gorbatov._logika_2006

Обобщающая индукция

Пример: «Этих мужчин не поймешь! Позавчера ему нравились макароны, вчера они ему нравились. И два, и три дня назад они ему нравились. А сегодня уже не нравятся!» Если челове-

ку нравились макароны на протяжении четырех дней подряд, повышает ли это вероят- ность того, что они понравятся ему и на пятый? Скорее, наоборот. Ведь здесь необходимо учитывать еще и внутреннюю связь между событиями, которая выражается в том, что од- нообразный рацион может сильно изменить гастрономические пристрастия человека.

Однако не стоит преувеличивать роль содержательных моментов в индуктивных умозаключениях. Практика показывает, что человек склонен порой выдумывать какие-то «внутренние» связи между явлениями даже там, где их нет.

Упражнение 3. Определите, какой вывод более правдоподобен. «В семье пя-

теро детей и все девочки. Следовательно, …

а) … шестой ребенок тоже будет девочкой» б) … шестой ребенок будет, наконец, мальчиком»

§4. Полная индукция

Приведенное в предыдущем параграфе рассуждение о названиях месяцев пред- ставляет собой типичный случай индуктивного умозаключения. Поскольку в нем осуще- ствляется обобщение (свойство Р, присущее предметам класса М, переносится на более широкий класс S), такое рассуждение получило название обобщающей индукции.

Под обобщающей индукцией понимаются такие рассуждения, в которых пе- реходят от знания об определенных предметах некоторого класса к знанию обо всех предметах этого класса, то есть от единичных или частных утвер-

ждений к общим.

Определение

Различают полную и неполную индукцию.

Полная обобщающая индукция – это умозаключение от знания об отдельных предметах некоторого класса, при условии исследования каждого предмета, входящего в этот класс, к знанию обо всех предметах этого класса.

Определение

Полная индукция, по методу обоснования вывода, делится на математическую и эмпирическую.

Математическая индукция – способ рассуждения, который часто использу- ется в дедуктивных науках (логике и математике). Он применяется в тех слу- чаях, когда исследуемый класс S задан индуктивным определением. Как вы помните, индуктивное определение состоит в том, что первоначально неко- Определение торые объекты прямо объявляются принадлежащими данному классу S. Все же остальные объекты порождаются из исходных с помощью каких-либо процедур f1…fn. Чтобы доказать наличие у всех предметов класса S свойства

151

Логика

Допустим, нам надо доказать, что все четные числа делятся на два. Воспользуемся индуктивным определением класса четных чисел: (1) 2 есть четное число, (2) все осталь- ные четные числа получаются с помощью применения к двойке операций «f1(x) = х+2» или «f2(x) = х–2» n-го числа раз. Базис индукции очевиден: 2 делится на два. Индуктив- ный шаг состоит в том, что если некое число х делится на два, то х+2 и х–2 тоже делятся на два. Вывод: все четные числа делятся на два.

Математическая индукция дает достоверное знание. Всеобщность вывода опреде- ляется здесь знанием законов порождения исследуемого класса объектов.

Полная эмпирическая индукция достигает всеобщности вывода другим пу- тем – сплошной эмпирической (опытной) проверкой исследуемого класса. Логическая схема этого способа рассуждения такова:

Примером может служить рассуждение Ходжи Насреддина: «Ходжа, ты уверен, что купленные тобой спички не отсыревшие?» – «Конечно!» – «А откуда ты это знаешь?»

– «Я проверил каждую из них – все горели хорошо». Очевидно, что данное рассуждение не только правдоподобно, но и достоверно. Хотя вряд ли можно согласиться с тем, что такая педантичная проверка имела смысл.

Достоверность заключения по полной обобщающей эмпирической индукции оп- ределяется тем, что условная вероятность вывода при данных посылках равна 1. Ведь множество исследованных предметов М совпадает с классом S, о котором идет речь в за- ключении, а при m = s величина 1/2s-m равняется единице.

Полная эмпирическая индукция является ограниченным познавательным приемом. Во-первых, она может применяться лишь в тех случаях, когда класс S конечен и легко обозрим. Чтобы доказать полной индукцией, что все рыбы дышат жабрами, пришлось бы выловить всех рыб, а это в принципе невоз- можно.

Во-вторых, даже если класс S конечен, сплошная его проверка иногда требует та- ких огромных затрат, на которые общество не может пойти. Например, для установления того, что все граждане страны испытывают единодушное согласие по поводу какого-то важного государственного вопроса, можно провести поголовное голосование – референ- дум. Однако эта процедура требует больших затрат времени, материальных и людских ресурсов.

Наконец, сплошная проверка бывает неприемлемой в сило того, что ведет к унич- тожению проверяемого предмета (как в примере про Ходжу Насреддина).

152

Обобщающая индукция

Упражнение 4. Определите вид и логическое основание следующего рассу-

ждения. В силу чего вывод узника может оказаться ложным?

Однажды в камеру приговоренного к повешению вошли и объявили: «Скоро вас каз- нят. При этом мы обещаем соблюсти три условия. Первое – вас казнят на следую- щей неделе в один из дней. Второе – накануне вечером вас предупредят, что казнь со- стоится завтра на рассвете. И третье – наше предупреждение будет для вас полной неожиданностью. Если мы не сумеем выполнить своих обещаний, вас освободят. Приговоренный стал размышлять о своей участи. “В воскресенье меня казнить не мо- гут, так как, дожив до субботы, для предупреждения останется только единствен- ный вечер, субботний, и, значит, предупреждение о казни уже не может быть неожи- данностью. По этой же причине меня не могут казнить в субботу, так как, дожив до пятницы, для предупреждения останется единственный вечер в пятницу, значит, зная об этом заранее, оно опять не будет для меня неожиданностью. Итак, исключа- ются воскресенье и суббота. Но, рассуждая аналогично, я поочередно исключу и пят- ницу, и четверг, и среду, и вторник, и понедельник. Получается, что казнь невозмож- на без нарушения хотя бы одного из трех условий. Значит, меня освободят!»

§5. Неполная индукция

Итак, имеются самые разнообразные причины, по которым сплошная проверка бывает невозможной.

В таких случаях применяется процедура неполной обобщающей индукции. Обобщающая индукция называется неполной, если в ней осуществляется час- тичная проверка предметов исследуемого класса.

Определение

Неполная обобщающая индукция делится на популярную и научную. Схема попу- лярной индукции имеет следующий вид:

1.x1 есть P

2.x2 есть P

Отличие популярной индукции от полной состоит в n+1-ой посылке. При полной индукции класс М в точности совпадает с классом S. При индукции популярной он составляет лишь часть этого класса. Ясно, что истинность за- ключения в данном случае является проблематичной. Ведь среди непроверен-

ных предметов из S могут быть и такие, которые свойством Р не обладают.

Пример ложного заключения, полученного посредством популярной индукции, – предложение «Все лебеди белы». Оно, казалось бы, «вытекало» из фактов: каждый раз при наблюдении некоторого конкретного лебедя европейцы убеждались, что он облада- ет белым цветом. Тем не менее, после открытия Австралии, где были обнаружены черные лебеди, стало ясно, что это индуктивное заключение неверно. (Бочаров В.А., Маркин В.И.

Основы логики. – М., 1994. С. 222.)

153

Логика

Рассматриваемое рассуждение называется популярной (народной) индукцией в силу своей наивной простоты. Эта простота проявляется прежде всего в том, что на нали- чие свойства Р проверяются первые попавшиеся объекты. После чего проводится поспеш- ное обобщение – типичная ошибка индуктивного рассуждения. Однако вывод по непол- ной индукции можно существенно усовершенствовать и добиться повышения степени правдоподобности получаемых результатов.

Научная индукция проверяет на наличие свойства Р не первые попавшиеся предметы класса S, а те из них, которые специально отобраны для этой цели. При этом весь исследуемый класс S называют генеральной совокупностью, а

множество отобранных из него образцов – выборкой.

Определение

Выборка подвергается сплошной проверке, а затем полученный результат переносит- ся на всю генеральную совокупность.

Для надежного обоснования такого переноса требуется, чтобы выборка была репрезентативной. Это означает, что выборка должна достаточно точно пе- редавать структуру класса S, разнообразие его состава, и в частности, те его особенности, которые могут влиять на отсутствие свойства Р.

В таких случаях условимся говорить, что М репрезентирует S, сокращенно M S. Схема научной индукции такова:

1.x1 есть P

2.x2 есть P

n.xn есть P

Добиться репрезентативности выборки можно двумя различными способами. Первый способ основан на выдвижении некоторых гипотез о том, в силу каких причин у предметов исследуемого класса может отсутствовать свойство Р. Например, если прове- ряется доброкачественность партии консервированных продуктов, то отсутствие этого свойства (недоброкачественность) может зависеть от срока хранения продукта, от усло- вий его хранения, от того, какое предприятие выпустило продукцию, и других парамет- ров. Именно такие «подозрительные» образцы включаются в выборку и подвергаются проверке. Если гипотезы точно фиксируют все случаи, в силу которых продукция может оказаться недоброкачественной, и если в генеральной совокупности S таковая имеется, то

ввыборку обязательно попадет какое-то ее количество.

Уданного метода два недостатка. Первый связан с тем, что у нас могут отсутство- вать хоть какие-то разумные гипотезы для объяснения свойства Р. Второй же состоит в том, что мы можем по тем или иным причинам упустить какой-то важный параметр, от которого зависит отсутствие свойства Р. Тем самым будет делаться определенная систе- матическая ошибка, которая и приведет к неверным результатам.

Чтобы исключить эти недостатки, применяют второй способ формирования вы- борки, порождая ее чисто случайным образом. Для этого используют специальные

154

Обобщающая индукция

таблицы случайных чисел. Но чтобы такая случайная выборка оказалась репрезентатив- ной, она должна быть достаточно объемной. Согласно закону больших чисел, законо- мерности, которым подчиняются массовые явления, обнаруживаются лишь при доста- точно большом числе наблюдений.

Упражнение 5. Определите вид и логическое основание следующих индук-

тивных рассуждений. Что могло бы сделать их более правдоподобными?

а) Немецкий физик Нернст, открывший третье начало термодинамики (о недос-

тижимости абсолютного нуля температуры), так «доказывал» завершение разра- ботки фундаментальных законов этого раздела физики: «У первого начала было три автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц; у второго – два: Карно и Клаузиус, а у третье- го – только один – Нернст. Следовательно, число авторов четвертого начала тер- модинамики должно равняться нулю, то есть такого закона просто не может быть». (Ивин А.И. Логика. – М., 1999. С. 228.)

б) Совет начинающему поэту: «А.С. Пушкин был убит на дуэли. М.Ю. Лермонтов был убит на дуэли. Значит, все великие русские поэты должны погибать на дуэли. Если хочешь стать по-настоящему великим, будь готов к подобному исходу.»

§6. Статистическая индукция

Статистической называется обобщающая индукция, при которой устанав- ливается относительная частота обладания свойством Р для произвольного предмета из класса S. Символически будем обозначать эту частоту величи-

Определение ной δ(SP).

По методу статистической индукции осуществляются, например, социологиче- ские обследования, где заведомо нереально было бы ожидать, что все люди выскажутся одинаково. В этом случае нас интересует процент людей, которые придерживаются того или иного мнения.

Статистическая индукция также может быть полной и неполной, популярной и научной. Рассмотрим схему неполной научной статистической индукции.

1.x1 есть P

2.x2 есть P

n.xn не есть P

δ(MP) = m/n. полная статистическая индукция

В первых n посылках указаны результаты сплошного обследования предметов из выборки М = {x1, …, xn}. Посылки показывают, что из n проверенных предметов только m обладают интересующим нас свойством. Тогда устанавливается относительная частота

155

Логика

обладания свойством Р для произвольного предмета из выборки М: δ(MP) = m/n. А далее этот результат индуктивно обобщается на всю генеральную совокупность S: δ(SP) = m/n.

Пример. В городе имеется 1864 автомобиля в личном пользовании. В течение года правила дорожного движения нарушили 134 владельца этих автомобилей. Тогда относи- тельная частота нарушений равна 134/1864 (полная статистическая индукция). Предпо- лагается, что через пять лет в городе число автомобилей в частном пользовании увели- чится до 3000. Совершая индуктивное обобщение, мы можем предсказать, что относи- тельная частота нарушений не изменится. Если этот прогноз сбудется, то годовое число нарушений окажется равно 3000 × 134/1864 ≈ 210. (Ивлев Ю.В. Логика для юристов. – М., 1996. С. 114.)

При научной статистической индукции выдвигается дополнительное требо- вание к формированию выборки. Состав выборки должен быть пропорциона- лен составу генеральной совокупности.

Так, если мужчины в генеральной совокупности составляют 50%, а в выборке они представлены в количестве 99%, то такая выборка нерепрезентативна, если мы хотим вы- яснить мнение всего общества по какому-то вопросу, а не только мнение мужчин.

Упражнение 6. Определите, насколько правдоподобными являются сле-

дующие индуктивные умозаключения:

а) Некий путешественник оказался в незнакомом городе. Он случайно присел отдох- нуть возле парфюмерного магазина и от скуки начал считать количество выходя- щих из него мужчин и женщин. Было около полудня. За час путешественник насчи- тал 47 женщин и 3 мужчин. На основании своих наблюдений он сделал вывод, что в данном городе 94% женского и только 6% мужского населения.

б) Как показывает статистика, преобладающее большинство дорожно- транспортных происшествий приходится на долю машин, едущих с умеренной ско- ростью, и лишь малое число – на долю машин, едущих со скоростью свыше 100 км/ч. Следовательно, водить машину на больших скоростях безопаснее. (Ивин А.И. Логи-

ка. – М., 1999. С. 290.)

в) В начале Первой мировой войны в униформу британских солдат входила коричне- вая матерчатая фуражка. Металлических касок у них не было. Через некоторое время командование армии было обеспокоено большим количеством ранений в голову. Было решено заменить фуражку металлической каской. Но вскоре командование бы- ло удивлено, узнав, что количество ранений в голову увеличилось. Учитывая, что интенсивность сражений была примерно одинаковой до и после введения касок, при- шли к выводу, что каска защищает голову солдата хуже, чем фуражка.

Заметим, что при использовании статистических обобщений нельзя путать относительную вероятность наличия некоторого свойства у предметов класса

S и действительный порядок распределения этого свойства на множестве S.

Например, если среди исследуемых предметов 33% обладают интересующим нас свойством, иногда говорят, что каждый третий предмет им обладает – но это вовсе не оз- начает, что нужно методично отсчитать третий, шестой, девятый предметы и т.д. На по- добной игре слов могут строиться разнообразные софизмы.

156

Обобщающая индукция

Упражнение 7. Определите, является ли правильным следующее рассужде-

ние. Если нет, то почему?

Статистика утверждает, что каждый четвертый человек – психически неуравно- вешенный. Проверьте трех своих друзей. Если они нормальные, значит психически неуравновешенным являетесь именно Вы!

Практика применения научных форм индукции показывает, что при соблюдении всех методологических требований к формированию репрезентативной выборки надеж- ность этих рассуждений может приближаться к 100%.

Контрольные вопросы:

1. Чем отличается индукция от дедукции?

2. Чем отличается позитивная и негативная релевантность?

3.Какая релевантность требуется для обоснования правдоподобности выво- да?

4.Какие критерии используются для определения степени правдоподобности умозаключений?

5.Может ли индукция применяться в точных науках?

6.В чем заключается парадокс Гемпеля?

7.Какой критерий применяется в индуктивных обобщениях, чтобы его избежать?

8.Является ли математическая индукция достоверным методом познания?

9.Каковы основные «блоки» рассуждения по математической индукции?

10.В чем заключается парадокс «приговоренного к казни»?

11.Почему в полной индукции не используется понятие выборки?

12.Почему нестрогая индукция называется популярной?

13.При каких условиях выборка считается репрезентативной?

14.На чем основаны парадоксы «нетранзитивности»?

Литература:

Основная:

1.Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. – М., 1994. Глава 8.

2.Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика. Учебник для вузов. – М., 2001. Гл 9, часть II.

3.Ивлев Ю.В. Логика для юристов. – М., 1996. Глава 5 (В).

4.Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика как часть теории познания и на- учной методологии. – М., 1994.

Дополнительная:

1.Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. – М., 1978.

2.Лебедев С.А. Индукция как метод научного познания. – М., 1980.

3.Минто В. Индуктивная и дедуктивная логика. – СПб, 1902.

4.Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М., 1978.

5.Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до эпохи Возрождения. – М., 1974.

6.Рузавин Г.И. Методы научного исследования. – М., 1974.

157

Логика

Посетить сайты:

1. http://ntl.narod.ru/logic/course/index.html: Учебные материалы по курсу логики (определения, задачи, примеры и т.д.).

2.http://www.logic.ru/Russian/LogStud/index.html: Электронный журнал «Логи-

ческиеисследования». Текущиепубликациинасоответствующиетемы.

Тесты:

1.В дедуктивных рассуждениях информация, содержащаяся в заключении, всегда … со- вокупной информации, содержащейся в посылках.

1)больше

2)меньше

3)равна

4)больше или равна

5)меньше или равна

2.Запись «A1, …, An ≈ В» означает, что из посылок A1, …, An … следует заключение В.

1)логически

2)правдоподобно

3)не

3.Запись «A1, …, An = В» означает, что из посылок A1, …, An … следует заключение В.

1)логически

2)правдоподобно

3)не

4.Слово «дедукция» по латыни означает

1)«наведение»

2)«подведение»

3)«выведение»

4)«приведение»

5.Слово «индукция» по-латыни означает

1)«наведение»

2)«подведение»

3)«выведение»

4)«приведение»

6.Формула «A1, …, An ≈ В ≡df Р(B/A1 & … & An) > ½» выражает собой критерий

1)высокой вероятности

2)позитивной релевантности

3)средней вероятности

4)Нике

7.Формула «A1, …, An ≈ В ≡df Р(B/A1 & … & An) > Р(В)» выражает собой критерий

1)высокой вероятности

2)позитивной релевантности

3)средней вероятности

4)Нике

158

Обобщающая индукция

8.Критерий позитивной релевантности гласит, что вероятность истинности заклю- чения при данных посылках должна быть

1)выше ½

2)ниже ½

3)выше, чем собственная вероятность заключения

4)ниже, чем собственная вероятность заключения

9.Критерий высокой вероятности гласит, что вероятность истинности заключения при данных посылках должна быть

1)выше ½

2)ниже ½

3)выше, чем собственная вероятность заключения

4)ниже, чем собственная вероятность заключения

10.Если m – число строк таблицы, в которых высказывание А принимает значение «и», а n – общее число строк в таблице, то вероятность высказывания А равна

1)m/n

2)n/m

3)n+m

4)n·m

11.Вывод, согласно которому существование желтой гусеницы подтверждает, что все вороны черные, называют парадоксом

1)Гемпеля

2)Рассела

3)Греллинга

4)Ришара

12.Согласно критерию Нике, подтверждающими примерами для атрибутивного выска- зывания считаются те предметы, которые входят в

1)объем субъекта

2)объем предиката

3)область сказывания

4)универсум рассуждения

13.В обобщающей индукции осуществляется переход от

1)единичных или частных высказываний к общим

2)общих высказываний к единичным

3)единичных высказываний к частным

4)общих высказываний к частным

14.В естественных и социальных науках чаще всего используется … индукция.

1)неполная эмпирическая

2)полная эмпирическая

3)полная математическая

15.Математическая индукция является разновидностью … индукции

1)полной обобщающей

2)неполной обобщающей

3)исключающей

159

Логика

16.Математическая индукция включает в себя

1)базис индукции

2)индуктивный шаг

3)индуктивное обобщение

4)модус индукции

5)индуктивный принцип

6)индуктивную схему

17.Выборочная эмпирическая проверка исследуемого класса предметов осуществляется при … индукции.

1)полной

2)неполной

3)исключающей

4)математической

18.Генеральная совокупность – это

1)весь исследуемый класс предметов

2)множество специально отобранных для проверки предметов

3)класс предметов, которые не подвергаются проверке

19.Класс предметов, проверяемых в ходе неполной обобщающей индукции, – это

1)выборка

2)подборка

3)генеральная совокупность

20.Научная индукция требует, чтобы исследуемая выборка была

1)репрезентативной

2)однородной

3)минимальной по объему

21.Ошибка «поспешное обобщение» чаще всего встречается в … индукции.

1)научной

2)популярной

3)исключающей

4)статистической

22.Относительная частота обладания свойством Р для произвольного предмета из класса S, устанавливается при … индукции.

1)статистической

2)исключающей

3)популярной

4)математической

23.Математическая индукция используется только в тех случаях, когда исследуемый класс

1)задан индуктивным определением

2)конечен

3)бесконечен

4)однороден

160