4. Эндоморфизмы линейных пространств

226. Докажите, что если отображения , то.

227. **Докажите, что является линейной алгеброй относительно естественных операций сложения эндоморфизмов, умножения их на скаляр и умножения эндоморфизмов.

228. Докажите, что для фиксированного (свободного) вектора Vи такого, что отображение , если ,, где–векторное произведение. Найдите ядро и образ . Определите, сюръективно ли это отображение? Инъективно? Является лиавтоморфизмомV?

229. *Является ли дифференцирование эндоморфизмом линейного пространства всех дифференцируемых функций на отрезке ? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

230. *Является ли дифференцирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

231. *Является ли дифференцирование эндоморфизмом линейного пространства линейного пространствадифференцируемых функций на отрезке? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

232. Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

233. Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов степени не выше ? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

234. *Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространстваинтегрируемых по Риману функций на отрезке, где,. В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

235. Для фиксированного (свободного) вектора Vи такого, что отображение (где–векторное произведение) . Найдите матрицу этого отображенияотносительно ортонормированного базиса, если в этом базисе векторимеет координаты

236. Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше в стандартном базисе в этом линейном пространстве?

237. Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше в базисеэтого линейного пространства?

238. *Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше в базисеэтого линейного пространства?

239. Является ли проектирование линейного пространства всех свободных (геометрических) векторовVна его одномерное подпространствоV(свободных векторов, параллельных некоторой прямой) эндоморфизмом (автоморфизмом) этого пространства?

240. Является ли проектирование линейного пространства всех свободных (геометрических) векторовVна его одномерное подпространствоV(свободных векторов, параллельных некоторой прямой) автоморфизмом пространстваV(обратимым эндоморфизмом)?

241. Является ли симметрия (отражение) линейного пространства всех свободных (геометрических) векторовVотносительно его одномерного подпространстваV(свободных векторов, параллельных некоторой прямой) эндоморфизмомV? АвтоморфизмомV(обратимым эндоморфизмом)?

242. Является ли симметрия (отражение) линейного пространства всех свободных (геометрических) векторовVотносительно его одномерного подпространстваV(векторной прямой) автоморфизмомV?

243. Является ли поворот линейного пространства всех свободных (геометрических) векторовVна угол, эндоморфизмом (автоморфизмом) пространства V?

244. *Является ли проектирование в линейном пространствена плоскостьпараллельно векторной прямойэндоморфизмом? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

245. *Является ли проектирование в линейном пространствена плоскостьпараллельно векторной прямойавтоморфизмом(обратимым эндоморфизмом)?

246. *Является ли симметрия (отражение) относительно подпространствав линейном пространствеэндоморфизмом (т.е. любому вектору, где, асопоставляется вектор)? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

247. *, верно ли, что, еслии– подпространства линейного пространства?

248. , верно ли, что , еслии– подпространства линейного пространства?

249. , верно ли, что , еслии– подпространства линейного пространства?

250. *, верно ли, что, еслии– подпространства линейного пространства?

251. , верно ли, что , еслии– подпространства линейного пространства?

252. , верно ли, что , еслии– подпространства линейного пространства?

253. Докажите, что, если , то ядро эндоморфизма– подпространство, инвариантное относительно.

254. Докажите, что, если , то образ эндоморфизма– подпространство, инвариантное относительно.

255. Верно ли, что для любого любое подпространствоинвариантно?

256. Верно ли, что для любого любое подпространство линейного пространства, содержащееинвариантно?

257. **Для произвольного какое из утверждений верно:,или?

258. **Для произвольного какое из утверждений верно:,или?

259. **Верно ли, что равенство имеет место для любого(– произвольноеконечномерное линейное пространство)?

260. **Верно ли, что равенство имеет место для любого(– произвольное линейное пространство)?

261. *Может ли для эндоморфизма выполняться?

262. **Пусть . Докажите, чтотогда и только тогда, когда.

263. *, как изменится матрицаэтого линейного оператора, если в базисе, относительно которого она задана, изменить порядок векторов на противоположный?

264. *, как изменится матрицаэтого линейного оператора, если каждый вектор базиса, относительно которого она задана, умножить на число?

265. Матрица линейного оператораскалярная в некотором базисе. Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом базисе этого пространства?

266. Матрица линейного операторадиагональная в некотором базисе. Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом базисе этого пространства?

267. Матрица линейного операторасимметрическая в некотором базисе. Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом базисе этого пространства?

268. Матрица линейного операторакососимметрическая в некотором базисе. Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом базисе этого пространства?

269. Пусть и. Какова матрицав базисе этого пространства, если векторы, а?

270. **Пусть и. Существует ли базис в, относительно которого матрицадиагональная?

271. *Является ли невырожденным (обратимым) эндоморфизм линейного пространстваинтегрируемых по Риману функций на отрезке, где,?

272. Укажите все собственные подпространства эндоморфизма M, если(отображение сопоставляет любой матрице ее транспонированную матрицу).

273. *и обратим, т.е. существует. Является ли эндоморфизмом линейного пространства ?

274. Докажите, что если и подпространстваиинвариантны относительно, то подпространствотакже инвариантно относительно.

275. Докажите, что если и подпространстваиинвариантны относительно, то подпространствотакже инвариантно относительно.

276. *(т.е.и существует). Верно ли, что если– подпространство, инвариантное относительно, то подпространствоинвариантно относительно?

277. *Верно ли, что, если , тоиимеют одни и те же инвариантные подпространства в линейном пространстве?

278. Как меняется с изменением базиса линейного пространства характеристический многочлени характеристическое уравнениеэндоморфизма?

279. Как изменяются собственные значения с изменением базиса в линейном пространстве?

280. Докажите, что может иметь не болеесобственных значений.

281. Может ли автоморфизм иметь нулевое собственное значение?

282. и имеет одно из собственных значений, равное . Может ли этот эндоморфизм быть автоморфизмом линейного пространства?

283. **, где– конечномерное вещественное линейное пространство, причемудовлетворяет условию, т.е. для любоговыполняется. Определите его собственные значения.

284. **, где– конечномерное вещественное линейное пространство, причемудовлетворяет условию, т.е. для любоговыполняется. Определите его собственные значения.

285. *Может ли быть сумма двух собственных векторов сразличными собственными значениями быть собственным вектором того же эндоморфизма?

286. Пусть векторы и– собственныес собственными значениямии, соответственно,. Могут ли быть коллинеарными векторыи, если?

287. Какие собственные векторы имеет линейный эндоморфизм , если относительно некоторого базиса матрица?

288. *Эндоморфизм трехмерного линейного пространства имеет все собственные значения, равными . Означает ли это, что он является нулевым эндоморфизмом, т.е.для любого?

289. *Эндоморфизм трехмерного линейного пространства имеет все собственные значения, равные 1. Означает ли это, что он является тождественным эндоморфизмом, т.е. для любого?

290. Докажите, что собственные векторы эндоморфизма с различными собственными значениями линейно независимы.

291. имеет различных собственных значений. Докажите, что из собственных векторов с этими собственными значениями составить базис. Какова в этом базисе матрица эндоморфизма?

292. Может ли эндоморфизм линейного пространства иметь единственный собственный вектор?

293. Верно ли, что всякий эндоморфизм вещественного линейного пространства обязательно имеет собственные векторы (хотя бы один)?

294. Верно ли, что всякий эндоморфизм комплексного линейного пространства обязательно имеет собственные векторы (хотя бы один)?

295. Какова должна быть размерность конечномерного вещественного линейного пространства, чтобы любой его эндоморфизм имел бы, по крайней мере, один собственный вектор?

296. Укажите возможное наибольшее число собственных значений линейного оператора ?

297. Укажите возможное наибольшее и наименьшее число линейно независимых собственных векторов линейного оператора ?

298. Укажите возможное наибольшее и наименьшее число линейно независимых собственных направлений линейного оператора ?

299. Пусть , аи– его различные собственные значения. Докажите, что.

300. Существует ли , где– вещественное линейное пространство, для которого нет базиса, в котором его матрица была бы диагональной?

301. Верно ли, что в любом подпространстве линейного пространства , инвариантного относительно, имеется хотя бы один собственный вектор?

302. Верно ли, что в любом подпространстве линейного пространства , инвариантного относительно, имеется хотя бы один собственный вектор?

303. Докажите, что является автоморфизмомтогда и только тогда, когда характеристическое уравнениене имеет нулевых корней.

304. **Верно ли, что, если линейное пространство есть прямая сумма своих подпространстви подпространствоинвариантно относительно эндоморфизма, то подпространствотакже инвариантно относительно?

305. *Верно ли, что, если линейное пространство есть прямая сумма своих подпространстви подпространствоинвариантно относительно эндоморфизма, то подпространствотакже инвариантно относительно?

306. с матрицей . Найдитеи.

307. *Пусть и в некотором базисематрицадиагональная. Верно ли, что в любом подпространстве, инвариантном относительно, найдется базис, относительно которого ограничениена подпространствоимеет диагональную матрицу?

308. *Докажите, что, если для в некотором базисе матрицадиагональная, тоесть линейная оболочка всех собственных векторов с ненулевыми собственными значениями и.

309. *Верно ли, что, если и имеет место, то найдется базис из собственных векторов, в котором матрица эндоморфизмадиагональная?

310. с матрицей . Найдитеи.

311. с матрицей . Найдитеи.

312. с матрицей . Найдитеи.

313. *Существует ли , где– вещественное линейное пространство, в котором не существует базиса, относительно которого его матрица была бы диагональной?

314. и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства Vна векторную прямую, заданную уравнениями:относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите его матрицуотносительно некоторого ортонормированного базиса. Существует ли базис, в котором матрица диагональная?

315. и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства Vна векторную прямую, заданную уравнениями:относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства.

316. и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства Vна подпространство, заданное уравнением: относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите его матрицуотносительно этого базиса. Существует ли базис, в котором матрица диагональная?

317. и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства Vна подпространство, заданное уравнением: относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства.

318. *и является поворотом на уголвекторов линейного пространстваVвокруг векторной прямой, заданной уравнениями:относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите его матрицуотносительно этого базиса. Существует ли базис, в котором матрица отображениядиагональная?

319. *и является поворотом векторов линейного пространстваVна уголвокруг векторной прямой, заданной уравнениями:относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства.

320. *и является поворотом векторов линейного пространстваVна уголвокруг векторной прямой, заданной уравнениями:относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите его матрицуотносительно этого базиса. Существует ли базис, в котором матрицадиагональная?

321. *и является поворотом векторов линейного пространстваVна уголвокруг векторной прямой, заданной уравнениями:относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства.

322. *и, где V, а– векторное произведение. Определите, является лиавтоморфизмом линейного пространстваV.

323. *и, где V, а– векторное произведение. Найдите матрицуотносительно базиса. Существует ли базис, в котором матрица этого отображениядиагональная?

324. *и, где V, а– векторное произведение. Найдите собственные векторы и собственные подпространства.

325. Какие собственные векторы имеет , если относительно некоторого базиса его матрица?

326. *Пусть , где– вещественное линейное пространство. Верно ли, что в любом его подпространстве, инвариантном относительно, этот оператор имеет собственный вектор?

327. Пусть , где– конечномерное вещественное линейное пространство. Верно ли, что в любом его подпространстве, инвариантном относительно, этот оператор всегда имеет собственный вектор?

328. Пусть , где– конечномерное вещественное линейное пространство. Верно ли, что в любом подпространственечетной размерности, инвариантном относительно, этот оператор всегда имеет собственный вектор?

329. . Верно ли, что если имеет собственным вектором, то он является собственным вектором линейного оператора?

330. . Верно ли, что если имеет собственным вектором вектор, то этот вектор – собственный вектор линейного оператора?

331. . Верно ли, что если вектор – собственный вектор, то этот вектор – собственный вектор и для линейного оператора?

332. *и относительно некоторого базисаимеют матрицыи, соответственно,. Верно ли, что характеристические многочлены эндоморфизмовисовпадают?

333. *и относительно некоторого базисаимеют матрицыи, соответственно,. Верно ли, что, если один из операторов невырожденный (автоморфизм), например,, то характеристические многочлены эндоморфизмовисовпадают?

334. Пусть , и имеет собственный вектор,– дополнительное кподпространство. Является лиинвариантным подпространством относительно?