Методы и объекты системного анализа

Эти методы основаны на том, что рассматриваются разные явления без раскрытия процессов, которые там происходят, а учитываются лишь формальные связи между разными факторами и характер их изменения под влиянием внешних условий. Методы системного анализа объединяют математические методы, компьютерные технологии, теории автоматического управления, исследование операций, которые приводит к объективной необходимости привлекать знание из разных наук.

Для описания поведения систем используются методы теории информации и принятие решений. В теории систем традиционные математические методы (дифференциальные, разностные уравнения и т.д.) не разрешают полностью описать реальные процессы в сложных системах, поэтому рядом с количественной информацией используется качественная информация, в частности, теория нечетких.

Принципы системного подхода.

• 
принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной (глобальной) цели;

• 
принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности систем (элементов);

• 
принцип связанности: рассмотрение любой части совместно с ее связями с окружением;

• 
принцип модульного построения: полезно выделить модули в системе и рассматривать ее как совокупность модулей;

• 
принцип иерархии: целесообразно вводить иерархию частей (элементов) и (или) их ранжирование;

• 
принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функций с приоритетом функций над структурой;

• 
принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накоплению информации;

• 
принцип децентрализации: объединение в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации;

• 
принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе.

Черты системного подхода.

В системных исследованиях широко используются процедуры декомпозиции и агрегирование, которые являются разными аспектами аналитического и синтетического приемов исследования систем. Сложная система расчленяется на менее сложные части, которые потом могут объединяться в одно целое, что дает возможность объяснить целое через его части в виде структуры целого.

Матричные модели

Матричную модель можно рассматривать как конечно-разностный аналог динамической модели. Один из ранних вариантов матричной модели был разработан Льюисом и Лесли как детерминистская модель, предсказывающая будущую возрастную структуру популяции самок по известной структуре в настоящий момент времени и гипотетическим коэффициентам выживания и плодовитости. Популяцию разбивают на n+1 возрастную группу (т. е. 0, 1, 2,..., п, причем каждая группа состоит из особей одного возраста), так что самая старшая группа, или группа, в которой все доживающие до данного возраста животные вымирают, имеет номер п. Обозначая через x_n число особей в каждой возрастной группе, получаем вектор, представляющий возрастную структуру в момент времени t.

Модель описывается матричным уравнением, которое запишем в развернутом виде:

где величины fi,(i=0,1,...,n) представляют число самок, производимых самкой i-го возраста,

р, (i = 0,1,..., п -1) – вероятность того, что самка i-го возраста доживет до возраста i+1.

Покажем, что поведение модели можно предсказать, анализируя некоторые формальные свойства матрицы А. Во-первых, последовательно умножая уравнение на матрицу А, легко получить более общие уравнения для численности возрастных групп к моменту времени

Во-вторых, поскольку матрица А квадратная с (n+1) строками и столбцами, она имеет n+1 собственных чисел (с учетом кратности) и (n+1) собственных (и присоединенных) векторов. Элементы А являются либо положительными числами, либо нулями, поэтому наибольшее (по абсолютной величине) собственное число и координаты отвечающего ему собственного вектора положительны и при этом имеют определенный экологический смысл. Проиллюстрируем это на одной из простейших моделей, предложенных Уильямсоном.

Исходная популяция имеет вектор, представляющий возрастную структуру а₀ = (0,0,1), т. е. популяция состоит из одной самки старшего возраста. Матрица А имеет вид:

По прошествии одного временного интервала имеем

т. е. a1 = (12, 0, 0) и в популяции уже будет 12 самок младшего возраста. Повторное применение модели дает следующие результаты:

и т.д.

Главное собственное число и собственный вектор матрицы А можно найти известными методами, имея – систему линейных алгебраических уравнений:

определитель которой

Следовательно, главное собственное число λ₁ =2. Остальные собственные числа в силу имеют вид λ₂ =-1, λ₃ =-1. Собственный вектор имеет вид λ = (6,-2,1).

Нетрудно проверить, что система допускает решение λ = (0, - 2, 2). Привлекая геометрические соображения, заключаем, что возрастная структура популяции представляется вектором в трехмерном пространстве, в котором векторы = (24,4, 2), = (6, - 2,1) и = (0, - 2, 2) – базисные, т. е. где α₀, β₀, γ₀ – некоторые положительные числа (например, если  α₀ = (258, 30, 17), то α₀=10, β₀=3, γ₀=2).

Тогда уравнение примет вид:

Так как к/2→ 0, k → ∞, то при t=+k → ∞  популяция возрастает по экспоненциальному закону

Главное собственное число λ₁ дает скорость, с которой возрастает размер популяции (в нашем примере за каждый временной интервал популяция удваивается), а собственный вектор определяет устойчивую возрастную структуру популяции, т. е. отношение численностей особей разных возрастных групп остается постоянным и равным 24:4:1. Нетрудно видеть, что если мы в конце каждого временного интервала будем изымать половину популяции и использовать на корм, то размер ее станет равным исходному .

Матричные модели очень удобны для расчета на ЭВМ и находят все более широкое применение, например, для анализа круговорота питательных веществ в экосистемах, в различных стохастических моделях [54] (в марковских моделях и т.д.).