Теория_тервер

1-15(Хрень из 1-ого модуля)

1. Случайные события.. Случайное событие – любой факт, который в результате осуществления какого-либо комплекса условий может произойти и не произойти.

Ω - достоверное событие, Ø – невозможное событие

Ас B – А является частным случаем В или А благоприятствует В (при каждом появлении А наступает В). Если АсВ и ВсА, то А=В – равносильные события (при каждом испытании либо оба наступают, либо оба не наступают

Аи В совместны, если они могут наступать одновременно в результате испытания. На диаграмме – пересечение 2 кругов.

Аи В несовместны, если появление одного исключает появление другого. (не могут произойти одновременно) – два не пересекающихся круга.

Событие Ā – противоположное (дополнение) событие А, если непоявление одного в результате испытания влечет появление другого – Круг, заштрихована область вокруг него.

Аи В – равновозможные, если по условиям испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным.

Исходы некоторого опыта Н1,….Нn образуют полную группу событий , если 1Любые события Ни и Нжи попарно несовместимы 2В результате события обязательно должно произойти одно из них.

Два несовместных события, образующих полную группу, являются противоположными.

2. Операции над случайными событиями и их свойства Сумма событий – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (ИЛИ).

Событие достоверное:

1Сумма противоположных событий А+ Ā= Ω;

2Сумма событий, образующих полную группу Н : Н1+Н2+…Нn= Ω

Произведение событий – это событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания (И).

Событие невозможное:

1Для несовместных событий А•В= Ø

2 произведение противоположных событий А• Ā = Ø;

3 попарные произведения событий, образующих полную группу Нi • Hj = Ø i≠j

Разность событий В-А или В\А – это событие, заключающееся в том, что В происходит, а А не происходит. (событие состоит из всех элементов событий, которые входят в В, но не входят в А)

Для противоположных Ā= Ω-A Для несовместных В-А=В Свойства:

1.Коммутативность А+В=В+А А•В=В•А

2.Ассоциативность А+(В+С)=(А+В)+С А(ВС)=(АВ)С

3.Дистрибутивность А(В+С)=АС+ВС А+ВС=(А+В)(А+С)

5.Отрицание отрицания А =А

6. Формула Моргана А В А В А В А В 3-5 Вероятность случайного события Вероятность события – это численная мера возможности его

появления. классическое, геометрическое, статистическое и аксиоматическое.

3.Классическое определение: Вероятность Р(А) события А равна отношению числа случаев М для А, к числу всех исходов N. Р(А) = М/N.

Условия: 1Все исходы равновозможны 2Конечное число исходов Свойства:

1. 0<P(A)<1

2P(Ω)=1

3P(пустое мн-во)=0

4. Статистическое определение: Вероятность события Р(А) – частость (относительная частота) m/n появления этого события в n произведенных испытаниях. Р(А)=w=m/n. Статистическая вероятность определяется из опыта наблюдения результатов испытания. С этой целью проводится в неизменных условиях больше число n независимых друг от друга одинаковых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться или не появиться, и фиксируется число появлений события А, обозначаемое через m.

5. Геометрическая вероятность – отношение меры области g, благоприятствующей А к мере все области G (вероятность попадания точки в область). P(g)=mes(g)/mes(G). (mes – это мера) G- некоторая оласть, которая содержит меньшую область g. На G наудачу бросается точка. Событие А – попадание брошенной точки на фигуру g. Вероятность попадания в какую-либо часть пропорциональна мере этой части и не зависит от ее

1

расположения и формы. Геометрическое определение используется, если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно. Область может быть одномерной (отрезок), двумерной (мера – площадь), трехмерной ( мера – объем)

6. Комбинаторика – раздел математики, изучающий методы решения задач на подсчет числа различных комбинаций. Основные понятия – размещения, перестановки, сочетания (с повторениями и без).

Теорема умножения комбинаторики: Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действий, причем 1-е действие можно выполнить n1 способами, 2-е – n2 способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий могут быть выполнены n1* n2*...* nk способами.

Теорема сложения комбинаторики: Если k действий взаимно исключают друг друга, причем одно можно выполнить n1 способами, а другое – n2 способами и так до k-го, то выполнить одно любое из этих действий можно n1+ n2 +..+ nk способами.

7-8. Осн.понятия Комбинаторики Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов. Число размещений из n

элементов по m (m<n)…. n!

Аnm (n m)!

7.Перестановки – любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все n различных элементов исходного множества. Число перестановок из n элементов Рn n!. …..Размещения с повторениями –

упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются и элементами, и порядком, и возможностью повтора. Число размещений с повторениями из n элементов по m считается

раз, а2 повторяется n2 раз,…, аk повторяется nk раз.. Сходства – и там, и там важен порядок, различия – в размещениях могут использоваться не все элементы, в перестановках используются только все элементы.

8. Сочетания – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом

Размещения с повторениями – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются и элементами, и порядком, и возможностью повтора. Число размещений с повторениями

Сочетания с повторениями – m-элементные подмножества n-элементного множества, в которых некоторые элементы или все могут быть одинаковыми, отличающимися только составом . Число всех сочетаний с

Сходство – все m-элементные подмножества различаются элементами, различие – в размещениях важен порядок.

9. Сочетания – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом

элементов (порядок их следования не важен). Число сочетаний из n элементов по m (m<n) n!

Сnm m!(n m)!

Сочетания с повторениями – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только элементами и возможностью повтора. Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по m

10. Колмогоров. Аксиоматика Колмогорова – общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятностей.

Ω –множество элементов ω (элементарное событие) пространство элементарных событий, F-множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями, .

Аксиома 1. F является алгеброй событий, т.е. удовлетворяет свойствам:

-содержит невозможное событие Ø

-если А F, то его дополнение Ā F

-пересечение (произведение) событий А F; В F так же принадлежит F: АВ F

Аксиома 2(существование вероятности события). Каждому событию А F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А)≥0, которое называется вероятностью события А. Аксиома 3. (Нормировка вероятности) Р(Ω)=1 Аксиома 4. (Аддитивность вероятности). Если А и В не пересекаются, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Совокупность объектов (Ω; F; Р), удовлетворяющая аксиомам 1-4 называется вероятностным пространством или полем вероятностей. Алгебра событий, замкнутая относительно счетного числа теоретико-множественных операций называется σ-алгеброй событий.

2

11. Теоремы сложения вероятностей для несовместных Для двух событий: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство: Пусть А соответствует mA , а событию В – mВ элементарных событий (случаев). Тогда А+В благоприятствует m испытаний, который в силу несовместности не пересекаются m= mA+ mВ случаев из общего числа N. Поэтому, Р(А+В) = m/N=(mA+ mВ)/N=mA/N + mВ/N = P(A)+P(B), что и тр. док.

Для любого числа попарно несовместных событий: Р(А1+ А2+…+ Аn)=P(А1)+ P(А2)+...+ P(Аn)

Следствия: 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна 1.

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

12.Теоремы сложения для 2, 3 и n совместных Для двух событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Доказательство: Событию А благоприятствует mA=mтолько А + mAB случаев, событию В mВ=mтолько В + mAB. Тогда событию А+В соответствует mA+В=mтолько А + mAB + mтолько В случаев из общего числа N. Тогда Р(А+В) = mA+В/N

= (mтолько А + mAB + mтолько В)/N = (mтолько А + mAB + mтолько В+ mAB - mAB)/N = (mтолько А + mAB )/N + (mтолько В+ mAB)/N

- mAB/N = mА /N + mВ/N - mAB/N = P(A) + P(B) – P(AB).

Для 3 событий: Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(ВС)-Р(АС)+Р(АВС)

13 .Зависимость случайных событий. События называются независимыми, если появление любого из них не меняет вероятности появления другого. Зависимые события – вероятности зависят от наступления и не наступления друг друга. Условная вероятность (Р(А|В)) – вероятность А, при условии, что В произошло. Несовместные события всегда зависимы, т.к. появление одного из них превращает в ноль вероятность появления другого Теорема умножения для независимых событий: Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Р( A1 A2 ... An ) = Р(А1)* Р(А2)*…* Р(Аn)

Для зависимых событий Р(А*В) = Р(А)*Р(B|A)=P(B)*P(A|B) Для любого конечного числа зависимых событий:

Р(А1 *…* Аn) = P(A1) * P(A2| A1) * P(A3|A1 A2)*...* P(An|A1 A2 ... An-1)

14.Формула Бернулли.Два исхода испытания. Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Частная теорема о повторении опытов: Пусть проводится n независимых испытаний в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью р появляется событие А. Вероятность того, что в n испытаниях А наступит m раз считается по формуле Бернулли: Рn (m) Cnm pm qn m

Доказательство: Аi – появление события А в i-м испытании; Р(Аi)=p. Āi – не появление события А в i-м испытании. Р(Āi)=1-p=q. Нам требуется узнать вероятность того, что в n испытаниях событие А наступило m раз. Значит событие А должно не наступить m-n раз. По теореме умножения для независимых испытаний вероятность этого равна pm * qn-m . Также необходимо учесть число различных комбинаций наступления и не наступления события А, т.е. домножить на Сnm . Таким образом мы получаем формулу наступления А m раз в n

испытаниях Рn (m) Cnm pm qn m .

Общая теорема о повторении опытов: Пусть в n испытаниях вероятность появления А в i-м опыте равна pi , то вероятность того, что А наступит m раз равна коэффициенту при zm в разложении производящей функции

n

n (z) (qi рi z)

i 1

15.Формула Бернулли. Более двух исходов испытания.

Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний. формула Бернулли: Рn (m) Cnm pm qn m

Частная теорема: Проводится n испытаний в различных условиях, каждый опыт имеет k исключающих исходов А1 А2…Аk с вероятностью р1 р2…рk (Σрi =1). Вероятность того, что в m1 опытах появится А1, в m2

Общая теорема: n испытаний в различных условиях, каждый опыт может иметь k исключающих друг друга исхода А1 А2…Аk, причем в i-м опыте событие Аj имеет вероятность Рji , то вероятность того, что в mk опытах появится Аk равна коэффициенту при члене, содержащем z1m1 z2m2 ...zkmk в разложении по степеням z1...zk

n

производящей функции. n (z1,..., zn ) (р1iz1 р2iz2 ...рkizk )

i 1

16-25(От Пуассона до мат.ожидания СВ)

16. Теорема Пуассона

3

Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Теорема Пуассона: Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз при большом числе n-> ∞ и малой вероятности наступления события А в каждом испытании вычисляется по

асимптотической формуле Pn (m) Pm () m e , где λ=np m!

Условия применения: 0,1≤ λ≤10 n->∞ p->0

17.-18 Муавр-Лаплас.Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Приближение: С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса. Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы , где N(np,npq) — нормальное распределение с математическим ожиданием np и дисперсией npq.

17. Локальная теорема Муавра-Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях А наступит ровно

применения – n>30, p отлична от 0 и 1.

18.Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях А наступит от а до b раз при n->∞ и 0<p<1:

Следствия: 1.Частость m/n отличается от вероятности р события А по абсолютной величине не более чем на ε

с вероятностью Pn(|m/n – p|<e)= Ф( n )

pq

2. Вероятность того, что m наступлений события А отличается от наиболее вероятного числа m0=np по абсолютной величине не более чем на ε>0 с вероятностью равной

Pn(|m/n – p|<e)=Ф( ) npq

19. Формула полной вероятности. Формула Байеса Формула полной вероятности: Пусть рассматривается полная группа событий Аi и событие В, которое может осуществиться одновременно только с одним событием из Аi . Тогда вероятность Р(В) события В, которое может произойти только при условии появления одного из событий из полной группы равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Аi на

рассматриваемое некоторое событие В, происходящее одновременно с одним из событий из полной группы Аi , причем известны вероятности этих гипотез до испытания Р(Аi), а также вероятности, сообщаемые ими

Вероятности гипотез до испытания Р(Аi) называются априорными. Вероятности гипотез Р(В| Аi) после того как произошло событие В называют апостериорными. Формула Байеса дает возможность пересмотреть вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта, по мере получения новой информации.

20. Случайные величины Случайная величина – переменная, которая в результате опыта в зависимости от случая принимает одно из множества значений (какое именно – неизвестно). С теоретико-множественной позиции СВ – функция, определенная на пространстве элементарных событий, т.е. Х=f(w), где w – элементарный исход ( элементарное событие), принадлежащий пространству Ω. Случайные величины в зависимости от области возможных значений бывают дискретные и непрерывные. Дискретная величина – принимает конечное или бесконечное счетное множество значений (можно пронумеровать натуральными числами). Непрерывная величина – это СВ, бесконечное и несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) и она сплошь заполняет этот интервал. Дискретная величина задается законом распределения или функцией распределения, непрерывная СВ – функцией плотности и функцией распределения.

21. Дискретная СВ. Математическое ожидание и дисперсия. Дискретная величина – принимает конечное или бесконечное счетное множество значений (можно пронумеровать натуральными числами). Дискретная величина задается законом распределения или функцией распределения.

Закон распределения: (здесь должна быть скобка, где сверху pi, а снизу xi, но она херово вставлялась, поэтому удалил. Саша) где хi – значение СВ, pi - вероятность значений.

0≤ pi≤1, Σpi =1

4

25. Математическое ожидание случайной величины. Его свойства. Математическое ожидание – это

n

среднее значение СВ. Для дискретной СВ М (х) xi pi , для конечных n. Если СВ принимает бесконечное, но

1)М(С)=С

2)М(СХ)=С*М(Х)

3)М(Х+У)=М(Х)+М(У)

4)М(Х-У)=М(Х)-М(У)

5)М(Х±С)=М(Х)±С

6)Мат. ожидание произведения независимых величин Х, У: М(ХУ)=М(Х)*М(У)

M[(X1 + X2 + … + Xn) / n] = M(Xi)

26-34 (от СВ(без M(x) до потока СВ)

26. Понятие о центрированной и стандартной случайной величине.

Центрированная СВ: ẋ=х-М(х) М(ẋ)=0 D(ẋ)=D(x) Стандартная СВ: Т= ẋ/σх М(Т)=0 D(T)=1

При центрировании полигон и функция плотности сдвигается влево на величину М(х), при стандартизировании сжимается относительно оси ординат в σх раз.

27. Дисперсия случайной величины.

Дисперсия характеризует разброс, рассеяние значение СВ вокруг её мат. ожидания. Для дискретной СВ с

-

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0

2)D(CX)=C2*D(X)

3)D(X)=M(X2)-[M(X)]2

4)D(X±Y) = D(X)+D(Y) для независимых

D(X±Y) = D(X)+D(Y) ±2cov(X,Y) для зависимых 5) D(XY)=D(X)*D(Y)+D(X)*(M(Y))2+D(Y)*(M(X))2

Среднее квадратическое отклонение x D(x)

Центрированная СВ: ẋ=х-М(х) М(ẋ)=0 D(ẋ)=D(x) Стандартная СВ: Т= ẋ/σх М(Т)=0 D(T)=1

28. Начальные и центральные моменты

Момент СВ – числовая характеристика распределения СВ. Начальный момент k-го порядка считается по формуле k (x) M (xk ) . ν1=М(х); ν2=М(х2) D(x)= ν2 – (ν1)2

Центральный момент k-го порядка считается по формуле μk(x)=M(X-M(X))k = M(ẋ)k

μ1=0 μ2=D(X) μ3 = ν3-3ν2ν1+2(ν1)2 – используется для расчета коэффициента асимметрии. μ4=ν4-4ν3ν1+6ν2(ν1)2-3(ν1)4 - используется для расчета коэффициента эксцесса.

29. Коэффициенты асимметрии и эксцесса СВ. Мода.

Коэффициент асимметрии с конечным 3м моментом – показатель асимметричности распределения,

6

В здесь до r-го успеха, а в геометрическом до первого. С биномиальным отличие: у биномиального числа успехов А, а здесь число неудач

целочисленные неотрицательные значения. Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Закон распределения Пуассона называют законом редких событий, т.к. вероятность Р(A)0 в каждом испытании n∞ λ=np 0,1≤ λ≤10. M(x)=D(x)=λ=np

Вывод мат. ожидания:

D(x)= λ2 + λ – λ2 = λ

35. Поток случайных событий и его основные понятия. Пуассоновский поток.

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени. Плотностью (интенсивностью) потока называется среднее число событий в единицу времени Поток без последействия – если вероятность появления на любом участке того или другого числа событий не

зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным, участки.

Ординарный поток – вероятность появления на элементарном участке ∆t 2х или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления 1 события.

Ординарный поток без последействия называется Пуассоновский поток. Если события образуют Пуассоновский поток, то число событий, попадающих в любой участок времени (t0; t0+∆t) распределено по закону Пуассона.

λ(t)=const, то Пуассоновский поток называется стационарным или простейшим Пуассоновским потоком. Для простейшего Пуассоновского потока число событий, попадающих на любой интервал длины τ распределено по закону Пуассона а= λτ. Расстояние Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная СВ, распределенная по показательному закону.

0, приt 0

f (t) е t , приt 0

36-43 (Гип.гм распредл и все прочие частоупотр.)

36. Гипергеометрическое распределение. Его характеристики.

Гипергеометрический закон – закон распределения случайной величины X, представляющей собой число объектов m, обладающих данным свойством, среди n объектов, случайно извлеченных из совокупности N объектов, М из которых обладают данным свойством.

37. Производящая функция.

Производящей функцией неотриц ДСВ с распределением Pm=P(ξ=m)

8

F(t)=1/2 +1/2*Ф(t), где Ф – функция лапласа

Плотность – функция Гаусса: четная, монотонно убывающая, при т больше 5 =0

1)P(a≤X≤b)=1/2 * [Ф(а)- Ф(b)]

2)Р(|x|≤ε)=Ф(ε)

3)Правило 3 сигм. Если СВ Х имеет стандартный нормальный закон распределения Х N(0;1), то практически достоверно, что её значения заключены в интервале (-3;3) (вероятность выброса 0,0027).

43. Равномерный закон распределения. Его характеристики

44. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Основные характеристики

0, x 0

f (x) e x ; x 0

вывод формул для М.О. и дисперсии в приложении

0, x 0

F (x)

1 e x , x 0

Расстояние Т между двумя соседними событиями в простейшем пуассоновском потоке есть непрерывная СВ, распределенная по показательному закону 45. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Основные характеристики (без вывода).

Поток – последовательность событий, наступающих одно за другим в случ мменты времени. Поток называется ординарным, если вероятн появления на элементарном участке двух или более событй пренебрежимо мала по сравнению с вероятн появления одного события. Пауссоновский поток – ординарный поток событий без последействия. Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, попадающих на любой участок времени распределено по закону пуассона.

Расстояние Т между двумя соседними событиями в простейшем пуассоновском потоке есть непрерывная СВ, распределенная по показательному закону

46. Логарифмически-нормальное (логнормальное) распределение.

Случайная величина X имеет логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение с параметрами μ и σ, если её логарифм (случайная величина lnX) имеет нормальное распределение с параметрами μ > 0 и σ.

Свойства:

1) Если СВ Х1,…Хn имеют логнормальное распределение, то и их произведение имеет логнормальное распределение.

M (x) e 22 ; D(x) e2 2 (e 2 1) ; Mo e 2

Логнормальное распределение часто имеют: распределение доходов, цены активово, банковские вклады, долговечность изделий, размер ущерба в страховании

10