L = mr2co. Если вокруг оси О вращается система материальных точек с одной и той же угловой скоростью со, то L = 2mr2 co, где суммирование произ­ водится по всем материальным точкам системы. Величину со как одинаковую для всех материальных точек можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится