Lektsii_Vesna

где W (i ) – амплитудно-фазовая характеристика системы. Для дисперсии получаем:

(непрерывное получение корреляционных моментов)

При анализе точности линейных систем эффективным оказывается применение корреляционный системы уравнений (КСУ). КСУ позволяет получать взаимные дисперсионные моменты фазовых переменных выхода в любой момент времени t (в том числе и при t , т.е. в установившемся режиме). Процедура получения дисперсионных моментов сводится к решению системы дифференциальных уравнений и поэтому удобна при расчетах в реальном времени

При выводе КСУ используется понятие формирующего фильтра. Формирующий фильтр решает задачу представления стационарного (установившегося) стохастического процесса как результата прохождения белого шума через некоторое эквивалентное звено (собственно формирующий фильтр).

Пусть задан некоторый центрированный стационарный случайный процесс x(t) , характеризуемый корреляционной функцией Kx . Представим процесс как результат прохождения белого шума через звено с передаточной функциейWфф s

Пример. Пусть задана спектральная плотность случайного процесса x(t)

Тогда

Рассмотрим САУ, описываемую одним дифференциальным уравнением n - порядка относительно скалярной переменной выхода z(t)

Путем введения формирующих фильтров это уравнение можно свести к системе n уравнений первого порядка с аддитивно входящими в правые части шумами:

Здесь y(t) – вектор состояния, содержащий помимо компонент вектора состояния исследуемой системы, компоненты, представляющие формирующий фильтр, - вектор белых шумов.

Пример. Задана передаточная функция линейной системы и корреляционная функция стационарного входного сигнала x(t)

Используя понятие формирующего фильтра, от исходной системы перейдем к системе, у которой входом является белый шум.

Имеем

Тем самым, мы от исходной системы (1) приходим к системе, входом которой является белый шум. (t)

(1 p)(1 Tp)z k ,

или

T z (1 T )z z k .

Полагая

где G(t, ) - матрица весовых функций.

Окончательно корреляционную систему получаем в виде:

dmy (t)dt A(t)my (t) B(t)m (t)

dR(t) / dt A(t)R(t) [ AR(t)]T BS0 BT

В силу симметричности матрицы R(t) порядок системы, т.е. число независимых уравнений, равно n(n 1) / 2 . Тем самым, этой системой имеет смысл пользоваться только при

небольших n .

Для определения установившихся значений дисперсии и взаимных дисперсионных

моментов выходных сигналов следует в КСУ положить R 0 . Тогда искомые характеристики точности системы в виде элементов дисперсионной матрицы определяются из системы линейных алгебраических уравнений.

Пример. Рассмотрим одномерную систему, уже рассмотренную на предыдущей лекции

T y y .

Здесь y и - скаляры, R ( ) S0 (t) , S0 - интенсивность белого шума – скаляр, положим m 0.

Имеем

A 1T const - скаляр; B 1T const - скаляр; A AT , B BT .

Поскольку n 1, то дисперсионная матрица тождественна дисперсии, т.е.

R R11 Dy .

Тем самым

В установившемся режиме (т.е. при t ) Dy уст 2ST0 , этот же результат следует из корреляционной системы при Dy 0 .

Замечание:

На следующей лекции, при рассмотрении вопросов многомерной линеаризации, будет

получена корреляционная система уравнений для нелинейной системы

dy / dt F( y) B(t) .

Лекция 4

Статистическая линеаризация нелинейных систем

Нелинейные системы – системы, содержащие хотя бы один нелинейный элемент. Нелинейный элемент – элемент, не подчиняющийся принципу суперпозиции (x(t)- произвольный сигнал!):

Изложенные выше методы анализа точности САУ предназначены для линейных систем, точнее для линеаризованных систем, у которых каждый элемент может быть описан системой линейных дифференциальных (либо, конечных) уравнений с коэффициентами, постоянными если не для всех, то, по крайней мере, для некоторого выбранного множества входных сигналов. Поэтому одним из путей анализа точности нелинейных САУ является предварительная линеаризация нелинейных элементов с последующим применением имеющихся методов.

Гладкие нелинейности

Линеаризация гладких нелинейностей основывается на допущении о возможности замены нелинейной характеристики в допустимых пределах изменения входного сигнала линейной зависимостью (линеаризованной моделью), определяемой первыми членами разложения (x), где x(t)- функция входа нелинейности, в ряд Тейлора:

(x) (x0 ) '(x0 )(x x0 ) = k0 k1 x .

Эта приближенная зависимость линейна относительно x x x0 и нелинейна относительно центра разложения x0 . Вследствие этого принцип суперпозиции для

линеаризованной модели в общем случае не выполняется, но выполняется для множества сигналов, характеризующихся одним и тем же центром разложения. Для линейных систем(x0 ) и '(x0 ) не зависит от x0 и принцип суперпозиции выполняется.

В случае, если x(t) – случайный процесс, то x(t) mx (t) x(t) и линеаризацию удобно производить относительно mx :

y(t) (mx ) '(mx ) x .

Здесь также приближенная зависимость линейна относительно x и нелинейна относительно центра разложения mx

Существенные (негладкие) нелинейности

В основе построения линеаризованной модели существенной нелинейности по-прежнему лежит идея приближения линейной по отклонению функцией

(x) k0 k1 x .

Поскольку для существенных нелинейностей коэффициенты k0 и k1 , в отличие от предыдущего случая, не могут быть просто определены по (x) , возникает необходимость

дополнительного рассмотрения. Важным обстоятельством является то, что под линеаризацией в этом случае мы понимаем нахождение линеаризованной (линейной по форме, но не подчиняющейся принципу суперпозиции) модели.

Гармоническая линеаризация - напоминание

Примером линеаризации существенных нелинейностей может служить метод гармонической линеаризации детерминированных систем, в основе которого лежат предположения

-входной сигнал является гармоническим x a sin t ;

-выходной сигнал – периодический;

-основной вклад в выходной сигнал вносит первая гармоника разложения периодического сигнала в ряд Фурье (гипотеза фильтра).

Для, например, однозначной безынерционной нелинейности (в этом случае q (a) =0)

y(x) 0 q(a)x ,

Необходимые (и, как можно показать – и достаточные) условия минимума:

.

Таким образом, полученные формулы позволяют найти линейную зависимость, эквивалентную заданной нелинейной в соответствии с выбранным критерием. При этом оба критерия дают одно и тоже значение для 0 и различные – для k1 . На практике часто

используется

k1 (k1(1) k1(2) ) / 2.

Для расчета коэффициентов линеаризации необходимо знать одномерное распределение p(x) входного воздействия x(t). Распределение p(x) в общем случае произвольно и неизвестно. Однако, если учесть свойство нормализации, заключающееся в том, что распределение вероятностей выходных переменных инерционных звеньев замкнутой нелинейной динамической системы близки к гауссовскому даже при негауссовских распределениях их входных переменных, то распределение p(x) переменной на входе нелинейности (x) , находящейся после инерционного звена замкнутой системы можно

полагать нормальным Поэтому, если в полученных выражениях плотность распределения считать гауссовской: