Lektsii (1) / Lecture 16

ICEF, 2012/2013 STATISTICS 1 year LECTURES

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

(CONFIDENCE INTERVALS)

Наличие точечной оценки θˆ параметра θ не позволяет в общем случае «локализовать» положение этого параметра. Поэтому естественной является следующий вопрос: нельзя ли найти такой интервал I = (a,b) , зависящий от наблюдений x1, x2 ,..., xn ,

который «накрывает» параметр θ с достаточно большой вероятностью.

Определение. Интервал I = (a,b) = (a(x1, x2 ,..., xn ), b(x1, x2 ,..., xn )) называется доверительным интервалом для параметра θ с уровнем доверия 1−α (или 100(1−α)% ),

если

P(θ I ) ≥1−α .

Обычно рассматривают 90%-ные (α = 0.1 ), 95%-ные (α = 0.05 ), 99%-ные (α = 0.01 ) доверительные интервалы.

Не существует универсального метода построения доверительных интервалов, однако есть некоторые приёмы, позволяющие находить такие интервалы для определённых классов задач.

Пример 1. Пусть генеральная совокупность является нормальной, X N (µ,σ) , и пусть x1, x2 ,..., xn − выборка из этой генеральной совокупности. Предположим, что стандартное отклонение σ известно. Тогда, как известно, величина

Z = (x −µ) n

σ

является стандартной нормальной случайной величиной. Используя таблицы, получаем:

Разрешая последнее неравенство относительно µ , получаем:

Но это по определению означает, что интервал

является 95%-ным доверительным интервалом для среднего значения µ .

Целесообразно ввести новое понятие процентной точки, которое будет постоянно использоваться в дальнейшем.

Определение. Пусть 0 < β <1. Число zβ называется 100% β −ной точкой стандартной нормальной случайной величины Z, если Pr(Z > zβ ) = β .

Иными словами, 100% β −ная точка стандартной нормальной случайной величины − это такое число, что правый хвост стандартной нормальной кривой, расположенный правее точки zβ имеет площадь β . Например, z0.1 =1.28, z0.05 =1.65, z0.025 =1.96 .

Упражнение. Покажите, что z1−β = −zβ .

Тогда для произвольного уровня доверия 1−α , повторяя те же самые рассуждения, получаем 100(1−α)% -ный доверительный интервал:

Как мы видим, в этом случае центром доверительного интервала является стандартная точечная оценка популяционного среднего − выборочное среднее. Такой доверительный интервал называют двусторонним (two-sided) или симметричным, а половину его длины − границей ошибки (margin of error). Таким образом, в данном случае граница ошибки

Confidence interval for the mean of normal population (standard deviation is unknown) t−distribution

Now the standard deviation is assumed to be unknown. How the previous formula (1) should be changed? Let’s remind that the (1) was obtained by using the following fact: the random variable

(x −µ) n is the standard random variable. Now consider the random variable

σ

It can be proved (the corresponding result is called Fisher’s Lemma) that the distribution of t does not depend on parameters µ,σ and depends only on n (sample size).

The distribution of the random variable t in (2) is called t−distribution or Student’s distribution with n−1 degrees of freedom. We will denote the t−distribution with k degrees of freedom by t(k) . Thus

(x −µ) n t(n −1) . s