Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_Vesna

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

x
	1
x2
x		,



xn

b		(t)
	11
b21 (t)
B(t)



		(t)
bn1		(t)

b1m		(t)		1
b2m					2
		(t)
			,				вектор белых шумов,



b	nm	(t)
						m

		1		(x1,..., xn )
(x ,..., x )		...				векторная функция векторного аргумента.
1	n
			n	(x ,..., x )
			n	1	n

Используя многомерную линеаризацию, поставим в соответствие функции (x1...xn ) ее линейную модель в виде

где

z
	1
z(t) z2		,


zn

z 0 k1Т x ,

	01

0	02			(x) p(x)dx - векторы-столбцы,
	02		...
			...

		0n
		0n

и, в предположении нормальности распределения случайного вектора х(t),

k1Т = 0 - матрица.

Тем самым, уравнения динамики (1) для линеаризованной системы принимают вид

dx
		k Т x B ,
	0
dt		1

откуда

dmdtx 0

d x k1Т x B . dt

В результате корреляционная система уравнений (КСУ) принимает вид

dR 0 R ( 0 R)T BT S0 B . dt mx mx

Рассмотренные задачи скалярной и многомерной линеаризации, а также построения КСУ нелинейной системы требуют умения расчета 0 - среднего значения

скалярной/векторной функции многих переменных (x1 ,..., xn ) .

Рассмотрим два метода расчета среднего значения 0 .

Расчет среднего значения функции многих переменных

1. Расчет среднего значения функций рекуррентного типа

y xn 1 (x1...xn )

Имеем


y (mn 1 xn 1 )( 0	k1 j x j ) 0mn 1	k1 j x j mn 1	0 xn 1	k1 j x j xn 1
	j	0	0	j
					Rj ,n 1

Л-01

12.02.2015

21 из 25

Для случая нормально распределенного вектора x

имеем

y 0 mn 1

0 Rj,n 1 .

j 1

Здесь Rj,n 1

M (x j

xn 1 )

- вектор взаимных дисперсий

и n 1 компонент вектора x .

Пример:

y x1 x2 x3 = x3 (x1 , x2 )

(x1 , x2 ) x1 x2

0 x1 x2 (x 1 m1 )(x2

m2 ) m1m2 R12

y 0 m3 0 R j,n 1 m3m1m2 m3R12 m2 R13 m1R23 .

Очевидно, что если

y x x

2 , то

y m m2

m R

2m R ,

y x 3 , то y m3

2. Расчет среднего значения степенных и тригонометрических функций

на основе характеристических функций

Характеристической функцией случайной скалярной величины х(t)

называется

функция переменной λ

E( ) M[ei x ] ei x p(x)dx .

(С1)

Пусть случайная скалярная величина х имеет нормальное распределение

(x mx )2

p(x)

exp

2 D

Тогда

(x mx )

E( ) ei x

exp

i x

2 x

2Dx

2 x

2Dx

AC B2

Пользуясь известной формулой

e Ax

2Bx C dx

exp

где для нашего случая A	1		,	B	mx		i
	2	2			2 2
						2
		x			x

E( )

, C x , получаем, что

2 x2

		2	2	.	(С2)
exp im	x		2	.	(С2)
	x	2	x
		2

Пусть x1 ,..., xn - компоненты n-мерного случайного вектора x, подчиненного нормальному закону. Тогда


	E( 1 ,..., n ) M ei T x ei( 1x ... n x) p(x1 ,..., xn )dx1...dxn										(В1)

Учитывая, что для многомерного нормального распределения х(t)
	1		1				1	(x mx )T R 1
p(x)						exp			(x mx )	,

		2		R			2
		2		R			2
аналогично скалярному случаю можно получить
Л-01					12.02.2015					22 из 25

n	1	n		T	1	T
E( 1 ,..., n ) exp i mk k		Rkl k l	exp i m				R	,	(В2)
E( 1 ,..., n ) exp i mk k	2	Rkl k l	exp i m		2		R	,	(В2)
	2	k ,l 1			2
k 1		k ,l 1

		T
где	R (Rij ) - дисперсионная матрица M x x		.

Примеры использования характеристической функции для расчета средних значений

Суть использования характеристических функций заключается в следующем. С одной стороны, используя свойства характеристической функции (С1 или В1), т.е. функции n параметров 1 ,..., n , мы конструируем под интегралом (за счет умело подбираемых либо

значений i , либо математических операций с i ) многомерную функцию, математическое ожидание которой необходимо найти. Тем самым E( 1 ,..., n ) становится искомым математическим ожиданием. С другой стороны, имея конечное значение характеристической функции (соответственно С2 или В2) и подставляя соответствующие i , получаем выражение для искомого математического ожидания.

Пример 1. Найти среднее значение y e 0 x . Решение:

Замечаем, что если в (С1) положить i 0 , то E( 0 ) y .

С другой стороны, подставляя i 0 в (С2), получаем

			2
	y E( i 0 ) exp 0 mx		0
	y E( i 0 ) exp 0 mx		2
			2

Пример 2. Найти среднее значение y a x .

Решение:

Dx .

Имеем y exln a

e x , i lna

(т.к. a x bx logb a

a x

ex lna ).

Следовательно

y exp

ln a

(lna )2

Пример 3.

Найти среднее значение y x1x2 ,

Решение: Имеем (cм. (В1), n=2)

y i 2

E( 1 2 )

1 2

exp

i(m1 1 m2 2 )

(R11 1 2R12 1 2 R22 2

)

m1m2 R12 .

1 2

Пример 4.

Найти средние значения функций sin x и cos x.

Решение:

Согласно (С1) имеем

Л-01

12.02.2015

23 из 25


					E( )					ei x p(x)dx										cos x p(x)dx i sin x p(x)dx																																						cos x	i			sin x	.

С другой стороны,													в соответствии с (С2)
																																																				2			2
														E( ) ei x p(x)dx exp imx																																				x						..
														E( ) ei x p(x)dx exp imx																																										..
																																																				2
Следовательно
																						Re E( )													1 ,								Im E( )										1 ,
															cosx																						sin x
															cosx
откуда
откуда
																													2																			2
																													x																			x
																cosx e											2				cosm , sin x e																2 sinm .
																cosx e											2				cosm , sin x e																2 sinm .
																																			x																			x
Пример 5.			Найти средние значения функций x1 sin x2																																				и x1 cos x2 .
Решение:		Сформируем средние значения искомых функций с помощью E( 1 , 2 ) :

																	E( 1 , 2 ) ei( 1x 2 x) p(x1 , x2 )dx1dx2 .

Отсюда
	E
	E			ix1ei( 1x 2 x) p(x1, x2 )dx1dx2 { 1 0, 2 1}
	1			ix1ei( 1x 2 x) p(x1, x2 )dx1dx2 { 1 0, 2 1}
	1

i		x1(cos x2								i sin x2 ) p(x1, x2 )dx1dx2																						i				x1 cos x2 p(x1, x2 )dx1dx2


			x1 sin x2 p(x1, x2 )dx1dx2 i																		x1 cos x2													x1 sin x2

	Следовательно, получаем
.
														Im E( )									1 0, 2 1 ,																	Re E( )														1 0, 2 1 .
									x1 cos x2																										x1 sin x2


Учитывая выражение для E( 1 , 2 )
																																												1		2
												E( 1 , 2 ) exp i(m1 1 m2 2 )																																1	Rij i j
												E( 1 , 2 ) exp i(m1 1 m2 2 )																																	Rij i j
																																												2 i, j 1
получаем
	E							2 R 2 R																																									R2 2
																																																	R2 2

					im					1	11		2 12					E( ,												)					(im					R						)e		2				(cos m						i sin m			)
					im													E( ,											2	)					(im					R						)e		2				(cos m					2	i sin m		2	)
	1					1							2											1					2			1	0					1						12													2			2
	1												2																			1	0
e		R2 2			( R							m sin m								) ie						R2 2						2	1						R
		R2 2																								R2 2
				2			cos m				2								2									2			(m cos m							2								sin m					2	).
						12					2		1						2														1					2						12							2
Тем самым, например,
																								e						R22														R
																x sin x							2	e								2		(m sin m							2			R				cos m							) ,
													1										2										1								2					12						2
																									e					R22														R
																x cos x							2		e							2		(m cos m								2		R				sin m							) .
													1										2										1									2				12						2
Л-01																										12.02.2015																																				24 из 25

Эту же задачу можно решить более просто, используя рекуррентное соотношение: cреднее значение функции y x2 (x1 ) может быть определено как


y m
	(x )		R ,
	(x )		R ,
2	1	m1	1,2
		m1

т.е. для нахождения среднего значения y достаточно знать среднее значения функции φ(x). В рассматриваемом случае

y x sin x x2 (x1 ) .

Поскольку (x1 ) sin x e 2 sinmx , то

2 e

y m

sin m

cos m

sin m

cos m

) .

Л-01

12.02.2015

25 из 25

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20152.04 Mб31lecture_6.pdf
#
03.06.20155.2 Mб30lecture_7.pdf
#
03.06.20151.41 Mб37Lecture_8.pdf
#
27.03.2016170.33 Кб10Lecture_HJ_7.pdf
#
03.06.201523.24 Кб18Lektsia_5_Eumetazoa.docx
#
03.06.20151.11 Mб11Lektsii_Vesna.pdf
#
03.06.2015303.94 Кб8Lektsii_zubova_1.pdf
#
03.06.2015319.88 Кб7Lektsii_zubova_2.pdf
#
03.06.2015450.28 Кб8Leonidov.pdf
#
03.06.2015550.54 Кб5LM1117.pdf
#
03.06.201520.96 Mб124M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf