ОЧЕНЬ МНОГО ВОПРОСОВ

ПО КУРСУ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ,

ПОЛЕЗНЫХ К РАЗМЫШЛЕНИЮ ПЕРЕД ЭКЗАМЕНОМ

(ОСОБЕННО ДОСРОЧНЫМ). СЕМЕСТР 2.

(И особенно на потоке в.Т.Петровой)

1. Ранг матрицы, определитель матрицы

1. Пусть Mи строки этой матрицы линейно независимы. Следует ли из этого, что ?

2. Пусть Mи строки этой матрицы линейно зависимы. Следует ли из этого, что ?

3. Пусть Mи . Следует ли из этого, что строки этой матрицы линейно зависимы?

4. Пусть Mи . Следует ли из этого, что строки этой матрицы линейно независимы?

5. Пусть MиM, и матрицы и – невырожденные, Верно ли, что и матрица – тоже невырожденная?

6. Пусть MиM, и матрица – невырожденная, Верно ли, что и матрицы и – тоже невырожденные?

7. *Пусть MиMи матрица – невырожденная, Верно ли, что и матрица – тоже невырожденная?

8. *Пусть MиMи.Следует ли из этого, что и матрицаневырожденная?

9. Пусть строки матрицы Mлинейно зависимы и. Следует ли из этого, что?

10. Пусть строки матрицы Mлинейно зависимы и. Следует ли из этого, что?

11. Пусть M, причем строки матрицылинейно независимы. Верно ли, что для любой матрицыMнайдется матрица, такая, что?

12. Пусть M, причем столбцы матрицылинейно независимы. Верно ли, что для любой матрицыMнайдется матрица, такая, что?

13. Пусть M, а у матрицыMлинейно независимы строки. Верно ли, что матрицаневырожденная?

14. Пусть M, а у матрицыMлинейно независимы строки. Верно ли, что матрицаневырожденная?

15. *Пусть MиMи матрица – невырожденная, Верно ли, что и матрица – тоже невырожденная?

16. **Пусть MиMи.Следует ли из этого, что и матрицаневырожденная?

17. *Пусть Mи ее столбцы линейно независимы, аM. Верно ли, что в этом случае?

18. *Пусть Mи ее строки линейно независимы, аM. Верно ли, что в этом случае?

19. *Пусть Mи. Следует ли из этого, что?

20. Пусть Mи. Следует ли из этого, что?

21. Пусть Mи. Следует ли из этого, что?

22. Пусть Mи отличаются только порядком строк. Верно ли, что их определители равны?

23. Пусть Mи, а. Следует ли из этого, что матрица– вырожденная?

24. Пусть M– невырожденные. Следует ли из этого, что?

25. *Сравните ранги матриц и, где M.

26. **Пусть M, верно ли, что квадратная матрица– всегда невырожденная?

27. *Сравните ранги матриц и, где M.

2. Системы линейных уравнений

28. Сколько решений может иметь система линейных уравнений , еслистолбцы ее матрицы линейно независимы?

29. Сколько решений может иметь система линейных уравнений , еслистроки ее матрицы линейно независимы?

30. В каком случае линейная неоднородная система уравнений изуравнений спеременными имеет единственное решение?

31. Пусть M, M, а система уравненийимеет единственное решение. Верно ли, что в этом случае?

32. Пусть M, M, аX – множество решений системы уравнений . Верно ли, что если множествоX состоит из конечного числа элементов, то ?

33. *Пусть M, M, а система уравненийимеет более одного решения. Верно ли, что в этом случае?

34. *Пусть M, M, а система уравненийимеет более одного решения. Верно ли, что в этом случае?

35. *Пусть M, M, причем столбцы матрицы линейно зависимы. Следует ли из этого, что система уравнений имеет более одного решения?

36. Пусть M, M, причем столбцы матрицы линейно независимы. Следует ли из этого, что система уравнений имеет более одного решения?

37. Пусть строки матрицы Mлинейно зависимы, а система линейных уравненийимеет только нулевое решение. Следует ли из этого, что?

38. Пусть строки матрицы Mлинейно зависимы, а система линейных уравненийимеет ненулевое решение. Следует ли из этого, что?

39. Пусть M, а M, M. Верно ли, что если система линейных уравненийнесовместна, то хотя бы одна из системилитакже не имеет решений?

40. Пусть M, а M, M. Верно ли, что если система линейных уравненийсовместна, то каждая из системисовместна?

41. Пусть M, а M, M. Верно ли, что если системы линейных уравненийисовместны, то и системасовместна?

42. *Пусть M, а M, M. Верно ли, что если система линейных уравненийнесовместна, то хотя бы одна из системилитакже несовместна?

43. **Пусть M, а M. Верно ли, что если система линейных уравненийнесовместна, а системасовместна, то существует M, при котором система уравненийнесовместна?

44. Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?

45. Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?

46. Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?

47. Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?

48. Известно, что векторы составляют фундаментальную система решений некоторой системы линейных однородных уравнений, верно ли, что– фундаментальная система решений той системы линейных уравнений?

49. Известно, что векторы составляют фундаментальную систему решений некоторой системы линейных однородных уравнений. Верно ли, что– фундаментальная система решений той же системы линейных уравнений?

50. Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений спеременнымии– столбец такой, что произведениеопределено. Верно ли, чтоесть также решение этой системы уравнений?

51. *Пусть – матрица фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений. Можно ли через матрицувыразить любую из матриц ФСР этой системы линейных уравнений?

52. **Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений. Какова фундаментальная матрица системы линейных однородных уравнений?

53. *Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений. Какова фундаментальная матрица системы линейных однородных уравнений?

54. **Пусть – однородная система линейных уравнений, причем число ее переменныхбольше рангаее матрицы. Докажите, что в этом случае найдется такая фундаментальная матрица ее системы решений, что –, где– единичная матрица.

55. *Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений спеременными. Определите ранг матрицы.

56. Определите размерность пространства решений системы линейных уравнений: .

57. Определите размерность пространства решений линейного уравнения: .

58. Определите размерность пространства решений системы линейных уравнений: .

59. Определите размерность пространства решений системы линейных уравнений: .

60. Докажите, что если две совместные системы линейных уравнений эквивалентны, то их ранги равны.

61. *Докажите «альтернативу Фредгольма»: система линейных уравнений либо совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение.

62. *Пусть присоединение одного уравнения к системе линейных уравнений не меняет множества решений. Докажите, что в этом случае присоединяемое уравнение есть линейная комбинация уравнений исходной системы уравнений.

63. **Для совместной системы линейных уравнений составлена система линейных уравнений:. Будет ли она тоже совместна?

64. **Для несовместной системы линейных уравнений составлена система линейных уравнений:. Будет ли она совместна?

65. **Пусть MиMи система линейных уравненийимеет решение при любомM. Следует ли из этого, что?

66. **Пусть MиMи система линейных уравненийимеет не более одного решения при каждомM. Следует ли из этого, что?

67. **Пусть MиMи система линейных уравненийимеет не более одного решения при каждомM. Следует ли из этого, что?

68. Пусть Mи существует такой вектор , что и. Верно ли, что из этого следует, что?

69. Пусть Mи существует такойненулевой вектор , что и. Верно ли, что из этого следует, что?

70. Пусть Mи существует такойненулевой вектор , что и. Верно ли, что из этого следует, что?

71. Пусть Mи система линейных уравнений имеет только нулевое решение. Следует ли из этого, что?

72. Пусть M, аM– решения систем линейных уравнений и, соответственно,, причем любой вектор представим в виде ,. Следует ли из этого что ?

73. Запишите решение матричного уравнения при условии, что матрицыиквадратные и невырожденные (обратимые).