7. Скалярное произведение. Евклидово линейное пространство

405. Определить, является ли скалярным произведением на трехмерном линейном пространстве функционал вида: где векторыизаданы своими координатамии, соответственно,относительно некоторого базиса этого пространства.

406. Определить, является ли скалярным произведением на двумерном линейном пространстве функционал вида: где векторыизаданы своими координатамии, соответственно,относительно некоторого базиса этого пространства.

407. Является ли билинейная форма на линейном пространстве всех непрерывных на отрезкефункций скалярным произведением?

408. *Является ли билинейная форма на линейном пространстве всех интегрируемых на отрезкефункций скалярным произведением?

409. Пусть – линейные формы на линейном пространстве. Определимдля любых.Может ли билинейная форма – быть скалярным произведением на?При каких условиях?

410. *Определите какое-либо скалярное произведение на линейном пространстве матриц M.

411. Определите, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных вещественных матриц одного порядка функционал вида , где– след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц.

412. *Определите, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал вида , где– след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц.

413. *Определите, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал , где– след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц(– матрица, комплексно сопряженная к матрице).

414. *Определите, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал , где– след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц, а– матрица, транспонированная к матрице, комплексно сопряженной матрице.

415. Определите, является ли скалярным произведением отображение , заданное на линейном пространстведифференцируемых и интегрируемых на отрезкефункций формулой:.

416. Докажите, что любая ортогональная система векторов евклидова линейного пространства линейно независима.

417. Напишите неравенство Коши-Буняковского-Шварца для линейного пространства со скалярным произведением: .

418. *Докажите, что векторы иевклидова линейного пространстваколлинеарны тогда и только тогда, когда.

419. Докажите, что для любых векторов иевклидова линейного пространстваимеет место неравенство:.

420. Определите, для каких векторов иевклидова линейного пространстваимеет место равенство:..

421. Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на трехмерном пространстве?

422. Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на трехмерном пространстве?

423. Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на трехмерном пространстве?

424. Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на трехмерном пространстве?

425. *Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на четырехмерном пространстве?

426. Определите, может ли быть первой строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

427. Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

428. Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

429. Определите, может ли быть третьей строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

430. Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

431. Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

432. Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

433. *Докажите, что система векторов евклидова линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы Грама положителен.

434. **Пусть и– две системы векторов в-мерном евклидовом линейном пространстве, причем системалинейно зависима. Найдите определитель матрицы , где.

435. **Пусть и– две системы векторов в-мерном евклидовом линейном пространстве, причем система векторовлинейно зависима, а матрица ,где , вырожденная. Верно ли, что система векторов линейно зависимая?

436. **Пусть и– две системы векторов в-мерном евклидовом линейном пространстве, причем система векторовлинейно зависима. Верно ли, что матрица ,где , вырождена тогда и только тогда, когда одна из систем векторов илилинейно зависима?

437. **Пусть и– две системы векторов в-мерном евклидовом линейном пространстве, причем система векторовлинейно зависима. Матрица ,где и, вырожденная. Верно ли, что одна из систем векторов илилинейно зависимая?

438. Докажите, что ортогональное дополнение любого непустого подмножества евклидова линейного пространства есть подпространство.

439. *Докажите, что, если два подпространства евклидова линейного пространства ортогональны, то их пересечение состоит только из нулевого вектора.

440. Верно ли, что, если пересечение двух подпространств евклидова линейного пространства состоит только из нулевого вектора, то эти подпространства ортогональны?

441. *Пусть и– подпространства евклидова линейного пространства , аи– их ортогональные дополнения, соответственно. Можно ли и как через них выразить –ортогональное дополнение к подпространству ?

442. *Пусть и– подпространства евклидова линейного пространства , аи– их ортогональные дополнения, соответственно. Можно ли и как через них выразить –ортогональное дополнение к подпространству ?

443. Каким должен быть базис евклидова линейного пространства , чтобы скалярное произведение на нем имело стандартный вид?

444. Существует ли ортогональная матрица с нулевым определителем? С отрицательным определителем?

445. Существует ли ортогональная матрица, отличная от единичной, чтобы все ее элементы были бы неотрицательны?

446. Сумма квадратов элементов строки матрицы равна . Может ли эта строка быть строкой ортогональной матрицы?

447. Может ли нулевая строка быть строкой ортогональной матрицы?

448. **Существует ли ортогональная матрица, все элементы которой были бы равны по модулю? В случае положительного ответа приведите пример такой матрицы и укажите, чему равно это число для матрицы порядка .

449. и – ортогональные матрицы. Будут ли ортогональными матрицыи?

450. Ортогональна ли матрица , еслиортогональна, т.е. O?

451. *Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка O группу относительно операции их умножения?

452. Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка с положительным определителем SO группу относительно операции умножения (подгруппу O)?

453. Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка с отрицательным определителем группу относительно операции умножения (подгруппу O)?

454. Образует ли множество всех унитарных матриц одного порядка U группу относительно операции их умножения?